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1. 如图，以$∠ AOB$的顶点$O$为圆心，适当长为半径作弧，交$OA$于点$C$，交$OB$于点$D$，再分别以点$C$，$D$为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧在$∠ AOB$的内部交于点$E$，过点$E$作射线$OE$，连接$CD$，则下列说法中错误的是（
A.射线$OE$是$∠ AOB$的平分线
B.$△ COD$是等腰三角形
C.$C$，$D$两点关于$OE$所在的直线对称
D.$O$，$E$两点关于$CD$所在的直线对称
（第1题）
D
）。A.射线$OE$是$∠ AOB$的平分线
B.$△ COD$是等腰三角形
C.$C$，$D$两点关于$OE$所在的直线对称
D.$O$，$E$两点关于$CD$所在的直线对称
（第1题）答案
1.D
解析
【分析】
本题基于角平分线的尺规作图场景，需要结合等腰三角形、轴对称的性质对各选项逐一判断。解题思路：首先根据作图步骤提取已知条件：OC=OD，CE=DE，由此可推出OE是∠AOB的平分线；再结合等腰三角形性质、轴对称的定义逐个验证选项，找出错误的说法即可。
【解析】
根据作图步骤可得：
1. 以O为圆心画弧时，OC、OD都是圆的半径，因此$OC=OD$；
2. 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧交于E，因此$CE=DE$。
结合$OE=OE$，可证$△ OCE ≌ △ ODE$（SSS），因此$∠ COE=∠ DOE$，即射线OE是$∠ AOB$的平分线。
逐一分析选项：
A选项：由上述推导可知OE是$∠ AOB$的平分线，说法正确，不符合题意；
B选项：由$OC=OD$，可知$△ COD$是等腰三角形，说法正确，不符合题意；
C选项：因为$OC=OD$，OE平分$∠ COD$，根据等腰三角形“三线合一”，OE垂直平分线段CD，因此C、D两点关于OE所在直线对称，说法正确，不符合题意；
D选项：若O、E两点关于CD所在直线对称，需要CD垂直平分OE，题干没有相关条件能推出这一结论，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；等腰三角形的性质；轴对称的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是明确角平分线尺规作图的原理，结合等腰三角形性质和轴对称的定义对选项逐一验证，即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
本题基于角平分线的尺规作图场景，需要结合等腰三角形、轴对称的性质对各选项逐一判断。解题思路：首先根据作图步骤提取已知条件：OC=OD，CE=DE，由此可推出OE是∠AOB的平分线；再结合等腰三角形性质、轴对称的定义逐个验证选项，找出错误的说法即可。
【解析】
根据作图步骤可得：
1. 以O为圆心画弧时，OC、OD都是圆的半径，因此$OC=OD$；
2. 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧交于E，因此$CE=DE$。
结合$OE=OE$，可证$△ OCE ≌ △ ODE$（SSS），因此$∠ COE=∠ DOE$，即射线OE是$∠ AOB$的平分线。
逐一分析选项：
A选项：由上述推导可知OE是$∠ AOB$的平分线，说法正确，不符合题意；
B选项：由$OC=OD$，可知$△ COD$是等腰三角形，说法正确，不符合题意；
C选项：因为$OC=OD$，OE平分$∠ COD$，根据等腰三角形“三线合一”，OE垂直平分线段CD，因此C、D两点关于OE所在直线对称，说法正确，不符合题意；
D选项：若O、E两点关于CD所在直线对称，需要CD垂直平分OE，题干没有相关条件能推出这一结论，说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；等腰三角形的性质；轴对称的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是明确角平分线尺规作图的原理，结合等腰三角形性质和轴对称的定义对选项逐一验证，即可快速选出答案。
【难度系数】
0.8
2.(2022,长春,7)如图,在$△ ABC$中,根据尺规作图的痕迹,下列说法不一定正确的是(
A.$AF=BF$
B.$AE=\frac{1}{2}AC$
C.$∠ DBF+∠ DFB=90°$
D.$∠ BAF=∠ EBC$
B
).A.$AF=BF$
B.$AE=\frac{1}{2}AC$
C.$∠ DBF+∠ DFB=90°$
D.$∠ BAF=∠ EBC$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先识别图中的尺规作图类型：一是线段AB的垂直平分线，二是∠ABC的角平分线。再结合两类作图的性质逐一分析选项：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，且垂直平分线与线段垂直；角平分线将角分成两个相等的角。对于不确定的选项，要判断是否缺少前提条件，比如B选项需要三角形为等腰才有角平分线同时是中线，题目无此条件，因此不一定成立。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知：
1. 直线DF是线段AB的垂直平分线：
① 点F在AB的垂直平分线上，故$AF=BF$，A选项正确；
② $DF⊥AB$，即$∠BDF=90°$，在$△ BDF$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠DBF+∠DFB=180°-90°=90°$，C选项正确；
③ 由$AF=BF$，根据等边对等角得$∠BAF=∠ABF$。
