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问题1 用提公因式法分解因式时，怎样确定公因式？
问题2 举例说明如何运用提公因式法分解因式。
问题1 用提公因式法分解因式时，怎样确定公因式？
问题2 举例说明如何运用提公因式法分解因式。
答案
解：
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例说明：
例1：分解因式 $3x^2y + 6xy^2$
第一步：确定公因式，系数3和6的最大公约数是3，两项共有的字母为$x$、$y$，$x$的最低次数是1，$y$的最低次数是1，得公因式为$3xy$；
第二步：提取公因式，各项除以公因式后剩余部分为$x+2y$，因此：
$3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
例2：分解因式 $2a(x-y) - 3b(y-x)$
第一步：变形统一因式，将$y-x$改写为$-(x-y)$，原式变形为$2a(x-y) + 3b(x-y)$；
第二步：确定公因式为多项式因式$(x-y)$；
第三步：提取公因式$(x-y)$，剩余部分为$2a+3b$，因此：
$2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例说明：
例1：分解因式 $3x^2y + 6xy^2$
第一步：确定公因式，系数3和6的最大公约数是3，两项共有的字母为$x$、$y$，$x$的最低次数是1，$y$的最低次数是1，得公因式为$3xy$；
第二步：提取公因式，各项除以公因式后剩余部分为$x+2y$，因此：
$3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
例2：分解因式 $2a(x-y) - 3b(y-x)$
第一步：变形统一因式，将$y-x$改写为$-(x-y)$，原式变形为$2a(x-y) + 3b(x-y)$；
第二步：确定公因式为多项式因式$(x-y)$；
第三步：提取公因式$(x-y)$，剩余部分为$2a+3b$，因此：
$2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
解析
【分析】
这道题围绕提公因式法分解因式的基础内容设置了两个问题，思考路径如下：解决问题1时，要明确公因式是多项式各项共有的公共因式，可从两个维度确定规则：系数层面要能整除所有项的系数，因此取各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）层面要保证每一项都含有该因式，因此取相同因式的最低次幂，两部分相乘就得到公因式。解决问题2时，选取两类典型多项式举例即可，一类是公因式为单项式的基础题型，一类是公因式为多项式、需要先做符号变形的常考题型，每道题按照“确定公因式→提取公因式”的步骤演示，清晰展示提公因式法的操作流程。
【解析】
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例说明：
例1：分解因式 $3x^2y + 6xy^2$
第一步：确定公因式，系数3和6的最大公约数是3，两项共有的字母为$x$、$y$，$x$的最低次数是1，$y$的最低次数是1，得公因式为$3xy$；
第二步：提取公因式，各项除以公因式后剩余部分为$x+2y$，因此：
$3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
例2：分解因式 $2a(x-y) - 3b(y-x)$
第一步：变形统一因式，将$y-x$改写为$-(x-y)$，原式变形为$2a(x-y) + 3b(x-y)$；
第二步：确定公因式为多项式因式$(x-y)$；
第三步：提取公因式$(x-y)$，剩余部分为$2a+3b$，因此：
$2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
【答案】
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例：
1. $3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
2. $2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
【知识点】
1. 公因式的确定方法
2. 提公因式法分解因式
3. 多项式因式的符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的核心规则，公因式的确定是提公因式法的关键，当公因式为多项式时要注意先统一符号形式，避免出现符号错误，掌握本题内容是后续学习复杂因式分解方法的基础。
【难度系数】
0.85
