1. 如图，$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，垂足分别为$C$，$D$，若要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ BAD$全等，则还需要添加一个条件是().

A.$∠ CAB = ∠ DBA$
B.$AB = BD$
C.$BC = AD$
D.$∠ ABC = ∠ BAD$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先明确HL定理的适用要求：HL是直角三角形特有的全等判定定理，需要满足两个直角三角形的斜边和任意一条直角边分别对应相等。首先观察图形，Rt△ABC和Rt△BAD的斜边都是公共边AB，因此斜边已经天然相等，要使用HL证明全等，只需要再添加一组直角边对应相等即可。接下来逐一排查选项：首先排除涉及角相等的A、D选项，二者属于AAS判定的条件，不符合HL要求；再排除对应边不匹配的B选项，AB是斜边、BD是直角边，不可能对应相等；最后验证C选项，BC和AD分别是两个直角三角形的直角边，满足HL的要求，即可得到答案。
【解析】
解：
∵$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$
∴$∠C=∠D=90°$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$均为直角三角形
两个直角三角形的斜边为公共边$AB$，因此$AB=BA$（公共边相等）
根据HL判定定理，还需要一组直角边对应相等，可添加的条件为$AC=BD$或$BC=AD$。
对选项逐一分析：
A. $∠ CAB = ∠ DBA$，结合$∠C=∠D$、$AB=BA$，可通过AAS证明全等，不符合HL的要求，排除；
B. $AB$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，$BD$是$\mathrm{Rt}△ BAD$的直角边，二者不可能对应相等，对应边不匹配，排除；
C. $BC = AD$，是两个直角三角形的一组直角边相等，结合公共斜边$AB=BA$，可通过HL证明全等，符合要求；
D. $∠ ABC = ∠ BAD$，结合$∠C=∠D$、$AB=BA$，可通过AAS证明全等，不符合HL的要求，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
HL全等判定定理；全等三角形判定条件
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定的适用条件，做题时需要先明确HL仅适用于直角三角形，且要准确区分两个直角三角形的斜边和直角边，避免对应边错配，同时要注意区分HL和其他普通全等判定定理的差异。
【难度系数】
0.8

2.如图，AB＝DE，AD⊥BE，垂足C是BE的中点.求证AB//DE.

2. 证明 $\because AD⊥ BE$,
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°$.
$\because C$ 是 $BE$ 的中点,
$\therefore BC=CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中,$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ B=∠ E$,
$\therefore AB// DE$.

【分析】
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定定理，只需证明内错角$∠ B=∠ E$即可。观察图形可知$△ ABC$和$△ DEC$都是直角三角形：已知$AD⊥ BE$可得两个三角形的直角相等，$C$是$BE$中点可得直角边$BC=CE$，再结合已知条件$AB=DE$，可通过$HL$定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到$∠ B=∠ E$，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：$\because AD⊥ BE$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\because C$是$BE$的中点，
$\therefore BC=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ E$，
$\therefore AB// DE$。
【答案】
$AB// DE$，证明过程见解析。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是结合已知条件定位到需要证明全等的直角三角形，再借助全等的性质得到相等的角，最终推导平行关系，是巩固直角三角形全等判定的典型习题。
【难度系数】
0.8

3.如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从点A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,两人分别同时到达点C,D,且$CB ⊥ AB$,$DA ⊥ AB$.

(1)CB与DA相等吗？为什么？
(2)若$∠ DAC = 60°$,求$∠ DBA$的度数.

3. 解 (1)$CB=DA$,理由:
由题意可得 $AC=BD$,
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中,$\begin{cases} AC=BD, \\ AB=BA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$,
$\therefore CB=DA$.
(2)由题意可得$∠ CAB=90°-60°=30°$,
又 $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$,
$\therefore ∠ DBA=∠ BAC=30°$.