2. 射线BE是$∠ABC$的角平分线，故$∠ABF=∠EBC$，结合$∠BAF=∠ABF$，等量代换得$∠BAF=∠EBC$，D选项正确。
3. 对于B选项：BE是角平分线，仅当$AB=BC$（即$△ ABC$是等腰三角形）时，根据等腰三角形三线合一，BE才是AC的中线，才有$AE=\frac{1}{2}AC$，题目未说明$△ ABC$为等腰三角形，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形的基础性质，解题的核心是先准确识别垂直平分线、角平分线两类常见作图，再结合对应性质逐一验证选项，注意不要默认普通三角形的角平分线同时是中线。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别图中的尺规作图类型：一是线段AB的垂直平分线，二是∠ABC的角平分线。再结合两类作图的性质逐一分析选项：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，且垂直平分线与线段垂直；角平分线将角分成两个相等的角。对于不确定的选项，要判断是否缺少前提条件，比如B选项需要三角形为等腰才有角平分线同时是中线，题目无此条件，因此不一定成立。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知：
1. 直线DF是线段AB的垂直平分线：
① 点F在AB的垂直平分线上，故$AF=BF$，A选项正确；
② $DF⊥AB$，即$∠BDF=90°$，在$△ BDF$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠DBF+∠DFB=180°-90°=90°$，C选项正确；
③ 由$AF=BF$，根据等边对等角得$∠BAF=∠ABF$。
2. 射线BE是$∠ABC$的角平分线，故$∠ABF=∠EBC$，结合$∠BAF=∠ABF$，等量代换得$∠BAF=∠EBC$，D选项正确。
3. 对于B选项：BE是角平分线，仅当$AB=BC$（即$△ ABC$是等腰三角形）时，根据等腰三角形三线合一，BE才是AC的中线，才有$AE=\frac{1}{2}AC$，题目未说明$△ ABC$为等腰三角形，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形的基础性质，解题的核心是先准确识别垂直平分线、角平分线两类常见作图，再结合对应性质逐一验证选项，注意不要默认普通三角形的角平分线同时是中线。
【难度系数】
0.7
3.在下列四个尺规作图的示意图中,能确定AD是△ABC中线的是图
①
.(填序号)答案
3.①
解析
【分析】
要判断AD是否为△ABC的中线，首先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，因此核心是判断点D是否为BC边的中点。接下来逐一识别四个图的尺规作图类型，若作图能得到BC边的中点，则AD为中线，否则不是。
【解析】
根据三角形中线的定义，需先确定D是BC的中点，再逐一判断：
1. 图①的作图痕迹是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线与BC的交点D就是BC的中点，连接AD后，AD就是△ABC的中线；
2. 图②的作图痕迹是AB边的垂直平分线，仅能得到AD=BD，无法证明D是BC的中点，故AD不是中线；
3. 图③的作图痕迹是∠BAC的角平分线，此时AD是△ABC的角平分线，不是中线；
4. 图④的作图痕迹是过点A作BC的垂线，此时AD是△ABC的高，不是中线。
综上只有图①符合要求。
【答案】
①
【知识点】
三角形中线定义；尺规作图识别；垂直平分线性质
【点评】
本题考查基本尺规作图的痕迹识别，以及三角形中线、角平分线、高的概念区分，属于基础题型，熟练掌握各类基本作图的操作和相关线段的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断AD是否为△ABC的中线，首先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，因此核心是判断点D是否为BC边的中点。接下来逐一识别四个图的尺规作图类型，若作图能得到BC边的中点，则AD为中线，否则不是。
【解析】
根据三角形中线的定义，需先确定D是BC的中点，再逐一判断：
1. 图①的作图痕迹是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线与BC的交点D就是BC的中点，连接AD后，AD就是△ABC的中线；
2. 图②的作图痕迹是AB边的垂直平分线，仅能得到AD=BD，无法证明D是BC的中点，故AD不是中线；
3. 图③的作图痕迹是∠BAC的角平分线，此时AD是△ABC的角平分线，不是中线；
4. 图④的作图痕迹是过点A作BC的垂线，此时AD是△ABC的高，不是中线。
综上只有图①符合要求。
【答案】
①
【知识点】
三角形中线定义；尺规作图识别；垂直平分线性质
【点评】
本题考查基本尺规作图的痕迹识别，以及三角形中线、角平分线、高的概念区分，属于基础题型，熟练掌握各类基本作图的操作和相关线段的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线DE与AB,BC分别交于点D,E,AC的垂直平分线GF与AC,BC分别交于点F,G,已知$BC=7$,$GE=2$,则$△ AGE$的周长为
11
.答案
4.11
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。据此可以得到AE=BE、AG=CG两个相等关系。要求△AGE的周长，即求AG+GE+AE的和，将AG替换为CG、AE替换为BE，就可以把周长转化为CG+BE+GE。再结合BC的长度和GE的长度，分析线段的和差关系：BE=BG+GE，CG=CE+GE，因此CG+BE=BC+GE，代入数值即可求出最终周长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵GF是AC的垂直平分线，点G在GF上