这道题围绕提公因式法分解因式的基础内容设置了两个问题，思考路径如下：解决问题1时，要明确公因式是多项式各项共有的公共因式，可从两个维度确定规则：系数层面要能整除所有项的系数，因此取各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）层面要保证每一项都含有该因式，因此取相同因式的最低次幂，两部分相乘就得到公因式。解决问题2时，选取两类典型多项式举例即可，一类是公因式为单项式的基础题型，一类是公因式为多项式、需要先做符号变形的常考题型，每道题按照“确定公因式→提取公因式”的步骤演示，清晰展示提公因式法的操作流程。
【解析】
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例说明：
例1：分解因式 $3x^2y + 6xy^2$
第一步：确定公因式，系数3和6的最大公约数是3，两项共有的字母为$x$、$y$，$x$的最低次数是1，$y$的最低次数是1，得公因式为$3xy$；
第二步：提取公因式，各项除以公因式后剩余部分为$x+2y$，因此：
$3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
例2：分解因式 $2a(x-y) - 3b(y-x)$
第一步：变形统一因式，将$y-x$改写为$-(x-y)$，原式变形为$2a(x-y) + 3b(x-y)$；
第二步：确定公因式为多项式因式$(x-y)$；
第三步：提取公因式$(x-y)$，剩余部分为$2a+3b$，因此：
$2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
【答案】
问题1
确定公因式的方法：
1. 系数部分：取多项式各项系数的最大公约数作为公因式的系数；
2. 因式部分：取各项都含有的相同字母（或相同多项式因式），相同字母（或多项式因式）取次数最低的；
将上述两部分相乘，即可得到该多项式各项的公因式。
问题2
举例：
1. $3x^2y + 6xy^2 = 3xy(x+2y)$
2. $2a(x-y) - 3b(y-x) = (x-y)(2a+3b)$
【知识点】
1. 公因式的确定方法
2. 提公因式法分解因式
3. 多项式因式的符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的核心规则，公因式的确定是提公因式法的关键，当公因式为多项式时要注意先统一符号形式，避免出现符号错误，掌握本题内容是后续学习复杂因式分解方法的基础。
【难度系数】
0.85
【典型例题1】分解因式：
(1)$4a^2 + 6ab + 2a$；
(2)$2a^3b^4 - 10a^2b^3 + 2a^2b^2$；
(3)$-3ma^3 + 6ma^2 - 12ma$。
【解】(1)原式$=2a · 2a + 2a · 3b + 2a · 1 = 2a(2a + 3b + 1)$。
(2)原式$=2a^2b^2 · ab^2 - 2a^2b^2 · 5b + 2a^2b^2 · 1 = 2a^2b^2(ab^2 -5b +1)$。
(3)原式$=-3ma · a^2 + (-3ma) · (-2a) + (-3ma) ·4 = -3ma(a^2 -2a +4)$。
规律方法 确定公因式的步骤
(1)看系数:系数为整数时,公因式的系数是各项系数的最大公因数;
(2)看字母:取各项相同的字母;
(3)看字母指数:取各相同字母的最低次数。
(1)$4a^2 + 6ab + 2a$；
(2)$2a^3b^4 - 10a^2b^3 + 2a^2b^2$；
(3)$-3ma^3 + 6ma^2 - 12ma$。
【解】(1)原式$=2a · 2a + 2a · 3b + 2a · 1 = 2a(2a + 3b + 1)$。
(2)原式$=2a^2b^2 · ab^2 - 2a^2b^2 · 5b + 2a^2b^2 · 1 = 2a^2b^2(ab^2 -5b +1)$。
(3)原式$=-3ma · a^2 + (-3ma) · (-2a) + (-3ma) ·4 = -3ma(a^2 -2a +4)$。
规律方法 确定公因式的步骤
(1)看系数:系数为整数时,公因式的系数是各项系数的最大公因数;
(2)看字母:取各项相同的字母;
(3)看字母指数:取各相同字母的最低次数。
答案
解：
(1) 原式$=2a· 2a + 2a· 3b + 2a· 1 = 2a(2a + 3b + 1)$
(2) 原式$=2a^2b^2· ab^2 - 2a^2b^2· 5b + 2a^2b^2· 1 = 2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$
(3) 原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$
(1) 原式$=2a· 2a + 2a· 3b + 2a· 1 = 2a(2a + 3b + 1)$
(2) 原式$=2a^2b^2· ab^2 - 2a^2b^2· 5b + 2a^2b^2· 1 = 2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$
(3) 原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$
