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1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 （）
A.$y=x^2+1$
B.$y=2x-1$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$\dfrac{y}{x}=4$
A.$y=x^2+1$
B.$y=2x-1$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$\dfrac{y}{x}=4$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，且$k\ne 0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$（k≠0）的形式。接下来只需逐个分析各选项的函数类型，结合一次函数、二次函数的定义排除不符合的选项，就能得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=x^2+1$中x的最高次数为2，属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
B. $y=2x-1$中x的次数为1，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
C. $y=-\dfrac{3}{x}$符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-3\ne 0$，是反比例函数，符合要求；
D. 对$\dfrac{y}{x}=4$整理可得$y=4x$，x的次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合反比例函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一次函数的识别
3. 二次函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对不同类型函数定义的区分，解题关键是牢记反比例函数的标准形式，遇到形式不直观的函数解析式要先整理成最简形式再判断，熟练掌握各类函数的定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反比例函数的定义标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，且$k\ne 0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$、$y=kx^{-1}$（k≠0）的形式。接下来只需逐个分析各选项的函数类型，结合一次函数、二次函数的定义排除不符合的选项，就能得出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k\ne 0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=x^2+1$中x的最高次数为2，属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
B. $y=2x-1$中x的次数为1，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
C. $y=-\dfrac{3}{x}$符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-3\ne 0$，是反比例函数，符合要求；
D. 对$\dfrac{y}{x}=4$整理可得$y=4x$，x的次数为1，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合反比例函数定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一次函数的识别
3. 二次函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对不同类型函数定义的区分，解题关键是牢记反比例函数的标准形式，遇到形式不直观的函数解析式要先整理成最简形式再判断，熟练掌握各类函数的定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 下列函数关系中,成反比例函数关系的是 ()
A.矩形的面积S一定时,长a与宽b的函数关系
B.矩形的长a一定时,面积S与宽b的函数关系
C.正方形的面积S与边长a的函数关系
D.正方形的周长L与边长a的函数关系
A.矩形的面积S一定时,长a与宽b的函数关系
B.矩形的长a一定时,面积S与宽b的函数关系
C.正方形的面积S与边长a的函数关系
D.正方形的周长L与边长a的函数关系
答案
A
解析
【分析】
要判断是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。解题时先根据各选项涉及的几何图形公式推导对应的函数关系式，再对照反比例函数的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是不为0的常数）的函数，叫做反比例函数。我们逐个分析选项：
A选项：矩形面积公式为$S=ab$，当$S$一定时，变形得$a=\frac{S}{b}$，$S$是不为0的常数，符合反比例函数的定义，故该选项符合题意；
B选项：矩形的长$a$一定时，由$S=ab$得$S=a· b$，$a$是不为0的常数，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合题意；
C选项：正方形面积公式为$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数定义，不符合题意；
D选项：正方形周长公式为$L=4a$，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.正比例函数的概念
3.二次函数的概念
【点评】
本题属于函数类型辨识的基础题，解题核心是先根据几何数量关系写出函数表达式，再结合各类函数的定义特征匹配判断，熟练掌握常见函数的形式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。解题时先根据各选项涉及的几何图形公式推导对应的函数关系式，再对照反比例函数的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是不为0的常数）的函数，叫做反比例函数。我们逐个分析选项：
A选项：矩形面积公式为$S=ab$，当$S$一定时，变形得$a=\frac{S}{b}$，$S$是不为0的常数，符合反比例函数的定义，故该选项符合题意；
B选项：矩形的长$a$一定时，由$S=ab$得$S=a· b$，$a$是不为0的常数，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合题意；
C选项：正方形面积公式为$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数定义，不符合题意；
D选项：正方形周长公式为$L=4a$，符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，是正比例函数，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.正比例函数的概念
3.二次函数的概念
【点评】