∴AG = CG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AGE的周长 = AG + GE + AE
将AG=CG、AE=BE代入得：
周长 = CG + BE + GE
又
∵BE = BG + GE，CG = CE + GE，BC = BG + GE + CE =7，GE=2
∴CG + BE = (CE + GE) + (BG + GE) = (BG + GE + CE) + GE = BC + GE =7+2=9
∴△AGE的周长 = 9 + GE =9+2=11
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段和差计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段长度的和差，掌握对应性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目条件出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。据此可以得到AE=BE、AG=CG两个相等关系。要求△AGE的周长，即求AG+GE+AE的和，将AG替换为CG、AE替换为BE，就可以把周长转化为CG+BE+GE。再结合BC的长度和GE的长度，分析线段的和差关系：BE=BG+GE，CG=CE+GE，因此CG+BE=BC+GE，代入数值即可求出最终周长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵GF是AC的垂直平分线，点G在GF上
∴AG = CG（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AGE的周长 = AG + GE + AE
将AG=CG、AE=BE代入得：
周长 = CG + BE + GE
又
∵BE = BG + GE，CG = CE + GE，BC = BG + GE + CE =7，GE=2
∴CG + BE = (CE + GE) + (BG + GE) = (BG + GE + CE) + GE = BC + GE =7+2=9
∴△AGE的周长 = 9 + GE =9+2=11
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段和差计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段长度的和差，掌握对应性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知线段AB,请你利用尺规作图作出它的四等分点. 
(第5题)
(第5题)答案
5.解:如图,作法如下:
①作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D;
②作线段 AD,BD 的垂直平分线分别交 AB 于点 C,E,则点 C,D,E 即为所求。
解析
【分析】
要作出线段AB的四等分点，本质是将线段AB平均分为4段长度相等的线段。我们已经掌握用尺规作线段垂直平分线得到线段中点（二等分点）的方法，因此可以先将AB二等分，得到两段长度相等的线段，再分别将这两段线段再次二等分，即可得到四等分点。
【解析】
作法如下：
1. 作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，此时D是AB的中点，满足$AD=BD=\frac{1}{2}AB$；
2. 分别作线段AD、BD的垂直平分线，依次交AB于点C、E，此时$AC=CD=\frac{1}{2}AD$，$DE=EB=\frac{1}{2}BD$，因此$AC=CD=DE=EB$。
点C、D、E就是线段AB的四等分点。
【答案】
如图,作法如下:
①作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D;
②作线段 AD,BD 的垂直平分线分别交 AB 于点 C,E,则点 C,D,E 即为所求。
【知识点】
1. 垂直平分线作图
2. 线段中点作法
3. 等分线段作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是利用“作垂直平分线可得到线段中点”的性质，通过两次二等分操作实现线段的四等分，要求熟练掌握线段垂直平分线的基本作图方法。
【难度系数】
0.8
要作出线段AB的四等分点，本质是将线段AB平均分为4段长度相等的线段。我们已经掌握用尺规作线段垂直平分线得到线段中点（二等分点）的方法，因此可以先将AB二等分，得到两段长度相等的线段，再分别将这两段线段再次二等分，即可得到四等分点。
【解析】
作法如下：
1. 作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，此时D是AB的中点，满足$AD=BD=\frac{1}{2}AB$；
2. 分别作线段AD、BD的垂直平分线，依次交AB于点C、E，此时$AC=CD=\frac{1}{2}AD$，$DE=EB=\frac{1}{2}BD$，因此$AC=CD=DE=EB$。
点C、D、E就是线段AB的四等分点。
【答案】
如图,作法如下:
①作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D;
②作线段 AD,BD 的垂直平分线分别交 AB 于点 C,E,则点 C,D,E 即为所求。
【知识点】
1. 垂直平分线作图
2. 线段中点作法
3. 等分线段作图
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是利用“作垂直平分线可得到线段中点”的性质，通过两次二等分操作实现线段的四等分，要求熟练掌握线段垂直平分线的基本作图方法。
【难度系数】
0.8