【分析】
（1）要判断CB与DA是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据“速度相同、同时出发同时到达”可得两人行走路程相等，即$AC=BD$；再结合垂直条件可知$△ ABC$和$△ BAD$都是直角三角形，且两个三角形有公共边$AB$，因此可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到$CB=DA$。
（2）要求$∠ DBA$的度数，先由$∠ DAB$是直角，结合已知$∠ DAC=60°$，先计算出$∠ CAB$的度数；再利用第一问得到的全等三角形对应角相等的性质，即可得到$∠ DBA$和$∠ CAB$相等，从而求出$∠ DBA$的度数。
【解析】
(1) $CB=DA$，理由如下：
由题意得小明和小芳行走路程相等，即 $AC=BD$。
$\because CB⊥ AB, DA⊥ AB$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°$，$△ ABC$和$△ BAD$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中：
$\begin{cases}AC=BD \\AB=BA\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$，
$\therefore CB=DA$。
(2) $\because DA⊥ AB$，$\therefore ∠ DAB=90°$，
$\because ∠ DAC=60°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ DAB-∠ DAC=90°-60°=30°$，
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ BAD$，根据全等三角形对应角相等：
$\therefore ∠ DBA=∠ BAC=30°$。
【答案】
(1) $CB=DA$，理由见解析；
(2) $∠ DBA=30°$。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的性质
3. 直角的性质
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定与性质的综合应用，解题关键是从行程条件中提取边相等的关系，结合垂直条件构造全等三角形，再利用全等性质求解线段关系和角度，解题逻辑清晰，侧重基础应用。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O。如果$AB = AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是()。

A.1
B.2
C.3
D.4

4. C

【分析】
要找全等的直角三角形，我们可以按照由大到小的顺序逐步分析：首先根据已知的垂直条件可得两个大直角△ABE和△ACD的直角相等，结合公共角∠A和已知AB=AC，可先证这对三角形全等；再利用全等得到的边、角相等关系，依次判断剩余直角三角形是否全等即可。
【解析】
解：已知CD⊥AB，BE⊥AC，故所有待判断的三角形均为直角三角形，全等判定如下：
1. 证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD$：
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC = 90° \\∠ A = ∠ A \\AB = AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD$（AAS），为第1对全等直角三角形。
由全等性质可得：$AD=AE$，$∠ B = ∠ C$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AB-AD = AC-AE$，即$BD=CE$。
2. 证明$\mathrm{Rt}△ BOD ≌ \mathrm{Rt}△ COE$：
在$△ BOD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOD = ∠ COE（对顶角相等） \\BD = CE\end{cases}$
∴$△ BOD ≌ △ COE$（AAS），为第2对全等直角三角形。
由全等性质可得：$OD=OE$。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，
$\begin{cases}AD = AE \\AO = AO（公共边）\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$（HL），为第3对全等直角三角形。
综上，全等的直角三角形共3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、直角三角形HL判定
【点评】
本题需要按顺序寻找全等直角三角形，要学会将已证全等得到的边角相等作为后续证明的条件，避免漏判全等对。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF=AE,BC=DA.求证BE=DF.

5. 证明 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中,$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$,
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=DF$.

【分析】
要证明BE=DF，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先观察BE、DF分别在Rt△ABE和Rt△CDF中，已知AE=CF，且两个三角形均为直角三角形，还缺少一组直角边相等的条件，即AB=CD。结合已知的DA=BC，∠ADC=∠ABC=90°，AC是两个大直角三角形的公共斜边，可先利用HL定理证明Rt△ADC≌Rt△CBA，得到DC=BA，再用HL定理证明两个小直角三角形全等，即可得到BE=DF。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△CBA$ 中,
$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△CBA(\mathrm{HL})$,
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥AC,DF⊥AC$,
$\therefore ∠AEB=∠CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中,
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=DF$.
【答案】
证明 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中,$\begin{cases} DA=BC, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL})$,
$\therefore DC=BA$.
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC$,
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=DF$.
【知识点】
HL判定全等，全等三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题型，需要两次证明三角形全等，解题的关键是善于挖掘公共边这类隐含条件，逐步推导得到证明所需的边相等的条件，进而得出结论。
【难度系数】
0.7