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基础知识·预习
问题1 什么样的两个图形成中心对称？中心对称与轴对称有什么区别？
问题2 你能结合实例说明中心对称有哪些性质吗？
问题3 自己画一个三角形，你能作出它关于任意一个顶点对称的三角形吗？
问题1 什么样的两个图形成中心对称？中心对称与轴对称有什么区别？
问题2 你能结合实例说明中心对称有哪些性质吗？
问题3 自己画一个三角形，你能作出它关于任意一个顶点对称的三角形吗？
答案
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
中心对称与轴对称的区别：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 中心对称的性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
实例：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等。
3. 可以作出。作图步骤：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
中心对称与轴对称的区别：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 中心对称的性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
实例：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等。
3. 可以作出。作图步骤：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
解析
【分析】
这三个问题均围绕中心对称的基础知识点设置，解题思路清晰：①解答问题1时，先明确中心对称的定义，再从变换方式、对称点连线的性质两个核心维度对比中心对称与轴对称，就能清晰区分两个易混概念，避免漏答要点；②解答问题2时，从中心对称的定义出发即可推导得出两条核心性质，举例时只要选取两个完全相同、可通过旋转180°重合的物体，紧扣性质描述即可；③解答问题3时，利用“中心对称的对称点连线过对称中心且被对称中心平分”的性质，将选定的三角形顶点作为对称中心，找到另外两个顶点的对称点后依次连线，就能得到所求的对称三角形。
【解析】
1. 首先根据中心对称的定义可得：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
对比中心对称和轴对称的区别可从变换方式、对称点性质两个角度梳理：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 由中心对称的定义可推导其性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
举实例验证：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等，符合中心对称的两条性质。
3. 可以作出该对称三角形，作图过程利用中心对称的性质操作：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
【答案】
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
中心对称与轴对称的区别：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 中心对称的性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
实例：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等。
3. 可以作出。作图步骤：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
【知识点】
中心对称的定义；中心对称与轴对称的区别；中心对称作图
【点评】
本组题目属于中心对称的基础类习题，聚焦核心概念的理解、易混概念的辨析以及基础作图能力的考察，扎实掌握这部分内容是后续学习中心对称图形、中心对称应用等知识的重要基础。
【难度系数】
0.8
这三个问题均围绕中心对称的基础知识点设置，解题思路清晰：①解答问题1时，先明确中心对称的定义，再从变换方式、对称点连线的性质两个核心维度对比中心对称与轴对称，就能清晰区分两个易混概念，避免漏答要点；②解答问题2时，从中心对称的定义出发即可推导得出两条核心性质，举例时只要选取两个完全相同、可通过旋转180°重合的物体，紧扣性质描述即可；③解答问题3时，利用“中心对称的对称点连线过对称中心且被对称中心平分”的性质，将选定的三角形顶点作为对称中心，找到另外两个顶点的对称点后依次连线，就能得到所求的对称三角形。
【解析】
1. 首先根据中心对称的定义可得：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
对比中心对称和轴对称的区别可从变换方式、对称点性质两个角度梳理：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 由中心对称的定义可推导其性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
举实例验证：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等，符合中心对称的两条性质。
3. 可以作出该对称三角形，作图过程利用中心对称的性质操作：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
【答案】
1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。
中心对称与轴对称的区别：
① 变换方式不同：轴对称是沿一条直线翻折180°，中心对称是绕某一定点旋转180°；
② 对称点连线性质不同：轴对称的对称点连线被对称轴垂直平分，中心对称的对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。
2. 中心对称的性质：① 成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分；② 成中心对称的两个图形是全等图形。
实例：例如将两个完全相同的三角板，选定两板之间的某一点作为对称中心，将其中一个三角板绕该点旋转180°后可以和另一个三角板完全重合，两个三角板的对应点连线都经过选定的对称中心，且到对称中心的距离相等，两个三角板本身完全全等。
3. 可以作出。作图步骤：假设原三角形为△ABC，选取任意一个顶点例如点A作为对称中心，分别延长线段BA到点B'，使AB'=AB，延长线段CA到点C'，使AC'=AC，连接B'C'，得到的△AB'C'就是△ABC关于顶点A对称的三角形。
【知识点】
中心对称的定义；中心对称与轴对称的区别；中心对称作图
【点评】
本组题目属于中心对称的基础类习题，聚焦核心概念的理解、易混概念的辨析以及基础作图能力的考察，扎实掌握这部分内容是后续学习中心对称图形、中心对称应用等知识的重要基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】如图，$△ ABC$ 和 $△ DEF$关于某点对称，连接 $AF$，$CD$.
(1)画出它们的对称中心 $O$.（保留作图痕迹）
(2)若 $AC = 6$，$AB = 5$，$BC = 4$，求$△ DEF$ 的周长.
(3)试判断四边形 $ACDF$ 是不是平行四边形，并说明理由.
思路导引 (1)根据对称点所连线段经过对称中心求解.
(2)利用成中心对称的两个图形全等这个性质求解.
(3)结合第(1)问进行求解.
【解】(1)如图，连接 $AD$，$CF$，$AD$ 与 $CF$ 交于点 $O$，点 $O$ 即为所求.
(2)由中心对称的性质，得 $△ ABC ≌ △ DEF$.
$\therefore △ DEF$ 的周长与 $△ ABC$ 的周长相等，为 $6+5+4=15$.
