登录
10. 若$\vert x + y - 5\vert+(x - y - 3)^{2}=0$，则代数式$x^{2}-y^{2}$的值为(
A.$2$
B.$8$
C.$15$
D.无法确定
C
)A.$2$
B.$8$
C.$15$
D.无法确定
答案
10. C
11. 已知$(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)=63$，则代数式$a + b$的值为(
A.$4$
B.$8$
C.$\pm4$
D.$\pm8$
C
)A.$4$
B.$8$
C.$\pm4$
D.$\pm8$
答案
11. C
12. 如图，$AB = 5$，$C$为线段$AB$上一点$(AC＜ BC)$，分别以$AC$，$BC$为边向上作正方形$ACDE$和正方形$BCFG$，连接$BE$，$BF$，$CE$，$EF$。若$S_{△ BEF}-S_{△ AEC}=\dfrac{5}{2}$，则$△ BEC$的面积为(
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A
)A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
12. A 解析：设正方形 $ ACDE $ 的边长是 $ a $，则正方形 $ BCFG $ 的边长是 $ 5 - a $，所以 $ AE = DE = DC = AC = a $，$ CF = FG = BG = BC = 5 - a $。因为 $ S_{△ BEF} = S_{△ BCF} $，$ S_{△ BEF} - S_{△ AEC} = \frac{5}{2} $，所以 $ S_{△ BCF} - S_{△ AEC} = \frac{5}{2} $，所以 $ \frac{1}{2}(5 - a)^{2} - \frac{1}{2}a^{2} = \frac{5}{2} $，解得 $ a = 2 $，所以 $ AE = 2 $，$ BC = 3 $，所以 $ S_{△ BEC} = \frac{1}{2}BC · AE = 3 $。故 $ △ BEC $ 的面积为 3。
13. 计算：$(x - 2y)^{2}(x + 2y)^{2}=$
$x^{4} - 8x^{2}y^{2} + 16y^{4}$
。答案
13. $ x^{4} - 8x^{2}y^{2} + 16y^{4} $
14. 若$a - b = 5$，$ab = 14$，则$(a + b)^{2}=$
81
。答案
14. 81 解析：因为 $ a - b = 5 $，$ ab = 14 $，所以 $ (a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4ab = 5^{2} + 4 × 14 = 81 $。
15. (2025·江苏南京期末)若$m-\dfrac{1}{m}=3$，则$m^{2}+\dfrac{1}{m^{2}}=$
11
。答案
15. 11 解析：因为 $ m - \frac{1}{m} = 3 $，所以 $ (m - \frac{1}{m})^{2} = 9 $，所以 $ m^{2} - 2 + \frac{1}{m^{2}} = 9 $，所以 $ m^{2} + \frac{1}{m^{2}} = 11 $。
16. 新素养 运算能力 计算：
（1）$(x + y - 2z)(x + y + 6z)$；
（2）$(\dfrac{1}{2}x - 1)^{2}(1+\dfrac{1}{4}x^{2})^{2}(1+\dfrac{1}{2}x)^{2}$。
（1）$(x + y - 2z)(x + y + 6z)$；
（2）$(\dfrac{1}{2}x - 1)^{2}(1+\dfrac{1}{4}x^{2})^{2}(1+\dfrac{1}{2}x)^{2}$。
答案
16. (1) 原式 $ = [(x + y + 2z) - 4z][(x + y + 2z) + 4z] = (x + y + 2z)^{2} - (4z)^{2} = x^{2} + y^{2} + 4z^{2} + 2xy + 4xz + 4yz - 16z^{2} = x^{2} + y^{2} - 12z^{2} + 2xy + 4xz + 4yz $。
(2) 原式 $ = (\frac{1}{2}x - 1)^{2}(\frac{1}{2}x + 1)^{2}(\frac{1}{4}x^{2} + 1)^{2} = [(\frac{1}{2}x - 1)(\frac{1}{2}x + 1)(\frac{1}{4}x^{2} + 1)]^{2} = [(\frac{1}{4}x^{2} - 1)(\frac{1}{4}x^{2} + 1)]^{2} = (\frac{1}{16}x^{4} - 1)^{2} = \frac{1}{256}x^{8} - \frac{1}{8}x^{4} + 1 $。
(2) 原式 $ = (\frac{1}{2}x - 1)^{2}(\frac{1}{2}x + 1)^{2}(\frac{1}{4}x^{2} + 1)^{2} = [(\frac{1}{2}x - 1)(\frac{1}{2}x + 1)(\frac{1}{4}x^{2} + 1)]^{2} = [(\frac{1}{4}x^{2} - 1)(\frac{1}{4}x^{2} + 1)]^{2} = (\frac{1}{16}x^{4} - 1)^{2} = \frac{1}{256}x^{8} - \frac{1}{8}x^{4} + 1 $。
