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9. 关于$x$的代数式$2x^2 - mx - 15$分解因式得$(x - 3)(nx + 5)$，则$n^m$的值为（
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
）A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
9.B 【解析】因为$2x^2-mx-15=(x-3)(nx+5)$,
所以$2x^2-mx-15=nx^2-3nx+5x-15$,
所以$2x^2-mx-15=nx^2-(3n-5)x-15$,
所以$m=3n-5,n=2$,
所以$m=1$,所以$n^m=2^1=2$.
所以$2x^2-mx-15=nx^2-3nx+5x-15$,
所以$2x^2-mx-15=nx^2-(3n-5)x-15$,
所以$m=3n-5,n=2$,
所以$m=1$,所以$n^m=2^1=2$.
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，因此将因式分解的结果$(x-3)(nx+5)$按多项式乘多项式法则展开后，得到的多项式和原式$2x^2 - mx - 15$的对应项系数完全相等。我们可以先展开右侧乘积、合并同类项，再通过对应项系数相等列等式求出$m$、$n$的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
先展开等式右侧的多项式：
$\begin{aligned}(x-3)(nx+5)&=nx^2+5x-3nx-15\\&=nx^2+(5-3n)x-15\end{aligned}$
因为$2x^2 - mx - 15=(x-3)(nx+5)$，所以两个多项式对应项系数相等：
1. 二次项系数对应相等：$n=2$
2. 一次项系数对应相等：$-m=5-3n$
将$n=2$代入一次项系数的等式，得：
$-m=5-3×2=-1$，解得$m=1$
因此$n^m=2^1=2$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的性质，多项式乘法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的规律，熟练掌握整式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
因式分解与整式乘法是互逆运算，因此将因式分解的结果$(x-3)(nx+5)$按多项式乘多项式法则展开后，得到的多项式和原式$2x^2 - mx - 15$的对应项系数完全相等。我们可以先展开右侧乘积、合并同类项，再通过对应项系数相等列等式求出$m$、$n$的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
先展开等式右侧的多项式：
$\begin{aligned}(x-3)(nx+5)&=nx^2+5x-3nx-15\\&=nx^2+(5-3n)x-15\end{aligned}$
因为$2x^2 - mx - 15=(x-3)(nx+5)$，所以两个多项式对应项系数相等：
1. 二次项系数对应相等：$n=2$
2. 一次项系数对应相等：$-m=5-3n$
将$n=2$代入一次项系数的等式，得：
$-m=5-3×2=-1$，解得$m=1$
因此$n^m=2^1=2$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的性质，多项式乘法，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题关键是掌握多项式相等时对应项系数相等的规律，熟练掌握整式乘法运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长都为a厘米的大正方形,2块是边长都为b厘米的小正方形,5块是长为a厘米,宽为b厘米的相同的小长方形,且$a＞b$.观察图形,尝试将代数式$2a^2 +5ab +2b^2$因式分解.
答案
10.【解】大长方形的面积为$(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2$,即$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$.
解析
【分析】
本题可利用面积法求解，结合因式分解与整式乘法的互逆关系推导结果：第一步先观察图形，确定大长方形的长和宽，用长乘宽表示出大长方形的面积；第二步再将裁剪得到的9块图形的面积相加，得到总面积的多项式表达式；第三步由于两个表达式都表示同一个大长方形的面积，二者相等，即可得到该多项式因式分解的结果。
【解析】
解：观察图形可得，大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$a+b+b=a+2b$，因此大长方形的面积可表示为：
$(2a+b)(a+2b)$
另外，大长方形的面积也等于所有裁剪块的面积之和：2块边长为$a$的大正方形面积为$2a^2$，2块边长为$b$的小正方形面积为$2b^2$，5块长为$a$宽为$b$的小长方形面积为$5ab$，总面积为$2a^2 +5ab +2b^2$。
因为两个表达式均为大长方形的面积，二者相等，因此可得因式分解结果。
【答案】
$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$
【知识点】
因式分解；整式乘法；面积法应用
【点评】
本题是因式分解几何意义的典型题型，通过图形面积的两种不同表示方式，将整式乘法和因式分解两个知识点结合考查，解题的关键是准确计算出大长方形的长和宽，能很好地帮助理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
本题可利用面积法求解，结合因式分解与整式乘法的互逆关系推导结果：第一步先观察图形，确定大长方形的长和宽，用长乘宽表示出大长方形的面积；第二步再将裁剪得到的9块图形的面积相加，得到总面积的多项式表达式；第三步由于两个表达式都表示同一个大长方形的面积，二者相等，即可得到该多项式因式分解的结果。
【解析】
解：观察图形可得，大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$a+b+b=a+2b$，因此大长方形的面积可表示为：
$(2a+b)(a+2b)$
另外，大长方形的面积也等于所有裁剪块的面积之和：2块边长为$a$的大正方形面积为$2a^2$，2块边长为$b$的小正方形面积为$2b^2$，5块长为$a$宽为$b$的小长方形面积为$5ab$，总面积为$2a^2 +5ab +2b^2$。
因为两个表达式均为大长方形的面积，二者相等，因此可得因式分解结果。
【答案】
$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$
【知识点】
因式分解；整式乘法；面积法应用
【点评】
本题是因式分解几何意义的典型题型，通过图形面积的两种不同表示方式，将整式乘法和因式分解两个知识点结合考查，解题的关键是准确计算出大长方形的长和宽，能很好地帮助理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
11. 先阅读下面的解法,再解答问题.
