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9. 如图，AB，CD为$\odot O$的直径，点E为$\overset{\frown}{AD}$上一点，$\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE}=360°$。
（1）求证：$AE// CD$。
（2）若$AE=6$，$DE=2\sqrt{5}$，求OA的长度。
（1）求证：$AE// CD$。
（2）若$AE=6$，$DE=2\sqrt{5}$，求OA的长度。
答案
9. (1) 由$\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE}=360°$,得$∠E+∠CDE=180°$,所以$AE// CD$。
(2) 连结BE,交OD于点F,连结OE。因为$AE// CD$,所以$∠A=∠DOB$,$∠AEO=∠DOE$。因为$OA=OE$,所以$∠A=∠AEO$,所以$∠BOD=∠DOE$,所以OD垂直平分BE,所以$BD=DE=2\sqrt{5}$。因为OF是$△ABE$的中位线,$AE=6$,所以$OF=3$。设$OA=x$,因为$OB^2-OF^2=BF^2=BD^2-DF^2$,所以$x^2-3^2=(2\sqrt{5})^2-(x-3)^2$,解得$x_1=5,x_2=-2$(舍去)。所以$OA=5$。
(2) 连结BE,交OD于点F,连结OE。因为$AE// CD$,所以$∠A=∠DOB$,$∠AEO=∠DOE$。因为$OA=OE$,所以$∠A=∠AEO$,所以$∠BOD=∠DOE$,所以OD垂直平分BE,所以$BD=DE=2\sqrt{5}$。因为OF是$△ABE$的中位线,$AE=6$,所以$OF=3$。设$OA=x$,因为$OB^2-OF^2=BF^2=BD^2-DF^2$,所以$x^2-3^2=(2\sqrt{5})^2-(x-3)^2$,解得$x_1=5,x_2=-2$(舍去)。所以$OA=5$。
解析
【分析】
（1）要证明$AE// CD$，可通过证明两直线同旁内角互补实现。已知条件给出两段弧的度数和为$360°$，结合圆周角定理中弧与对应圆周角的度数关系，可将弧的关系转化为角的互补关系，从而证明平行。
（2）要求$OA$即圆的半径，已知弦$AE$、$DE$的长度，可利用直径所对圆周角为直角的性质，结合第一问的平行结论构造直角三角形，再借助中位线性质、等腰三角形三线合一的性质，通过勾股定理列方程求解半径。
【解析】
（1）证明：$\because$ 圆周的总弧度数为$360°$，且$\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE}=360°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可得：
$∠ AED = \frac{1}{2}\overset{\frown}{ABD}$的度数，$∠ CDE = \frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}$的度数，
$\therefore ∠ AED + ∠ CDE = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE})=\frac{1}{2}×360°=180°$，
$\therefore AE// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）解：连结$BE$，交$OD$于点$F$，连结$OE$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BE$。
由（1）知$AE// CD$，$\therefore CD⊥ BE$。
$\because AE// CD$，$\therefore ∠ OAE=∠ DOB$（两直线平行，同位角相等），$∠ AEO=∠ DOE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because OA=OE$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OAE=∠ AEO$，
$\therefore ∠ DOB=∠ DOE$。
在等腰$△ BOE$中，$OB=OE$，$OD$平分$∠ BOE$，$\therefore OD$垂直平分$BE$，$\therefore BD=DE=2\sqrt{5}$。
$\because O$是$AB$中点，$OF// AE$，$\therefore OF$是$△ ABE$的中位线，
$\therefore OF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$。
设$OA=x$，则$OB=OD=x$，$\therefore DF=OD-OF=x-3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$BF^2=OB^2-OF^2=x^2-3^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF^2=BD^2-DF^2=(2\sqrt{5})^2-(x-3)^2$，
$\therefore x^2-9=20-(x-3)^2$，
整理得：$x^2-3x-10=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-2$（半径为正数，舍去）。
$\therefore OA=5$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{OA=5}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是能将弧的条件转化为角的关系，同时合理构造辅助线，结合三角形中位线、等腰三角形性质，利用方程思想求解线段长度，对几何综合分析能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$AE// CD$，可通过证明两直线同旁内角互补实现。已知条件给出两段弧的度数和为$360°$，结合圆周角定理中弧与对应圆周角的度数关系，可将弧的关系转化为角的互补关系，从而证明平行。
（2）要求$OA$即圆的半径，已知弦$AE$、$DE$的长度，可利用直径所对圆周角为直角的性质，结合第一问的平行结论构造直角三角形，再借助中位线性质、等腰三角形三线合一的性质，通过勾股定理列方程求解半径。
【解析】
（1）证明：$\because$ 圆周的总弧度数为$360°$，且$\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE}=360°$。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可得：
$∠ AED = \frac{1}{2}\overset{\frown}{ABD}$的度数，$∠ CDE = \frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}$的度数，
$\therefore ∠ AED + ∠ CDE = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{ABD}+\overset{\frown}{CE})=\frac{1}{2}×360°=180°$，
$\therefore AE// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
（2）解：连结$BE$，交$OD$于点$F$，连结$OE$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BE$。
由（1）知$AE// CD$，$\therefore CD⊥ BE$。
$\because AE// CD$，$\therefore ∠ OAE=∠ DOB$（两直线平行，同位角相等），$∠ AEO=∠ DOE$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because OA=OE$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OAE=∠ AEO$，
$\therefore ∠ DOB=∠ DOE$。
在等腰$△ BOE$中，$OB=OE$，$OD$平分$∠ BOE$，$\therefore OD$垂直平分$BE$，$\therefore BD=DE=2\sqrt{5}$。
$\because O$是$AB$中点，$OF// AE$，$\therefore OF$是$△ ABE$的中位线，
$\therefore OF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$。
设$OA=x$，则$OB=OD=x$，$\therefore DF=OD-OF=x-3$。
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$BF^2=OB^2-OF^2=x^2-3^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$BF^2=BD^2-DF^2=(2\sqrt{5})^2-(x-3)^2$，
$\therefore x^2-9=20-(x-3)^2$，
整理得：$x^2-3x-10=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-2$（半径为正数，舍去）。
$\therefore OA=5$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{OA=5}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是能将弧的条件转化为角的关系，同时合理构造辅助线，结合三角形中位线、等腰三角形性质，利用方程思想求解线段长度，对几何综合分析能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
