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15. 爱探究的小明仿照网上的多功能三角板，用纸片制作了一块内置量角器的等腰直角三角板，示意图如图①所示。它是一个轴对称图形，且量角器所在半圆O的直径DE//AB，DE与AB所在直线之间的距离为1，DE＝4，AB＝8。小明在半圆O上取一个动点N，连结AN，交半圆或直径DE于点M。请你帮他探究下列问题：
（1）如图②，当AN经过圆心O时，求AN的长。
（2）如图③，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长。
（3）当$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$时，求△MON的面积。
（1）如图②，当AN经过圆心O时，求AN的长。
（2）如图③，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长。
（3）当$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$时，求△MON的面积。
答案
15. （1）如图①,过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$。由对称性可得$AH=\frac{1}{2}AB=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中,$AO=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$,
故$AN=AO+ON=\sqrt{17}+2$。
（2）如图②,连结$NO$并延长,交$AB$于点$H$,则$NH⊥ AB$,且$H$为$AB$的中点,得$AH=4$,$NH=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AHN$中,$AN=\sqrt{AH^2+NH^2}=5$。过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$。
因为$∠ NPO=∠ NHA=90°,∠ ONP=∠ ANH$,所以$△ ONP∽△ ANH$,
所以$\frac{NP}{NO}=\frac{NH}{NA}$,所以$NP=\frac{NH}{NA}× NO=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}$,
所以$MN=2NP=\frac{12}{5}$,$△ OMN$的周长$=2×2+\frac{12}{5}=\frac{32}{5}$。
（3）因为$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$,所以$AM=MN$。
①如图③,当点$M$在圆弧上时。连结$OA,ON,OM$,过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$。设$NP=MP=x$,则$AM=MN=2x$,$AP=3x(x＞0)$。
在$\mathrm{Rt}△ NPO$中,$OP^2=ON^2-PN^2=4-x^2$;
在$\mathrm{Rt}△ APO$中,$OP^2=AO^2-AP^2=17-9x^2$,
所以$4-x^2=17-9x^2$,解得$x=\frac{\sqrt{26}}{4}$,即$NP=\frac{\sqrt{26}}{4}$,
所以$MN=\frac{1}{2}\sqrt{26}$,$OP=\sqrt{ON^2-PN^2}=\frac{1}{4}\sqrt{38}$,
所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}MN× OP=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\sqrt{26}×\frac{1}{4}\sqrt{38}=\frac{\sqrt{247}}{8}$。
②如图④,当点$M$在直径$DE$上时,连结$ON$,作$MQ⊥ AB$于点$Q$,$OH⊥ AB$于点$H$,$NR⊥ AB$于点$R$且交$DE$于点$T$。
由$DE// AB$,得$\frac{NM}{MA}=\frac{NT}{TR}=1$,得$NT=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ONT$中,$OT=\sqrt{ON^2-NT^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
设$OM=x$,则$QH=OM=x$,$QR=MT=x+\sqrt{3}$。
因为$MQ// NR$,所以$\frac{AQ}{QR}=\frac{AM}{MN}=1$,得$AQ=x+\sqrt{3}$。
又因为$AH=AQ+QH$,故$4=(x+\sqrt{3})+x$,解得$x=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$,即$OM=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$,$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}OM× NT=\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
综上所述,$S_{△ OMN}=\frac{\sqrt{247}}{8}$或$S_{△ OMN}=\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
解析
【分析】
（1）求过圆心的AN长度时，可将AN拆为AO与ON的和，ON为半圆半径已知为2，只需计算AO的长度：利用图形轴对称性，过O作AB的垂线OH，可得AH为AB的一半即4，OH为DE与AB的距离即1，在Rt△OAH中用勾股定理即可求出AO，进而得到AN的长度。
（2）当N为90°刻度点时，NO垂直于DE，结合DE平行AB可得NO垂直AB，先在Rt△AHN中求出AN的长度；再作OP垂直AN，证明△ONP与△ANH相似，利用相似比求出NP的长，由垂径定理得MN=2NP，最后加上OM、ON的长度即可得到△MON的周长。