本题属于函数类型辨识的基础题，解题核心是先根据几何数量关系写出函数表达式，再结合各类函数的定义特征匹配判断，熟练掌握常见函数的形式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 在一定条件下,乐器中弦振动的频率$f$与弦长$l$成反比例关系,即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数,$k≠0$).若某乐器的弦长$l$为0.9 m,振动频率$f$为200 Hz,则$k$的值为 ()
A.160
B.170
C.180
D.190
A.160
B.170
C.180
D.190
答案
C
解析
【分析】
本题已经明确给出弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组对应的$l$、$f$的取值，要求常数$k$的值。解题时只需将已知的$l$和$f$代入给定的反比例函数表达式，通过简单的一元一次方程运算就能求出$k$的取值。
【解析】
已知反比例函数关系式为$f=\frac{k}{l}$（$k$为常数，$k≠0$），
将$l=0.9\ \mathrm{m}$，$f=200\ \mathrm{Hz}$代入上述关系式，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
等式两边同时乘$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；代入法求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，核心考查对反比例函数表达式的理解和简单运算能力，解题关键是准确代入已知数值计算。
【难度系数】
0.9
本题已经明确给出弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组对应的$l$、$f$的取值，要求常数$k$的值。解题时只需将已知的$l$和$f$代入给定的反比例函数表达式，通过简单的一元一次方程运算就能求出$k$的取值。
【解析】
已知反比例函数关系式为$f=\frac{k}{l}$（$k$为常数，$k≠0$），
将$l=0.9\ \mathrm{m}$，$f=200\ \mathrm{Hz}$代入上述关系式，可得：
$200=\frac{k}{0.9}$
等式两边同时乘$0.9$，解得：
$k=200×0.9=180$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；代入法求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，核心考查对反比例函数表达式的理解和简单运算能力，解题关键是准确代入已知数值计算。
【难度系数】
0.9
4. 已知反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$,当$x=2$时,$y$的值是 （）
A.12
B.-12
C.3
D.-3
A.12
B.-12
C.3
D.-3
答案
D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的求值问题，解题思路清晰明确：题目已经给出反比例函数的解析式和自变量x的取值，我们只需将x=2代入函数解析式中，按照有理数的运算规则计算即可得到对应的y值，计算时要注意解析式中的负号，避免符号出错。
【解析】
将$x=2$代入反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$中，可得：
$y=-\dfrac{6}{2}=-3$
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 函数值求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查学生对反比例函数代入求值方法的掌握程度，计算量小，只要运算时注意符号，很容易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的求值问题，解题思路清晰明确：题目已经给出反比例函数的解析式和自变量x的取值，我们只需将x=2代入函数解析式中，按照有理数的运算规则计算即可得到对应的y值，计算时要注意解析式中的负号，避免符号出错。
【解析】
将$x=2$代入反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$中，可得：
$y=-\dfrac{6}{2}=-3$
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 函数值求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查学生对反比例函数代入求值方法的掌握程度，计算量小，只要运算时注意符号，很容易得分。
【难度系数】
0.9
5. 已知函数 $ y=(k^2 + k)x^{k^2 - k - 1} $ 是反比例函数，则k的值为。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=ax^{-1}$（$a≠0$，$a$为常数），因此需要同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不能为$0$。我们先根据指数的要求列方程求出$k$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个约束条件：
1. 自变量指数要求：$k^2 - k - 1 = -1$
移项化简得$k^2 - k = 0$，因式分解得$k(k-1)=0$，解得$k=0$或$k=1$。
2. 系数不为0要求：$k^2 + k ≠ 0$
因式分解得$k(k+1)≠0$，因此$k≠0$且$k≠-1$。
结合两个约束条件，舍去不符合要求的$k=0$，最终得$k=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数定义、一元二次方程解法、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，解题的核心是牢记反比例函数需要同时满足指数为$-1$、系数不为$0$两个条件，切勿遗漏系数不为$0$的限制导致错解。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=ax^{-1}$（$a≠0$，$a$为常数），因此需要同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不能为$0$。我们先根据指数的要求列方程求出$k$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列两个约束条件：
1. 自变量指数要求：$k^2 - k - 1 = -1$
移项化简得$k^2 - k = 0$，因式分解得$k(k-1)=0$，解得$k=0$或$k=1$。
2. 系数不为0要求：$k^2 + k ≠ 0$
因式分解得$k(k+1)≠0$，因此$k≠0$且$k≠-1$。
结合两个约束条件，舍去不符合要求的$k=0$，最终得$k=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数定义、一元二次方程解法、不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，解题的核心是牢记反比例函数需要同时满足指数为$-1$、系数不为$0$两个条件，切勿遗漏系数不为$0$的限制导致错解。
【难度系数】
0.6
6. 将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，所得函数值记为$y_1$，又将$x=y_1+1$代入函数，所得函数值记为$y_2$，再将$x=y_2+1$代入函数，所得函数值记为$y_3$……如此继续下去，则$y_{2025}=$.
