9. 如图,字母 K 对应的有序数对为$(4,2)$.若有一个英文单词的字母对应图中的有序数对依次为$(5,3),(6,3),(1,3),(4,3),(4,4)$,则这个英文单词是______.

STORY

10. 新趋势 开放探究 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置分别用(2,2),(4,3)来表示.现在要在小方格的顶点上确定一点C,连接AB、AC和BC组成△ABC,且△ABC的面积为2,则符合条件的点C的位置用数对表示为________ ______.(写出4个即可)

(2,0)，(4,1)， ; (2,4)，(0,3)

11. 如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为________.

$(-1,5)$

12. 已知当实数 $ m,n $ 满足 $ 2m=8+n $ 时，称 $ P(m-1,\dfrac{n+2}{2}) $ 为“开心点”。
（1）判断 $ A(5,3) $ 和 $ B(4,10) $ 是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若 $ M(a,2a-1) $ 是“开心点”，则点 $ M $ 在第几象限？并说明理由。

解：​$(1)\ \mathrm {A}$​是​$''$​开心点，​$B$​不是​$''$​开心点​$''$​理由如下：​$ $​令​$m - 1 = 5，$​​$\frac {n + 2}2=3，$​解得​$m = 6，$​​$n = 4$​∴​$2m=2×6 = 12，$​​$8 + n=8 + 4 = 12$​即​$2m = 8 + n，$​∴​$A$​是​$''$​开心点​$''$​​$ $​令​$m - 1 = 4，$​​$\frac {n + 2}2=10，$​解得​$m = 5，$​​$n = 18$​∴​$2m=2×5 = 10，$​​$8 + n=8 + 18 = 26$​即​$2\ \mathrm {m}\neq 8 + n，$​∴​$B$​不是​$''$​开心点​$''$​​$ (2) $​点​$M$​在第三象限，理由如下：∵​$M(a，$​​$2a - 1)$​是​$''$​开心点∴​$m - 1 = a，$​​$\frac {n + 2}2=2a - 1，$​解得​$m = a + 1，$​​$n = 4a - 4$​​$ $​又​$2m = 8 + n$​∴​$2(a + 1)=8+(4a - 4)，$​解得​$a=-1$​∴点​$M$​的坐标为​$(-1，$​​$-3)，$​即点​$M$​在第三象限

13. 如果 $ m $ 是任意实数，那么点 $ P(m+2024, m-2025) $ 一定不在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

B

14. 新素养 应用意识 在平面直角坐标系中，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点间的距离$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.特别地，如果$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点所在的直线与坐标轴重合或平行于某一坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为$AB=|x_1-x_2|$或$AB=|y_1-y_2|$.
（1）在平面直角坐标系中有$P(4,6)$，$Q(2,-3)$两点，求$P,Q$两点间的距离；
（2）已知$K,L$两点在平行于$x$轴的同一条直线上，点$K$的横坐标为$5$，点$L$的横坐标为$-1$，求$K,L$两点间的距离；
（3）已知$△ MNH$的顶点坐标分别为$M(0,4),N(-1,2),H(4,2)$，你能判断$△ MNH$的形状吗？请说明理由.

解：​$(1) $​由题意得​$PQ=\sqrt {(4 - 2)^2+(6 + 3)^2}=\sqrt {85}$​∴​$P，$​​$Q $​两点间的距离为​$\sqrt {85}$​​$(2)$​∵​$K，$​​$L $​两点在平行于​$x$​轴的同一条直线上∴它们的纵坐标相等∴​$KL=\vert 5-(-1)\vert = 6$​∴​$K，$​​$L $​两点间的距离为​$6$​​$(3) \triangle MNH$​是直角三角形，理由如下：由题意得​$MN^2=(0 + 1)^2+(4 - 2)^2= 5，$​​$NH^2=(-1 - 4)^2+(2 - 2)^2= 25，$​​$MH^2=(0 - 4)^2+(4 - 2)^2 = 20$​∴​$MN^2+MH^2=5 + 20 = 25，$​即​$MN^2+MH^2=NH^2$​∴​$\triangle MNH$​是直角三角形