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7. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 的顶点坐标分别为$A(-2,-4),B(0,-4),C(1,-1)$.
(1)画出$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$90°$后得到的$△ A_1B_1C$.
(2)将$△ A_1B_1C$先向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到$△ A_2B_2C_2$,画出$△ A_2B_2C_2$.
(3)若$△ A_2B_2C_2$可以看作是由$△ ABC$绕某点旋转得到的,则旋转中心的坐标是什么?请直接写出答案.
(1)画出$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$90°$后得到的$△ A_1B_1C$.
(2)将$△ A_1B_1C$先向左平移4个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到$△ A_2B_2C_2$,画出$△ A_2B_2C_2$.
(3)若$△ A_2B_2C_2$可以看作是由$△ ABC$绕某点旋转得到的,则旋转中心的坐标是什么?请直接写出答案.
答案
(1)如图,$△ A_1B_1C$ 即为所求。
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$ 即为所求。
(3)旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据旋转的性质，绕点C逆时针旋转90°时，点A、B的对应点$A_1$、$B_1$满足$CA_1=CA$、$CB_1=CB$，且旋转角为90°，可通过坐标变换或格点定位确定$A_1$、$B_1$的位置，顺次连接三点即可得到旋转后的三角形。
2. 第(2)问：根据平移的性质，向左平移4个单位则横坐标减4，向上平移4个单位则纵坐标加4，将$△ A_1B_1C$的三个顶点按规则变换坐标后，顺次连接即可得到平移后的三角形。
3. 第(3)问：旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，可利用“对应点到旋转中心距离相等”的性质列方程求解，也可通过作垂直平分线找交点得到结果。
【解析】
(1) 确定A、B绕点$C(1,-1)$逆时针旋转90°后的对应点：
点$A(-2,-4)$旋转后对应点$A_1$坐标为$(4,-4)$，点$B(0,-4)$旋转后对应点$B_1$坐标为$(4,-2)$，顺次连接$C$、$A_1$、$B_1$，得到$△ A_1B_1C$。
(2) 对$△ A_1B_1C$的顶点做平移变换（横坐标减4，纵坐标加4）：
$A_1(4,-4)$平移后得$A_2(0,0)$，$B_1(4,-2)$平移后得$B_2(0,2)$，$C(1,-1)$平移后得$C_2(-3,3)$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 设旋转中心坐标为$(x,y)$，选取对应点$A(-2,-4)$与$A_2(0,0)$、$B(0,-4)$与$B_2(0,2)$，根据距离相等列方程：
① $(x+2)^2+(y+4)^2=x^2+y^2$，化简得$x+2y+5=0$；
② $x^2+(y+4)^2=x^2+(y-2)^2$，化简得$y=-1$。
将$y=-1$代入$x+2y+5=0$，解得$x=-3$，即旋转中心坐标为$(-3,-1)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C$ 即为所求。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求。
(3) 旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
【知识点】
图形的旋转；图形的平移；旋转中心的确定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何变换的作图与性质应用，需要熟练掌握平移、旋转的坐标变换规则，求解旋转中心的方法是此类题的核心考点，整体属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据旋转的性质，绕点C逆时针旋转90°时，点A、B的对应点$A_1$、$B_1$满足$CA_1=CA$、$CB_1=CB$，且旋转角为90°，可通过坐标变换或格点定位确定$A_1$、$B_1$的位置，顺次连接三点即可得到旋转后的三角形。
2. 第(2)问：根据平移的性质，向左平移4个单位则横坐标减4，向上平移4个单位则纵坐标加4，将$△ A_1B_1C$的三个顶点按规则变换坐标后，顺次连接即可得到平移后的三角形。
