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1. 学完乘法公式后，小明同学计算$(2 024x + 2 025)^{2}$得到$a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}$，小刚同学计算$(2 025x - 2 024)^{2}$得到$a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}$。若两人的计算过程都无误，则$c_{1}-c_{2}$的值为(
A.$2 024$
B.$2 025$
C.$4 049$
D.$1$
C
)A.$2 024$
B.$2 025$
C.$4 049$
D.$1$
答案
1. C
2. 已知$2a^{2}-3a + 1 = 0$，则代数式$(a - 3)^{2}+a(a + 3)$的值为
8
。答案
2. 8
3. 先化简，再求值：
(1)$(x - 2y)^{2}-2(x + y)(x - y)+x^{2}$，其中$x = 2$，$y = -1$；
(2)$(x - 3)^{2}+2(x - 2)(x + 7)-(x + 2)(x - 2)$，其中$x$满足$x^{2}+2x - 3 = 0$。
(1)$(x - 2y)^{2}-2(x + y)(x - y)+x^{2}$，其中$x = 2$，$y = -1$；
(2)$(x - 3)^{2}+2(x - 2)(x + 7)-(x + 2)(x - 2)$，其中$x$满足$x^{2}+2x - 3 = 0$。
答案
3. （1）原式$=x^{2}-4xy+4y^{2}-2(x^{2}-y^{2})+x^{2}=x^{2}-4xy+4y^{2}-2x^{2}+2y^{2}+x^{2}=6y^{2}-4xy$。当$x=2$，$y=-1$时，原式$=6×(-1)^{2}-4×2×(-1)=14$。
（2）原式$=x^{2}-6x+9+2(x^{2}+5x-14)-(x^{2}-4)=x^{2}-6x+9+2x^{2}+10x-28-x^{2}+4=2x^{2}+4x-15$。因为$x^{2}+2x-3=0$，所以$x^{2}+2x=3$，所以原式$=2(x^{2}+2x)-15=2×3-15=-9$。
（2）原式$=x^{2}-6x+9+2(x^{2}+5x-14)-(x^{2}-4)=x^{2}-6x+9+2x^{2}+10x-28-x^{2}+4=2x^{2}+4x-15$。因为$x^{2}+2x-3=0$，所以$x^{2}+2x=3$，所以原式$=2(x^{2}+2x)-15=2×3-15=-9$。
4. (2025·江苏泰州期末)利用乘法公式计算$298^{2}$，下列方法正确的是(
A.$298^{2}=300^{2}-300×2 + 2^{2}$
B.$298^{2}=300^{2}-2^{2}$
C.$298^{2}=300^{2}+2×300×2 + 2^{2}$
D.$298^{2}=300^{2}-2×300×2 + 2^{2}$
D
)A.$298^{2}=300^{2}-300×2 + 2^{2}$
B.$298^{2}=300^{2}-2^{2}$
C.$298^{2}=300^{2}+2×300×2 + 2^{2}$
D.$298^{2}=300^{2}-2×300×2 + 2^{2}$
答案
4. D
5. 简便计算：
(1)$2 024^{2}-2 023×2 025$；
(2)$999^{2}+101^{2}$。
(1)$2 024^{2}-2 023×2 025$；
(2)$999^{2}+101^{2}$。
答案
5. （1）原式$=2024^{2}-(2024-1)×(2024+1)=2024^{2}-(2024^{2}-1)=1$。
（2）原式$=(1000-1)^{2}+(100+1)^{2}=1000000-2000+1+(10000+200+1)=1008202$。
（2）原式$=(1000-1)^{2}+(100+1)^{2}=1000000-2000+1+(10000+200+1)=1008202$。
6. 计算：$(1 + 1)×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1$。
答案
6. 原式$=(3-1)×(3+1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1=(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)+1=(3^{32}-1)×(3^{32}+1)+1=3^{64}-1+1=3^{64}$。
7. 试说明：当$m$为正整数时，$(2m + 6)(2m - 6)-(7 - 9m)(7 + 9m)+85$的值能被$85$整除。
答案
7. $(2m+6)(2m-6)-(7-9m)(7+9m)+85=4m^{2}-36-(49-81m^{2})+85=85m^{2}-85+85=85m^{2}$。因为$m$为正整数，所以$(2m+6)(2m-6)-(7-9m)(7+9m)+85$的值能被85整除。
8. 【发现】比任意一个偶数大$3$的数与此偶数的平方差能被$3$整除。
【验证】
(1) 计算$9^{2}-6^{2}$的结果是$3$的多少倍？
(2) 假设这个偶数为$2n$，试说明：比$2n$大$3$的数与$2n$的平方差能被$3$整除；
【延伸】
(3) 比任意一个整数大$3$的数与此整数的平方差被$6$整除的余数是多少？请说明理由。
【验证】
(1) 计算$9^{2}-6^{2}$的结果是$3$的多少倍？
(2) 假设这个偶数为$2n$，试说明：比$2n$大$3$的数与$2n$的平方差能被$3$整除；
【延伸】
(3) 比任意一个整数大$3$的数与此整数的平方差被$6$整除的余数是多少？请说明理由。
答案
8. （1）$9^{2}-6^{2}=81-36=45$。因为$45÷3=15$，所以计算$9^{2}-6^{2}$的结果是3的15倍。
（2）因为$(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+12n+9-4n^{2}=12n+9=3(4n+3)$。因为$4n+3$为整数，所以比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
（3）余数是3。理由如下：设这个整数为$m$，则$(m+3)^{2}-m^{2}=m^{2}+6m+9-m^{2}=6m+9=6(m+1)+3$。因为$m+1$是整数，所以比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是3。
（2）因为$(2n+3)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+12n+9-4n^{2}=12n+9=3(4n+3)$。因为$4n+3$为整数，所以比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除。
（3）余数是3。理由如下：设这个整数为$m$，则$(m+3)^{2}-m^{2}=m^{2}+6m+9-m^{2}=6m+9=6(m+1)+3$。因为$m+1$是整数，所以比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是3。