（3）由$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$可知M是AN的中点，需分两种情况讨论：①M在半圆弧上时，设NP=x，分别在Rt△NPO和Rt△APO中用勾股定理表示OP²，列方程求出x后即可计算△MON的面积；②M在直径DE上时，利用平行线分线段成比例得到NT=1，先求出OT的长度，再结合AH的长度求出OM的长，进而求出△MON的面积。
【解析】
（1）过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$。由对称性可得$AH=\frac{1}{2}AB=4$，由题意得$OH=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，根据勾股定理：$AO=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
半圆O的半径$ON=\frac{1}{2}DE=2$，故$AN=AO+ON=\sqrt{17}+2$。
（2）连结$NO$并延长，交$AB$于点$H$，因N为90°刻度点，故$NO⊥DE$，又$DE//AB$，则$NH⊥ AB$，且$H$为$AB$的中点，得$AH=4$，$NH=NO+OH=2+1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AHN$中，$AN=\sqrt{AH^2+NH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$，由垂径定理得$MN=2NP$。
因为$∠ NPO=∠ NHA=90°,∠ ONP=∠ ANH$，所以$△ ONP∽△ ANH$，
所以$\frac{NP}{NO}=\frac{NH}{NA}$，代入得$NP=\frac{NH}{NA}× NO=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}$，
所以$MN=2NP=\frac{12}{5}$，$△ OMN$的周长$=OM+ON+MN=2+2+\frac{12}{5}=\frac{32}{5}$。
（3）因为$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，所以$AM=MN$，即M为AN中点，分两种情况讨论：
①当点$M$在圆弧上时。连结$OA,ON,OM$，过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$。设$NP=MP=x$，则$AM=MN=2x$，$AP=3x(x＞0)$。
在$\mathrm{Rt}△ NPO$中，$OP^2=ON^2-PN^2=4-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$OP^2=AO^2-AP^2=17-9x^2$，
联立得$4-x^2=17-9x^2$，解得$x=\frac{\sqrt{26}}{4}$（负解舍去），即$NP=\frac{\sqrt{26}}{4}$，
所以$MN=\frac{\sqrt{26}}{2}$，$OP=\sqrt{ON^2-PN^2}=\frac{\sqrt{38}}{4}$，
所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}MN× OP=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{26}}{2}×\frac{\sqrt{38}}{4}=\frac{\sqrt{247}}{8}$。
②当点$M$在直径$DE$上时，连结$ON$，作$MQ⊥ AB$于点$Q$，$OH⊥ AB$于点$H$，$NR⊥ AB$于点$R$且交$DE$于点$T$。
由$DE// AB$，得$\frac{NM}{MA}=\frac{NT}{TR}=1$，故$NT=TR=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ONT$中，$OT=\sqrt{ON^2-NT^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
设$OM=x$，则矩形OMQH中$QH=OM=x$，$QR=MT=x+\sqrt{3}$。
因为$MQ// NR$，所以$\frac{AQ}{QR}=\frac{AM}{MN}=1$，得$AQ=x+\sqrt{3}$。
又$AH=AQ+QH$，故$4=(x+\sqrt{3})+x$，解得$x=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，即$OM=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，
所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}×OM× NT=\frac{1}{2}×\frac{4-\sqrt{3}}{2}×1=\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
综上，$S_{△ OMN}=\frac{\sqrt{247}}{8}$或$\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
（1）$\sqrt{17}+2$
（2）$\frac{32}{5}$
（3）$\frac{\sqrt{247}}{8}$或$\frac{4-\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题结合三角形与圆的性质考查几何综合计算，解题时需注意结合图形性质转化线段关系，第三问要分类讨论点M的位置，避免漏解，对逻辑分析和计算能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.3
（1）求过圆心的AN长度时，可将AN拆为AO与ON的和，ON为半圆半径已知为2，只需计算AO的长度：利用图形轴对称性，过O作AB的垂线OH，可得AH为AB的一半即4，OH为DE与AB的距离即1，在Rt△OAH中用勾股定理即可求出AO，进而得到AN的长度。