3. 第(3)问：旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，可利用“对应点到旋转中心距离相等”的性质列方程求解，也可通过作垂直平分线找交点得到结果。
【解析】
(1) 确定A、B绕点$C(1,-1)$逆时针旋转90°后的对应点：
点$A(-2,-4)$旋转后对应点$A_1$坐标为$(4,-4)$，点$B(0,-4)$旋转后对应点$B_1$坐标为$(4,-2)$，顺次连接$C$、$A_1$、$B_1$，得到$△ A_1B_1C$。
(2) 对$△ A_1B_1C$的顶点做平移变换（横坐标减4，纵坐标加4）：
$A_1(4,-4)$平移后得$A_2(0,0)$，$B_1(4,-2)$平移后得$B_2(0,2)$，$C(1,-1)$平移后得$C_2(-3,3)$，顺次连接$A_2$、$B_2$、$C_2$，得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 设旋转中心坐标为$(x,y)$，选取对应点$A(-2,-4)$与$A_2(0,0)$、$B(0,-4)$与$B_2(0,2)$，根据距离相等列方程：
① $(x+2)^2+(y+4)^2=x^2+y^2$，化简得$x+2y+5=0$；
② $x^2+(y+4)^2=x^2+(y-2)^2$，化简得$y=-1$。
将$y=-1$代入$x+2y+5=0$，解得$x=-3$，即旋转中心坐标为$(-3,-1)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C$ 即为所求。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$ 即为所求。
(3) 旋转中心的坐标是$(-3,-1)$。
【知识点】
图形的旋转；图形的平移；旋转中心的确定
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何变换的作图与性质应用，需要熟练掌握平移、旋转的坐标变换规则，求解旋转中心的方法是此类题的核心考点，整体属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
8.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同的度数，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角最小为
$60°$
。答案
8. $60°$
解析
【分析】
首先观察到图案外轮廓为正六边形，正六边形是旋转对称图形，绕中心旋转特定角度后能与自身重合。要得到连续旋转相同度数得到该图案的最小旋转角，本质是求正六边形的最小旋转角：正n边形的最小旋转角等于周角360°除以边数n，因此只需代入正六边形的边数6计算即可。
【解析】
正n边形的最小旋转角计算公式为$\frac{360°}{n}$，本题中外轮廓是正六边形，边数n=6，代入得：
$\frac{360°}{6}=60°$
即每次旋转的最小角度为60°，连续旋转若干次即可得到题图图案。
【答案】
$60°$
【知识点】
正多边形性质、旋转对称图形、旋转角计算
【点评】
本题属于基础类考题，结合旋转性质与正多边形特征命题，解题关键是掌握正n边形最小旋转角的计算方法，熟练掌握相关结论即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先观察到图案外轮廓为正六边形，正六边形是旋转对称图形，绕中心旋转特定角度后能与自身重合。要得到连续旋转相同度数得到该图案的最小旋转角，本质是求正六边形的最小旋转角：正n边形的最小旋转角等于周角360°除以边数n，因此只需代入正六边形的边数6计算即可。
【解析】
正n边形的最小旋转角计算公式为$\frac{360°}{n}$，本题中外轮廓是正六边形，边数n=6，代入得：
$\frac{360°}{6}=60°$
即每次旋转的最小角度为60°，连续旋转若干次即可得到题图图案。
【答案】
$60°$
【知识点】
正多边形性质、旋转对称图形、旋转角计算
【点评】
本题属于基础类考题，结合旋转性质与正多边形特征命题，解题关键是掌握正n边形最小旋转角的计算方法，熟练掌握相关结论即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9. 如图，E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BE'.
(1)画出旋转后的△A'BE'.
(2)若$AE=\sqrt{5}$，$BE=1$，$CE=\sqrt{3}$，求∠BEC的度数.
(1)画出旋转后的△A'BE'.
(2)若$AE=\sqrt{5}$，$BE=1$，$CE=\sqrt{3}$，求∠BEC的度数.