解析
【分析】
这三道题均适用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先按照“定系数、定字母、定指数”的规则确定公因式：①定系数：取各项整数系数的最大公因数；②定字母：取各项都含有的相同字母；③定指数：取相同字母的最低次幂，若多项式首项系数为负，公因式需带负号。确定公因式后，将多项式每一项都拆分为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式，把剩余的因式合并到括号内即可，注意提取公因式后不要漏写常数项“1”。
(1)题各项系数4、6、2的最大公因数是2，仅含共同字母a且最低次为1次，公因式为2a；(2)题各项系数2、-10、2的最大公因数是2，共同字母为a、b，a的最低次为2次，b的最低次为2次，公因式为$2a^2b^2$；(3)题首项系数为负，系数绝对值3、6、12的最大公因数是3，共同字母为m、a，a的最低次为1次，公因式为$-3ma$。
【解析】
(1) 拆分每一项为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=2a· 2a + 2a· 3b + 2a· 1 = 2a(2a + 3b + 1)$
(2) 拆分每一项为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=2a^2b^2· ab^2 - 2a^2b^2· 5b + 2a^2b^2· 1 = 2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$
(3) 拆分每一项为负公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$
【答案】
(1)$2a(2a + 3b + 1)$；(2)$2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$；(3)$-3ma(a^2 - 2a + 4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确找准公因式，需注意：提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致，不要漏写常数项1；若首项系数为负，提取负号后括号内的每一项都要改变符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均适用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先按照“定系数、定字母、定指数”的规则确定公因式：①定系数：取各项整数系数的最大公因数；②定字母：取各项都含有的相同字母；③定指数：取相同字母的最低次幂，若多项式首项系数为负，公因式需带负号。确定公因式后，将多项式每一项都拆分为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式，把剩余的因式合并到括号内即可，注意提取公因式后不要漏写常数项“1”。
(1)题各项系数4、6、2的最大公因数是2，仅含共同字母a且最低次为1次，公因式为2a；(2)题各项系数2、-10、2的最大公因数是2，共同字母为a、b，a的最低次为2次，b的最低次为2次，公因式为$2a^2b^2$；(3)题首项系数为负，系数绝对值3、6、12的最大公因数是3，共同字母为m、a，a的最低次为1次，公因式为$-3ma$。
【解析】
(1) 拆分每一项为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=2a· 2a + 2a· 3b + 2a· 1 = 2a(2a + 3b + 1)$
(2) 拆分每一项为公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=2a^2b^2· ab^2 - 2a^2b^2· 5b + 2a^2b^2· 1 = 2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$
(3) 拆分每一项为负公因式与其余因式的乘积，再提取公因式：
原式$=-3ma· a^2 + (-3ma)· (-2a) + (-3ma)· 4 = -3ma(a^2 - 2a + 4)$
【答案】
(1)$2a(2a + 3b + 1)$；(2)$2a^2b^2(ab^2 - 5b + 1)$；(3)$-3ma(a^2 - 2a + 4)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确找准公因式，需注意：提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致，不要漏写常数项1；若首项系数为负，提取负号后括号内的每一项都要改变符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
1. 分解因式：
(1) $-6mn - 18mp$；