(3)四边形 $ACDF$ 是平行四边形.理由如下：
由中心对称的性质可知，$OA = OD$，$OC = OF$，
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
规律方法 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形全等.
(2)对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.
(3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
(1)画出它们的对称中心 $O$.（保留作图痕迹）
(2)若 $AC = 6$，$AB = 5$，$BC = 4$，求$△ DEF$ 的周长.
(3)试判断四边形 $ACDF$ 是不是平行四边形，并说明理由.
思路导引 (1)根据对称点所连线段经过对称中心求解.
(2)利用成中心对称的两个图形全等这个性质求解.
(3)结合第(1)问进行求解.
【解】(1)如图，连接 $AD$，$CF$，$AD$ 与 $CF$ 交于点 $O$，点 $O$ 即为所求.
(2)由中心对称的性质，得 $△ ABC ≌ △ DEF$.
$\therefore △ DEF$ 的周长与 $△ ABC$ 的周长相等，为 $6+5+4=15$.
(3)四边形 $ACDF$ 是平行四边形.理由如下：
由中心对称的性质可知，$OA = OD$，$OC = OF$，
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
规律方法 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形全等.
(2)对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.
(3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
答案
(1) 如图，连接 AD，CF，AD 与 CF 交于点 O，点 O 即为所求.
(2) 由中心对称的性质，得 $△ ABC ≌ △ DEF$.
$\therefore △ DEF$ 的周长与 $△ ABC$ 的周长相等，为 $6+5+4=15$.
(3) 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.理由如下：
由中心对称的性质可知，$OA = OD$，$OC = OF$，
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
规律方法 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形全等.
(2)对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.
(3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
解析
【分析】
(1) 确定对称中心可利用中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，只需连接两组对应点，两条连线的交点就是对称中心。本题中A和D、C和F是两组对应点，连接AD、CF，交点即为所求对称中心O。
(2) 求△DEF的周长时，根据成中心对称的两个图形全等的性质，可知△DEF和△ABC的对应边相等，因此△DEF的周长等于△ABC的周长，直接计算△ABC的三边和即可得到结果。
(3) 判断四边形ACDF是否为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理分析：由中心对称的性质可得对称点的连线被对称中心平分，即OA=OD、OC=OF，说明四边形ACDF的对角线互相平分，即可判定它是平行四边形。
【解析】
(1) 分别连接两组对应点AD、CF，两条线段的交点即为对称中心O，按要求保留作图痕迹即可。
(2) 因为△ABC和△DEF关于某点成中心对称，根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，所以△ABC≌△DEF。
因此△DEF的三边长分别和△ABC对应边相等，△DEF的周长=△ABC的周长=6+5+4=15。
(3) 四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
根据中心对称的性质，对称点所连线段被对称中心平分，可得OA=OD，OC=OF，即四边形ACDF的对角线AD、CF互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
(1) 如图，连接 AD，CF，AD 与 CF 交于点 O，点 O 即为所求.
(2) 由中心对称的性质，得 $△ ABC ≌ △ DEF$.
$\therefore △ DEF$ 的周长与 $△ ABC$ 的周长相等，为 $6+5+4=15$.
(3) 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.理由如下：
由中心对称的性质可知，$OA = OD$，$OC = OF$，
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
规律方法 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形全等.
(2)对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.
(3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
【知识点】
中心对称的性质、平行四边形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题结合作图、计算、证明三类题型考察中心对称的相关知识，解题的核心是熟练掌握中心对称的三条性质，能结合全等、平行四边形的相关知识点解决问题，是对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 确定对称中心可利用中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，只需连接两组对应点，两条连线的交点就是对称中心。本题中A和D、C和F是两组对应点，连接AD、CF，交点即为所求对称中心O。
(2) 求△DEF的周长时，根据成中心对称的两个图形全等的性质，可知△DEF和△ABC的对应边相等，因此△DEF的周长等于△ABC的周长，直接计算△ABC的三边和即可得到结果。
(3) 判断四边形ACDF是否为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理分析：由中心对称的性质可得对称点的连线被对称中心平分，即OA=OD、OC=OF，说明四边形ACDF的对角线互相平分，即可判定它是平行四边形。
【解析】
(1) 分别连接两组对应点AD、CF，两条线段的交点即为对称中心O，按要求保留作图痕迹即可。
(2) 因为△ABC和△DEF关于某点成中心对称，根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等，所以△ABC≌△DEF。
因此△DEF的三边长分别和△ABC对应边相等，△DEF的周长=△ABC的周长=6+5+4=15。
(3) 四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
根据中心对称的性质，对称点所连线段被对称中心平分，可得OA=OD，OC=OF，即四边形ACDF的对角线AD、CF互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
(1) 如图，连接 AD，CF，AD 与 CF 交于点 O，点 O 即为所求.
(2) 由中心对称的性质，得 $△ ABC ≌ △ DEF$.
$\therefore △ DEF$ 的周长与 $△ ABC$ 的周长相等，为 $6+5+4=15$.
(3) 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.理由如下：
由中心对称的性质可知，$OA = OD$，$OC = OF$，
$\therefore$ 四边形 $ACDF$ 是平行四边形.
规律方法 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形全等.
(2)对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分.
(3)对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
【知识点】
中心对称的性质、平行四边形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题结合作图、计算、证明三类题型考察中心对称的相关知识，解题的核心是熟练掌握中心对称的三条性质，能结合全等、平行四边形的相关知识点解决问题，是对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