（2）当N为90°刻度点时，NO垂直于DE，结合DE平行AB可得NO垂直AB，先在Rt△AHN中求出AN的长度；再作OP垂直AN，证明△ONP与△ANH相似，利用相似比求出NP的长，由垂径定理得MN=2NP，最后加上OM、ON的长度即可得到△MON的周长。
（3）由$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$可知M是AN的中点，需分两种情况讨论：①M在半圆弧上时，设NP=x，分别在Rt△NPO和Rt△APO中用勾股定理表示OP²，列方程求出x后即可计算△MON的面积；②M在直径DE上时，利用平行线分线段成比例得到NT=1，先求出OT的长度，再结合AH的长度求出OM的长，进而求出△MON的面积。
【解析】
（1）过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$。由对称性可得$AH=\frac{1}{2}AB=4$，由题意得$OH=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，根据勾股定理：$AO=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
半圆O的半径$ON=\frac{1}{2}DE=2$，故$AN=AO+ON=\sqrt{17}+2$。
（2）连结$NO$并延长，交$AB$于点$H$，因N为90°刻度点，故$NO⊥DE$，又$DE//AB$，则$NH⊥ AB$，且$H$为$AB$的中点，得$AH=4$，$NH=NO+OH=2+1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AHN$中，$AN=\sqrt{AH^2+NH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$，由垂径定理得$MN=2NP$。
因为$∠ NPO=∠ NHA=90°,∠ ONP=∠ ANH$，所以$△ ONP∽△ ANH$，
所以$\frac{NP}{NO}=\frac{NH}{NA}$，代入得$NP=\frac{NH}{NA}× NO=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}$，
所以$MN=2NP=\frac{12}{5}$，$△ OMN$的周长$=OM+ON+MN=2+2+\frac{12}{5}=\frac{32}{5}$。
（3）因为$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，所以$AM=MN$，即M为AN中点，分两种情况讨论：
①当点$M$在圆弧上时。连结$OA,ON,OM$，过点$O$作$OP⊥ AN$于点$P$。设$NP=MP=x$，则$AM=MN=2x$，$AP=3x(x＞0)$。
在$\mathrm{Rt}△ NPO$中，$OP^2=ON^2-PN^2=4-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ APO$中，$OP^2=AO^2-AP^2=17-9x^2$，
联立得$4-x^2=17-9x^2$，解得$x=\frac{\sqrt{26}}{4}$（负解舍去），即$NP=\frac{\sqrt{26}}{4}$，
所以$MN=\frac{\sqrt{26}}{2}$，$OP=\sqrt{ON^2-PN^2}=\frac{\sqrt{38}}{4}$，
所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}MN× OP=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{26}}{2}×\frac{\sqrt{38}}{4}=\frac{\sqrt{247}}{8}$。
②当点$M$在直径$DE$上时，连结$ON$，作$MQ⊥ AB$于点$Q$，$OH⊥ AB$于点$H$，$NR⊥ AB$于点$R$且交$DE$于点$T$。
由$DE// AB$，得$\frac{NM}{MA}=\frac{NT}{TR}=1$，故$NT=TR=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ONT$中，$OT=\sqrt{ON^2-NT^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
设$OM=x$，则矩形OMQH中$QH=OM=x$，$QR=MT=x+\sqrt{3}$。
因为$MQ// NR$，所以$\frac{AQ}{QR}=\frac{AM}{MN}=1$，得$AQ=x+\sqrt{3}$。
又$AH=AQ+QH$，故$4=(x+\sqrt{3})+x$，解得$x=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，即$OM=\frac{4-\sqrt{3}}{2}$，
所以$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}×OM× NT=\frac{1}{2}×\frac{4-\sqrt{3}}{2}×1=\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
综上，$S_{△ OMN}=\frac{\sqrt{247}}{8}$或$\frac{4-\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
（1）$\sqrt{17}+2$
（2）$\frac{32}{5}$
（3）$\frac{\sqrt{247}}{8}$或$\frac{4-\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题结合三角形与圆的性质考查几何综合计算，解题时需注意结合图形性质转化线段关系，第三问要分类讨论点M的位置，避免漏解，对逻辑分析和计算能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.3