答案
(1)如图所示。
(2)如图,连接$ EE' $。
$\because△ ABE$绕点$ B $顺时针旋转$ 90° $得到$△ A'BE'$,
$\therefore△ ABE≌△ A'BE',∠ EBE'=90°$。
$\because AE=\sqrt{5},BE=1$,
$\therefore BE'=BE=1,CE'=AE=\sqrt{5}$。
$\therefore∠ BEE'=45°,E'E=\sqrt{BE^2+E'B^2}=\sqrt{2}$。
又$ CE=\sqrt{3} $,
$\therefore E'E^2+CE^2=E'C^2$。
$\therefore∠ CEE'=90°$。
$\therefore∠ BEC=∠ BEE'+∠ CEE'=135°$。
解析
【分析】
第(1)问是旋转作图题，首先明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。正方形中BA顺时针旋转90°后与BC重合，因此只需将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到BE'，连接CE'即可得到旋转后的△A'BE'。
第(2)问要求∠BEC的度数，可利用旋转的性质先得到全等三角形，得到对应边相等、旋转角为90°，连接EE'构造等腰直角三角形△EBE'，先求出∠BEE'和EE'的长度，再结合已知的CE、AE长度，用勾股定理逆定理判断△EE'C为直角三角形，将两个角相加即可得到∠BEC的度数。
【解析】
(1) 按照旋转作图要求画出旋转后的图形，结果如图所示。
(2) 如图，连接$ EE' $。
$\because△ ABE$绕点$ B $顺时针旋转$ 90° $得到$△ A'BE'$，
$\therefore△ ABE≌△ A'BE',∠ EBE'=90°$。
$\because AE=\sqrt{5},BE=1$，
$\therefore BE'=BE=1,CE'=AE=\sqrt{5}$。
$\therefore△EBE'$为等腰直角三角形，$∠ BEE'=45°$，由勾股定理得$E'E=\sqrt{BE^2+E'B^2}=\sqrt{2}$。
又$ CE=\sqrt{3} $，
$\therefore E'E^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=5=(\sqrt{5})^2=E'C^2$，
根据勾股定理逆定理可得$∠ CEE'=90°$。
$\therefore∠ BEC=∠ BEE'+∠ CEE'=45°+90°=135°$。
【答案】
(1)如图所示。
(2)$135°$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，作图部分需准确把握旋转三要素，求角度的核心是通过作辅助线构造特殊三角形，把分散的边长条件集中转化为角度关系，较好地考查了图形变换的性质和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问是旋转作图题，首先明确旋转三要素：旋转中心为点B，旋转方向是顺时针，旋转角为90°。正方形中BA顺时针旋转90°后与BC重合，因此只需将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到BE'，连接CE'即可得到旋转后的△A'BE'。
第(2)问要求∠BEC的度数，可利用旋转的性质先得到全等三角形，得到对应边相等、旋转角为90°，连接EE'构造等腰直角三角形△EBE'，先求出∠BEE'和EE'的长度，再结合已知的CE、AE长度，用勾股定理逆定理判断△EE'C为直角三角形，将两个角相加即可得到∠BEC的度数。
【解析】
(1) 按照旋转作图要求画出旋转后的图形，结果如图所示。
(2) 如图，连接$ EE' $。
$\because△ ABE$绕点$ B $顺时针旋转$ 90° $得到$△ A'BE'$，
$\therefore△ ABE≌△ A'BE',∠ EBE'=90°$。
$\because AE=\sqrt{5},BE=1$，
$\therefore BE'=BE=1,CE'=AE=\sqrt{5}$。
$\therefore△EBE'$为等腰直角三角形，$∠ BEE'=45°$，由勾股定理得$E'E=\sqrt{BE^2+E'B^2}=\sqrt{2}$。
又$ CE=\sqrt{3} $，
$\therefore E'E^2+CE^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=5=(\sqrt{5})^2=E'C^2$，
根据勾股定理逆定理可得$∠ CEE'=90°$。
$\therefore∠ BEC=∠ BEE'+∠ CEE'=45°+90°=135°$。
【答案】
(1)如图所示。
(2)$135°$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，作图部分需准确把握旋转三要素，求角度的核心是通过作辅助线构造特殊三角形，把分散的边长条件集中转化为角度关系，较好地考查了图形变换的性质和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O按逆时针方向旋转,每次旋转$45°$.第1次旋转$45°$,得到正方形$OA_1B_1C_1$;第2次旋转$45°$,得到正方形$OA_2B_2C_2$;……;第2 026次旋转$45°$,得到正方形$OA_{2\ 026}B_{2\ 026}C_{2\ 026}$.如果点A的坐标为$(1,0)$,那么点$B_{2\ 026}$的坐标为