例:已知多项式 $3x^3 - x^2 + m$ 分解因式的结果中有一个因式是 $3x + 1$,求实数 $m$.
解:设 $3x^3 - x^2 + m = (3x + 1) · K$（$K$为整式）,
令 $3x + 1 = 0$,则 $x = -\frac{1}{3}$,把 $x = -\frac{1}{3}$ 代入 $3x^3 - x^2 + m = 0$,得 $3 × (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 + m = 0$,即 $m = \frac{2}{9}$.
这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题.
(1)若多项式 $x^2 + mx -8$ 分解因式的结果中有一个因式为 $x - 2$,则实数 $m = \_\_\_\_\_\_$;
(2)若多项式 $x^3 + 3x^2 +5x +n$ 分解因式的结果中有一个因式为 $x +1$,求实数 $n$ 的值;
(3)若多项式 $x^4 + mx^3 + nx -14$ 分解因式的结果中有因式 $x +1$ 和 $x -2$,求 $m,n$ 的值.
例:已知多项式 $3x^3 - x^2 + m$ 分解因式的结果中有一个因式是 $3x + 1$,求实数 $m$.
解:设 $3x^3 - x^2 + m = (3x + 1) · K$（$K$为整式）,
令 $3x + 1 = 0$,则 $x = -\frac{1}{3}$,把 $x = -\frac{1}{3}$ 代入 $3x^3 - x^2 + m = 0$,得 $3 × (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 + m = 0$,即 $m = \frac{2}{9}$.
这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题.
(1)若多项式 $x^2 + mx -8$ 分解因式的结果中有一个因式为 $x - 2$,则实数 $m = \_\_\_\_\_\_$;
(2)若多项式 $x^3 + 3x^2 +5x +n$ 分解因式的结果中有一个因式为 $x +1$,求实数 $n$ 的值;
(3)若多项式 $x^4 + mx^3 + nx -14$ 分解因式的结果中有因式 $x +1$ 和 $x -2$,求 $m,n$ 的值.
答案
11.【解】(1)2 由题意,得$x^2+mx-8=(x-2)·K$（$K$为整式）,令$x-2=0$,则$x=2$,把$x=2$代入$x^2+mx-8=0$,得$m=2$.
(2)设$x^3+3x^2+5x+n=(x+1)·A$($A$为整式),令$x+1=0$,则$x=-1$,把$x=-1$代入$x^3+3x^2+5x+n=0$,得$(-1)^3+3×(-1)^2+5×(-1)+n=0$,即$-1+3-5+n=0$,解得$n=3$.
(3)设$x^4+mx^3+nx-14=(x+1)(x-2)·B$($B$为整式),令$x+1=0$,则$x=-1$,
把$x=-1$代入$x^4+mx^3+nx-14=0$,得$(-1)^4+m·(-1)^3+n·(-1)-14=0$,即$m+n=-13$①;
令$x-2=0$,则$x=2$,
把$x=2$代入$x^4+mx^3+nx-14=0$,得$2^4+m·2^3+n·2-14=0$,即$4m+n=-1$②.
联立①②解方程组得$\begin{cases}m=4,\\n=-17.\end{cases}$
(2)设$x^3+3x^2+5x+n=(x+1)·A$($A$为整式),令$x+1=0$,则$x=-1$,把$x=-1$代入$x^3+3x^2+5x+n=0$,得$(-1)^3+3×(-1)^2+5×(-1)+n=0$,即$-1+3-5+n=0$,解得$n=3$.