(2) $4m^3n^2 + 10mn^4$；
(3) $-15x^3y^2 - 6x^2y^3 + 3x^2y^2$；
(4) $30a^3b - 25a^2b^2 + 5a^2b$。
(1) $-6mn - 18mp$；
(2) $4m^3n^2 + 10mn^4$；
(3) $-15x^3y^2 - 6x^2y^3 + 3x^2y^2$；
(4) $30a^3b - 25a^2b^2 + 5a^2b$。
答案
1.【解】(1)原式$=-(6m · n+6m · 3p)=-6m(n+3p).$
(2) 原 式 $= 2mn^2 · 2m^2 + 2mn^2 · 5n^2 = 2mn^2(2m^2+5n^2).$
(3) 原式 $= -(15x^3y^2 + 6x^2y^3 - 3x^2y^2) = -(3x^2y^2 · 5x+3x^2y^2 · 2y-3x^2y^2 · 1)=-3x^2y^2(5x+2y-1).$
(4) 原式$=5a^2b · 6a - 5a^2b · 5b + 5a^2b · 1=5a^2b(6a-5b+1).$
(2) 原 式 $= 2mn^2 · 2m^2 + 2mn^2 · 5n^2 = 2mn^2(2m^2+5n^2).$
(3) 原式 $= -(15x^3y^2 + 6x^2y^3 - 3x^2y^2) = -(3x^2y^2 · 5x+3x^2y^2 · 2y-3x^2y^2 · 1)=-3x^2y^2(5x+2y-1).$
(4) 原式$=5a^2b · 6a - 5a^2b · 5b + 5a^2b · 1=5a^2b(6a-5b+1).$
解析
【分析】
这4道题均为提公因式法分解因式的基础题型，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步若多项式首项为负，优先提取负号，此时括号内所有项都要变号；第三步将多项式的每一项都除以公因式，得到的商作为括号内的项，注意若某一项和公因式完全相同，商为1，不能漏写。
【解析】
(1) 观察得两项公因式为$-6m$，提取公因式：
原式$=-(6m · n+6m · 3p)=-6m(n+3p)$
(2) 观察得两项公因式为$2mn^2$，提取公因式：
原式$= 2mn^2 · 2m^2 + 2mn^2 · 5n^2 = 2mn^2(2m^2+5n^2)$
(3) 观察得首项为负，公因式为$-3x^2y^2$，提取公因式：
原式$= -(15x^3y^2 + 6x^2y^3 - 3x^2y^2) = -(3x^2y^2 · 5x+3x^2y^2 · 2y-3x^2y^2 · 1)=-3x^2y^2(5x+2y-1)$
(4) 观察得三项公因式为$5a^2b$，提取公因式：
原式$=5a^2b · 6a - 5a^2b · 5b + 5a^2b · 1=5a^2b(6a-5b+1)$
【答案】
(1) $-6m(n+3p)$
(2) $2mn^2(2m^2+5n^2)$
(3) $-3x^2y^2(5x+2y-1)$
(4) $5a^2b(6a-5b+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础练习题，核心考查公因式的确定方法，解题时要注意首项为负先提负号，提取公因式后需核对括号内的项数和原多项式项数一致，避免漏写系数为1的项。
【难度系数】
0.85
这4道题均为提公因式法分解因式的基础题型，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步若多项式首项为负，优先提取负号，此时括号内所有项都要变号；第三步将多项式的每一项都除以公因式，得到的商作为括号内的项，注意若某一项和公因式完全相同，商为1，不能漏写。
【解析】
(1) 观察得两项公因式为$-6m$，提取公因式：
原式$=-(6m · n+6m · 3p)=-6m(n+3p)$
(2) 观察得两项公因式为$2mn^2$，提取公因式：
原式$= 2mn^2 · 2m^2 + 2mn^2 · 5n^2 = 2mn^2(2m^2+5n^2)$
(3) 观察得首项为负，公因式为$-3x^2y^2$，提取公因式：
原式$= -(15x^3y^2 + 6x^2y^3 - 3x^2y^2) = -(3x^2y^2 · 5x+3x^2y^2 · 2y-3x^2y^2 · 1)=-3x^2y^2(5x+2y-1)$
(4) 观察得三项公因式为$5a^2b$，提取公因式：
原式$=5a^2b · 6a - 5a^2b · 5b + 5a^2b · 1=5a^2b(6a-5b+1)$
【答案】
(1) $-6m(n+3p)$
(2) $2mn^2(2m^2+5n^2)$
(3) $-3x^2y^2(5x+2y-1)$
(4) $5a^2b(6a-5b+1)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础练习题，核心考查公因式的确定方法，解题时要注意首项为负先提负号，提取公因式后需核对括号内的项数和原多项式项数一致，避免漏写系数为1的项。
【难度系数】
0.85