$(-1,1)$
.答案
10. $(-1,1)$ 【解析】
∵点 A 的坐标为$(1,0)$,四边形OABC 是正方形，
$\therefore OA=AB=1,∠ OAB=90°$。
连接$ OB $并将 $ OB $ 多次按逆时针方向旋转$ 45° $,画图如下。
由勾股定理得 $ OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $。
由旋转的性质得 $ OB=OB_1=OB_2=OB_3=OB_4=OB_5=OB_6=OB_7=\sqrt{2} $。
$∠ AOB=∠ BOB_1=∠ B_1OB_2=∠ B_2OB_3=∠ B_3OB_4=∠ B_4OB_5=∠ B_5OB_6=∠ B_6OB_7=45°$。
易得 $ B_1(0,\sqrt{2}),B_2(-1,1),B_3(-\sqrt{2},0),B_4(-1,-1),B_5(0,-\sqrt{2}),B_6(1,-1),B_7(\sqrt{2},0),B_8(1,1),\dots $。
由此可知,每旋转8次,点$ B $ 又回到初始位置。
$\because 2\ 026÷8=253\dots\dots2$,
$\therefore$点$ B_{2\ 026} $ 的坐标与点$ B_2 $ 的坐标相同,为$ (-1,1) $。
解析
【分析】
首先，根据已知的点A坐标和正方形的性质，先确定初始点B的坐标，再用勾股定理求出OB的长度。其次，每次旋转角度为45°，旋转一周共360°，因此点B的位置每旋转8次就会循环一次，属于周期规律问题。我们可以先计算出前8次旋转后对应点$B_1$到$B_8$的坐标，找到循环规律，再计算2026除以8的余数，确定$B_{2026}$的坐标与周期内第几个点的坐标一致，即可求解。
【解析】
∵点A的坐标为$(1,0)$，四边形OABC是正方形，
∴$OA=AB=1$，$∠OAB=90°$，初始点B坐标为$(1,1)$。
连接OB，由勾股定理得 $OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由旋转的性质得，旋转过程中OB长度不变，即$OB=OB_1=OB_2=OB_3=\dots=\sqrt{2}$，每次旋转角度为$45°$。
依次计算前8次旋转后点B的坐标：$B_1(0,\sqrt{2}),B_2(-1,1),B_3(-\sqrt{2},0),B_4(-1,-1),B_5(0,-\sqrt{2}),B_6(1,-1),B_7(\sqrt{2},0),B_8(1,1)$，
由此可知，每旋转8次，点B回到初始位置，循环周期为8。
∵$2026÷8=253\dots\dots2$，余数为2，
∴点$B_{2026}$的坐标与点$B_2$的坐标相同。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
正方形的性质，坐标与旋转，周期规律探究
【点评】
本题结合正方形和旋转的性质考查规律探究问题，解题关键是找到点B坐标的循环周期，再结合余数对应到周期内的点，考查了学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据已知的点A坐标和正方形的性质，先确定初始点B的坐标，再用勾股定理求出OB的长度。其次，每次旋转角度为45°，旋转一周共360°，因此点B的位置每旋转8次就会循环一次，属于周期规律问题。我们可以先计算出前8次旋转后对应点$B_1$到$B_8$的坐标，找到循环规律，再计算2026除以8的余数，确定$B_{2026}$的坐标与周期内第几个点的坐标一致，即可求解。
【解析】
∵点A的坐标为$(1,0)$，四边形OABC是正方形，
∴$OA=AB=1$，$∠OAB=90°$，初始点B坐标为$(1,1)$。
连接OB，由勾股定理得 $OB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
由旋转的性质得，旋转过程中OB长度不变，即$OB=OB_1=OB_2=OB_3=\dots=\sqrt{2}$，每次旋转角度为$45°$。
依次计算前8次旋转后点B的坐标：$B_1(0,\sqrt{2}),B_2(-1,1),B_3(-\sqrt{2},0),B_4(-1,-1),B_5(0,-\sqrt{2}),B_6(1,-1),B_7(\sqrt{2},0),B_8(1,1)$，
由此可知，每旋转8次，点B回到初始位置，循环周期为8。
∵$2026÷8=253\dots\dots2$，余数为2，
∴点$B_{2026}$的坐标与点$B_2$的坐标相同。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
正方形的性质，坐标与旋转，周期规律探究
【点评】
本题结合正方形和旋转的性质考查规律探究问题，解题关键是找到点B坐标的循环周期，再结合余数对应到周期内的点，考查了学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