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
解析
【分析】
本题是反比例函数求值与周期规律结合的题型，解题思路为：首先按照题目给定的代入规则依次计算前若干个函数值，观察数值的循环周期，再用总次数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的位置即可求出$y_{2025}$的值。计算时需注意每一步代入的x值是上一个函数值加1，运算要准确才能找到正确的周期规律。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：将$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：将$x=y_2+1=2+1=3$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：将$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_4=-\frac{3}{2}=y_1$；
由此可知函数值每3个为一个周期循环，周期$T=3$。
计算$2025÷3=675$，无余数，说明$y_{2025}$对应周期内第3个值，即$y_{2025}=y_3=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数求值
2. 周期规律探究
【点评】
本题将反比例函数的基础代入运算和规律归纳结合考查，难度不大，关键在于准确计算前3到4个函数值找到循环周期，再利用整除或余数对应到周期内的数值即可得到结果，是代数规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数求值与周期规律结合的题型，解题思路为：首先按照题目给定的代入规则依次计算前若干个函数值，观察数值的循环周期，再用总次数除以周期得到余数，根据余数对应周期内的位置即可求出$y_{2025}$的值。计算时需注意每一步代入的x值是上一个函数值加1，运算要准确才能找到正确的周期规律。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：将$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：将$x=y_2+1=2+1=3$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：将$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_4=-\frac{3}{2}=y_1$；
由此可知函数值每3个为一个周期循环，周期$T=3$。
计算$2025÷3=675$，无余数，说明$y_{2025}$对应周期内第3个值，即$y_{2025}=y_3=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数求值
2. 周期规律探究
【点评】
本题将反比例函数的基础代入运算和规律归纳结合考查，难度不大，关键在于准确计算前3到4个函数值找到循环周期，再利用整除或余数对应到周期内的数值即可得到结果，是代数规律类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
7. 已知一个长方体的体积是$100\ \mathrm{cm}^3$，它的长是$y\ \mathrm{cm}$，宽是$10\ \mathrm{cm}$，高是$x\ \mathrm{cm}$.
(1)写出$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)当$x=2\ \mathrm{cm}$时，求$y$的值.
(1)写出$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)当$x=2\ \mathrm{cm}$时，求$y$的值.
答案
解：
(1) 由长方体体积公式可得：
$10 · x · y = 100$
整理得 $xy=10$，结合实际意义$x＞0$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)}$。
(2) 将$x=2$代入$y=\dfrac{10}{x}$，得：
$y=\dfrac{10}{2}=5$
即$y$的值为$5\ \mathrm{cm}$。
(1) 由长方体体积公式可得：
$10 · x · y = 100$
整理得 $xy=10$，结合实际意义$x＞0$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)}$。
(2) 将$x=2$代入$y=\dfrac{10}{x}$，得：
$y=\dfrac{10}{2}=5$
即$y$的值为$5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。(1)问中将已知的体积、宽的数值，以及长y、高x代入公式，通过等式变形推导出y关于x的表达式，同时结合实际意义，高x为正数，要标注自变量的取值范围；(2)问属于已知自变量求函数值的问题，直接将x=2代入(1)中得到的函数关系式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体体积公式可得：
$10 · x · y = 100$
整理得$xy=10$，结合长度的实际意义，高$x＞0$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)}$。
(2) 将$x=2$代入$y=\dfrac{10}{x}$，得：
$y=\dfrac{10}{2}=5$
即$y$的值为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)$；(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积计算，反比例函数解析式，代入法求函数值
【点评】
本题结合长方体体积的实际场景，考查反比例函数关系式的建立与函数值求解，难度较低，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围不能遗漏，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高。(1)问中将已知的体积、宽的数值，以及长y、高x代入公式，通过等式变形推导出y关于x的表达式，同时结合实际意义，高x为正数，要标注自变量的取值范围；(2)问属于已知自变量求函数值的问题，直接将x=2代入(1)中得到的函数关系式计算即可。
【解析】
(1) 根据长方体体积公式可得：
$10 · x · y = 100$
整理得$xy=10$，结合长度的实际意义，高$x＞0$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)}$。
(2) 将$x=2$代入$y=\dfrac{10}{x}$，得：
$y=\dfrac{10}{2}=5$
即$y$的值为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{10}{x}\ (x＞0)$；(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积计算，反比例函数解析式，代入法求函数值
【点评】
本题结合长方体体积的实际场景，考查反比例函数关系式的建立与函数值求解，难度较低，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围不能遗漏，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