(3)设$x^4+mx^3+nx-14=(x+1)(x-2)·B$($B$为整式),令$x+1=0$,则$x=-1$,
把$x=-1$代入$x^4+mx^3+nx-14=0$,得$(-1)^4+m·(-1)^3+n·(-1)-14=0$,即$m+n=-13$①;
令$x-2=0$,则$x=2$,
把$x=2$代入$x^4+mx^3+nx-14=0$,得$2^4+m·2^3+n·2-14=0$,即$4m+n=-1$②.
联立①②解方程组得$\begin{cases}m=4,\\n=-17.\end{cases}$
解析
【分析】
本题可利用题干给出的特殊值法求解：若多项式分解因式后含有某个一次因式，则令该一次因式为0，得到的x值代入原多项式后，多项式的值为0，据此列方程（组）即可求出未知参数。
(1) 已知多项式有因式x-2，令x=2代入多项式列方程求m；
(2) 已知多项式有因式x+1，令x=-1代入多项式列方程求n；
(3) 已知多项式有两个因式，分别令x=-1、x=2代入多项式，得到两个关于m、n的方程，联立成二元一次方程组求解即可。
【解析】
(1) 由题意设$x^2+mx-8=(x-2)·K$（$K$为整式），
令$x-2=0$，得$x=2$，将$x=2$代入$x^2+mx-8=0$，
得$2^2 + 2m - 8 = 0$，解得$m=2$。
(2) 设$x^3 + 3x^2 +5x +n=(x+1)·A$（$A$为整式），
令$x+1=0$，得$x=-1$，将$x=-1$代入$x^3 + 3x^2 +5x +n=0$，
得$(-1)^3 + 3×(-1)^2 +5×(-1) +n =0$，
即$-1+3-5+n=0$，解得$n=3$。
(3) 设$x^4 + mx^3 + nx -14=(x+1)(x-2)·B$（$B$为整式），
令$x+1=0$，得$x=-1$，代入多项式得：
$(-1)^4 + m·(-1)^3 +n·(-1) -14=0$，化简得$m+n=-13$①；
令$x-2=0$，得$x=2$，代入多项式得：
$2^4 + m·2^3 +n·2 -14=0$，化简得$4m+n=-1$②；
联立①②，用②-①得$3m=12$，解得$m=4$，
将$m=4$代入①得$4+n=-13$，解得$n=-17$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{n=3}$；(3) $\boldsymbol{m=4,n=-17}$
【知识点】
1. 因式分解的意义
2. 特殊值法求参数
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于新方法应用类题型，核心是理解特殊值法的原理，将因式相关的条件转化为方程（组）求解，解题思路清晰，掌握方法后可快速作答。
【难度系数】
0.7
本题可利用题干给出的特殊值法求解：若多项式分解因式后含有某个一次因式，则令该一次因式为0，得到的x值代入原多项式后，多项式的值为0，据此列方程（组）即可求出未知参数。
(1) 已知多项式有因式x-2，令x=2代入多项式列方程求m；
(2) 已知多项式有因式x+1，令x=-1代入多项式列方程求n；
(3) 已知多项式有两个因式，分别令x=-1、x=2代入多项式，得到两个关于m、n的方程，联立成二元一次方程组求解即可。
【解析】
(1) 由题意设$x^2+mx-8=(x-2)·K$（$K$为整式），
令$x-2=0$，得$x=2$，将$x=2$代入$x^2+mx-8=0$，
得$2^2 + 2m - 8 = 0$，解得$m=2$。
(2) 设$x^3 + 3x^2 +5x +n=(x+1)·A$（$A$为整式），
令$x+1=0$，得$x=-1$，将$x=-1$代入$x^3 + 3x^2 +5x +n=0$，
得$(-1)^3 + 3×(-1)^2 +5×(-1) +n =0$，
即$-1+3-5+n=0$，解得$n=3$。
(3) 设$x^4 + mx^3 + nx -14=(x+1)(x-2)·B$（$B$为整式），
令$x+1=0$，得$x=-1$，代入多项式得：
$(-1)^4 + m·(-1)^3 +n·(-1) -14=0$，化简得$m+n=-13$①；
令$x-2=0$，得$x=2$，代入多项式得：
$2^4 + m·2^3 +n·2 -14=0$，化简得$4m+n=-1$②；
联立①②，用②-①得$3m=12$，解得$m=4$，
将$m=4$代入①得$4+n=-13$，解得$n=-17$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{n=3}$；(3) $\boldsymbol{m=4,n=-17}$
【知识点】
1. 因式分解的意义
2. 特殊值法求参数
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于新方法应用类题型，核心是理解特殊值法的原理，将因式相关的条件转化为方程（组）求解，解题思路清晰，掌握方法后可快速作答。
【难度系数】
0.7
