登录
1. 作已知角的平分线
已知$∠ AOB$,求作$∠ AOB$的平分线.
作法:如图,已知$∠ AOB$.
(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,
(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离
已知$∠ AOB$,求作$∠ AOB$的平分线.
作法:如图,已知$∠ AOB$.
(1)以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$.
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,
大于$\frac{1}{2}MN$
的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$的内部
相交于点$C$.(3)作射线$OC$.射线$OC$即为$∠ AOB$的平分线.
2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离
相等
.答案
1.(2) 大于$\frac{1}{2}MN$ 内部
2. 相等
2. 相等
解析
【分析】
本题属于基础概念类题目，解题时可直接回忆对应知识点：①回忆角平分线的尺规作图步骤：第一步以O为圆心画弧得到OM=ON，第二步作弧时，若半径小于等于$\frac{1}{2}MN$，两弧不会出现角内部的交点，因此半径需大于$\frac{1}{2}MN$，且交点要取在角的内部，才能得到角内的平分线；②角平分线的性质是课本要求牢记的基础结论，直接对应填空即可。
【解析】
1. (2) 尺规作角平分线时，若以M、N为圆心作弧的半径≤$\frac{1}{2}MN$，两弧无交点或交点在线段MN上，无法得到角内部的有效交点，因此需取大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径；为保证作出的射线在∠AOB内部并平分该角，两弧的交点要取在∠AOB的内部。
2. 根据角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角两边的距离相等。
【答案】
1.(2) 大于$\frac{1}{2}MN$；内部
2. 相等
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线的作图规范和基础性质，属于基础概念题，熟练掌握相关操作要求和性质内容是解题的核心，这部分知识是后续解决角度相关证明、计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念类题目，解题时可直接回忆对应知识点：①回忆角平分线的尺规作图步骤：第一步以O为圆心画弧得到OM=ON，第二步作弧时，若半径小于等于$\frac{1}{2}MN$，两弧不会出现角内部的交点，因此半径需大于$\frac{1}{2}MN$，且交点要取在角的内部，才能得到角内的平分线；②角平分线的性质是课本要求牢记的基础结论，直接对应填空即可。
【解析】
1. (2) 尺规作角平分线时，若以M、N为圆心作弧的半径≤$\frac{1}{2}MN$，两弧无交点或交点在线段MN上，无法得到角内部的有效交点，因此需取大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径；为保证作出的射线在∠AOB内部并平分该角，两弧的交点要取在∠AOB的内部。
2. 根据角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角两边的距离相等。
【答案】
1.(2) 大于$\frac{1}{2}MN$；内部
2. 相等
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线的性质
【点评】
本题考查角平分线的作图规范和基础性质，属于基础概念题，熟练掌握相关操作要求和性质内容是解题的核心，这部分知识是后续解决角度相关证明、计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 作已知角的平分线
[典例1]如图，已知$∠ AOB$内一点$C$及线段$a$，在$∠ AOB$内求作一点$P$，使点$P$到射线$OA$和$OB$的距离相等，且$PC=a$.
[典例1]如图，已知$∠ AOB$内一点$C$及线段$a$，在$∠ AOB$内求作一点$P$，使点$P$到射线$OA$和$OB$的距离相等，且$PC=a$.