17. 小明在计算$\dfrac{20\ 252\ 024^{2}}{20\ 252\ 023^{2}+20\ 252\ 025^{2}-2}$时，找不到科学计算器，去向小华借。小华看了看这道题后说不需要用计算器计算，并很快说出了正确答案。这个正确答案是(
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
B
)A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
答案
17. B 解析：设 $ m = 20252024 $，则 $ m - 1 = 20252023 $，$ m + 1 = 20252025 $，所以原式 $ = \frac{m^{2}}{(m - 1)^{2} + (m + 1)^{2} - 2} = \frac{m^{2}}{2m^{2}} = \frac{1}{2} $。
18. 若$a + b = 1$，$a^{2}+b^{2}=2$，则$a^{4}+b^{4}=$
$\frac{7}{2}$
。答案
18. $ \frac{7}{2} $ 解析：因为 $ a + b = 1 $，$ a^{2} + b^{2} = 2 $，所以 $ ab = \frac{1}{2}[(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2})] = -\frac{1}{2} $，$ (a^{2} + b^{2})^{2} = 4 $，所以 $ a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4} = 4 $，所以 $ a^{4} + 2 × (-\frac{1}{2})^{2} + b^{4} = 4 $，所以 $ a^{4} + b^{4} = \frac{7}{2} $。
19. 新趋势 推导探究 我们利用硬纸板拼图，通过同一图形不同的面积表示方法可以探索新的结论。
(1)观察图①所示的拼图，写出一个表示相等关系的式子：
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，得到的乘法公式为
(3)两个边长分别为$a$，$b$，$c$的直角三角形硬纸板和一个两条直角边长都为$c$的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积。你能发现$a$，$b$，$c$之间具有怎样的等量关系吗？(用最简形式表示)
(1)观察图①所示的拼图，写出一个表示相等关系的式子：
$(2a + b)(a + b) = 2a^{2} + 3ab + b^{2}$
；(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，得到的乘法公式为
$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
；(3)两个边长分别为$a$，$b$，$c$的直角三角形硬纸板和一个两条直角边长都为$c$的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积。你能发现$a$，$b$，$c$之间具有怎样的等量关系吗？(用最简形式表示)
答案
19. (1) $ (2a + b)(a + b) = 2a^{2} + 3ab + b^{2} $
(2) $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $
(3) 这个图形的面积可表示为 $ \frac{1}{2}ab × 2 + \frac{1}{2}c^{2} = ab + \frac{1}{2}c^{2} $ 或 $ \frac{1}{2}(a + b)^{2} $，则 $ ab + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}(a + b)^{2} $，即 $ ab + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + ab + \frac{1}{2}b^{2} $，所以 $ \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} $，即 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
(2) $ (a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2} $
(3) 这个图形的面积可表示为 $ \frac{1}{2}ab × 2 + \frac{1}{2}c^{2} = ab + \frac{1}{2}c^{2} $ 或 $ \frac{1}{2}(a + b)^{2} $，则 $ ab + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}(a + b)^{2} $，即 $ ab + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + ab + \frac{1}{2}b^{2} $，所以 $ \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}b^{2} $，即 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