答案
解：
作法：
1. 作∠AOB的平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交OM于∠AOB内部的点P。
点P即为所求作的点。
作法：
1. 作∠AOB的平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交OM于∠AOB内部的点P。
点P即为所求作的点。
解析
【分析】
要找到满足要求的点P，可通过“轨迹法”拆分条件分析：首先，到OA、OB距离相等的点，根据角平分线的判定，全部在∠AOB的角平分线上；其次，到点C距离等于a的点，根据圆的定义，全部在以C为圆心、a为半径的圆弧上。两个轨迹的交点即可同时满足两个条件，取∠AOB内部的交点即为所求。
【解析】
我们分两步完成作图：
1. 按照尺规作角平分线的方法，作出∠AOB的角平分线OM，此时OM上所有点都满足到OA、OB的距离相等的要求；
2. 以点C为圆心，线段a的长度为半径画弧，弧与OM在∠AOB内部的交点就是点P，该点同时满足PC=a的要求。
【答案】
作法：
1. 作∠AOB的平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交OM于∠AOB内部的点P。
点P即为所求作的点。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题是基础的双条件尺规作图题，核心解题思路是将两个作图要求分别转化为对应点的轨迹，取轨迹交点得到所求点，能很好地考察对几何基本性质的应用能力和作图实操能力。
【难度系数】
0.7
要找到满足要求的点P，可通过“轨迹法”拆分条件分析：首先，到OA、OB距离相等的点，根据角平分线的判定，全部在∠AOB的角平分线上；其次，到点C距离等于a的点，根据圆的定义，全部在以C为圆心、a为半径的圆弧上。两个轨迹的交点即可同时满足两个条件，取∠AOB内部的交点即为所求。
【解析】
我们分两步完成作图：
1. 按照尺规作角平分线的方法，作出∠AOB的角平分线OM，此时OM上所有点都满足到OA、OB的距离相等的要求；
2. 以点C为圆心，线段a的长度为半径画弧，弧与OM在∠AOB内部的交点就是点P，该点同时满足PC=a的要求。
【答案】
作法：
1. 作∠AOB的平分线OM；
2. 以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交OM于∠AOB内部的点P。
点P即为所求作的点。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题是基础的双条件尺规作图题，核心解题思路是将两个作图要求分别转化为对应点的轨迹，取轨迹交点得到所求点，能很好地考察对几何基本性质的应用能力和作图实操能力。
【难度系数】
0.7
[典例2]如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 90°$,BD平分$∠ ABC$,$AD = 3\ \mathrm{cm}$,$BC = 10\ \mathrm{cm}$,求$△ DBC$的面积.
温馨提示 利用角的平分线的性质解决相关线段相等问题比利用三角形全等去解决更直观、更快捷.
[举一反三]如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,求DE的长.
典例解析
温馨提示 利用角的平分线的性质解决相关线段相等问题比利用三角形全等去解决更直观、更快捷.
[举一反三]如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,求DE的长.
典例解析
答案
解
∵AD 平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
∴$DE=DF$.
∵$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF = \frac{1}{2} (AB + AC)×DE$,
即$\frac{1}{2}×(16+12)×DE=28$,
∴$DE=2\ \mathrm{cm}$.
∵AD 平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
∴$DE=DF$.
∵$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF = \frac{1}{2} (AB + AC)×DE$,
即$\frac{1}{2}×(16+12)×DE=28$,
∴$DE=2\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠BAC的角平分线，且DE、DF分别是点D到角两边AB、AC的垂线段，根据角平分线的性质可直接得到DE=DF；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的高分别为DE、DF，底分别为AB、AC，结合已知的面积、AB和AC的长度，代入面积公式建立方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF$，
又
∵$DE=DF$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2} (AB + AC)×DE$，
将$S_{△ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×(16+12)×DE=28$，
即$14DE=28$，
解得$DE=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DE=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过分割图形面积建立等量关系求解，这种将整体面积拆分为部分面积之和的方法在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠BAC的角平分线，且DE、DF分别是点D到角两边AB、AC的垂线段，根据角平分线的性质可直接得到DE=DF；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的高分别为DE、DF，底分别为AB、AC，结合已知的面积、AB和AC的长度，代入面积公式建立方程即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2} AB × DE + \frac{1}{2} AC × DF$，
又
∵$DE=DF$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2} (AB + AC)×DE$，
将$S_{△ABC}=28\ \mathrm{cm}^2$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×(16+12)×DE=28$，
即$14DE=28$，
解得$DE=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$DE=2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是利用角平分线的性质得到两条高相等，再通过分割图形面积建立等量关系求解，这种将整体面积拆分为部分面积之和的方法在几何计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
