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9.(1)若四个有理数相乘,积为负数,则负数的个数是
(2)如果几个有理数之积为零,那么这几个有理数中零的个数至少有
1或3
；(2)如果几个有理数之积为零,那么这几个有理数中零的个数至少有
1个
。答案
9.(1)1或3 (2)至少有1个
解析
【分析】
解题前先回忆有理数乘法的相关性质：①几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正；②任何数和0相乘都得0。
对于第(1)问：已知4个有理数的乘积为负，首先可判断这四个数中没有0（否则乘积为0，不符合题意），接下来要满足负因数个数为奇数，总共有4个因数，符合条件的奇数是1和3，因此负数个数就是1或3。
对于第(2)问：根据乘积为0的性质，只要因数里有1个0，整个乘积就为0，因此零的个数至少为1个。
【解析】
(1) 根据有理数乘法符号法则：几个不为0的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负数。
已知4个有理数相乘积为负，说明四个数均不为0，负因数的个数需为奇数，小于等于4的正奇数有1、3，因此负数的个数是1或3。
(2) 根据有理数乘法的性质：任意数与0相乘，结果都为0。因此只要几个有理数中存在1个0，乘积就为0，所以这几个有理数中零的个数至少有1个。
【答案】
(1)1或3；(2)至少有1个
【知识点】
有理数乘法符号法则、有理数乘积为0的性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础应用题，需要熟练掌握有理数乘法的符号规律和乘积为0的特征，解答第(1)问时注意不要遗漏负因数个数为3的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆有理数乘法的相关性质：①几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正；②任何数和0相乘都得0。
对于第(1)问：已知4个有理数的乘积为负，首先可判断这四个数中没有0（否则乘积为0，不符合题意），接下来要满足负因数个数为奇数，总共有4个因数，符合条件的奇数是1和3，因此负数个数就是1或3。
对于第(2)问：根据乘积为0的性质，只要因数里有1个0，整个乘积就为0，因此零的个数至少为1个。
【解析】
(1) 根据有理数乘法符号法则：几个不为0的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负数。
已知4个有理数相乘积为负，说明四个数均不为0，负因数的个数需为奇数，小于等于4的正奇数有1、3，因此负数的个数是1或3。
(2) 根据有理数乘法的性质：任意数与0相乘，结果都为0。因此只要几个有理数中存在1个0，乘积就为0，所以这几个有理数中零的个数至少有1个。
【答案】
(1)1或3；(2)至少有1个
【知识点】
有理数乘法符号法则、有理数乘积为0的性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础应用题，需要熟练掌握有理数乘法的符号规律和乘积为0的特征，解答第(1)问时注意不要遗漏负因数个数为3的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10. 四个互不相等的整数a,b,c,d，它们的积为4，那么$a+b+c+d=$
0
.答案
10. 0
解析
【分析】
首先我们需要根据“四个互不相等的整数乘积为4”的条件，找出这四个整数：第一步先列出4的所有整数因数，即±1、±2、±4；第二步排除不符合“互不相等”要求的组合：如果选±4作为其中一个因数，剩余三个整数的乘积为±1，必然会出现重复的数字，不符合要求，因此只能选取±1、±2这四个互不相等的整数，最后计算四个数的和即可。
【解析】
已知a、b、c、d是互不相等的整数，且$abcd=4$。
1. 先列出4的所有整数因数：$\pm1、\pm2、\pm4$。
2. 筛选符合条件的整数：
若四个数中包含4，则剩余三个数的乘积为$4÷4=1$，三个整数乘积为1时，只能是1、1、1或-1、-1、1，存在重复数字，不符合要求；
若四个数中包含-4，则剩余三个数的乘积为$4÷(-4)=-1$，三个整数乘积为-1时，只能是-1、1、1或-1、-1、-1，也存在重复数字，不符合要求；
因此符合条件的四个互不相等的整数只能是1、-1、2、-2，验证乘积：$1×(-1)×2×(-2)=4$，满足题意。
3. 计算四个数的和：$a+b+c+d=1+(-1)+2+(-2)=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘法运算；有理数的加法运算；整数因数分解
【点评】
本题核心是灵活运用有理数乘法的性质，解题的关键是结合“四个互不相等的整数”的限制条件，正确筛选出乘积为4的整数组合，解题时要注意兼顾正负数两种情况，避免漏考虑负因数导致错解。
【难度系数】
0.7
首先我们需要根据“四个互不相等的整数乘积为4”的条件，找出这四个整数：第一步先列出4的所有整数因数，即±1、±2、±4；第二步排除不符合“互不相等”要求的组合：如果选±4作为其中一个因数，剩余三个整数的乘积为±1，必然会出现重复的数字，不符合要求，因此只能选取±1、±2这四个互不相等的整数，最后计算四个数的和即可。
【解析】
已知a、b、c、d是互不相等的整数，且$abcd=4$。
1. 先列出4的所有整数因数：$\pm1、\pm2、\pm4$。
2. 筛选符合条件的整数：
若四个数中包含4，则剩余三个数的乘积为$4÷4=1$，三个整数乘积为1时，只能是1、1、1或-1、-1、1，存在重复数字，不符合要求；
若四个数中包含-4，则剩余三个数的乘积为$4÷(-4)=-1$，三个整数乘积为-1时，只能是-1、1、1或-1、-1、-1，也存在重复数字，不符合要求；
因此符合条件的四个互不相等的整数只能是1、-1、2、-2，验证乘积：$1×(-1)×2×(-2)=4$，满足题意。
3. 计算四个数的和：$a+b+c+d=1+(-1)+2+(-2)=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘法运算；有理数的加法运算；整数因数分解
【点评】
本题核心是灵活运用有理数乘法的性质，解题的关键是结合“四个互不相等的整数”的限制条件，正确筛选出乘积为4的整数组合，解题时要注意兼顾正负数两种情况，避免漏考虑负因数导致错解。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1) $-3\dfrac{1}{3} × (-11\dfrac{1}{4}) × (-1\dfrac{1}{3}) × (-0.3)$；
(2) $-24 × (\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6})$。
(1) $-3\dfrac{1}{3} × (-11\dfrac{1}{4}) × (-1\dfrac{1}{3}) × (-0.3)$；
(2) $-24 × (\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6})$。
答案
11.(1)15 (2)2
解析
【分析】
(1) 多个有理数相乘时，先根据负因数的个数确定乘积符号：本题共有4个负因数，个数为偶数，所以积为正，只需计算各数绝对值的乘积；接下来把带分数化为假分数、小数化为分数，再观察数字特征，利用乘法交换律和结合律将能约分、凑整的数优先结合计算，可大幅简化运算步骤。
(2) 观察算式可发现，括号内各分数的分母都是24的因数，因此直接运用乘法分配律，将-24分别乘括号内的每一项，比先通分计算括号内的结果再相乘更简便，计算时要注意不要漏乘，同时要准确判断每一项的符号。
【解析】
(1) 先确定符号，负因数共4个，积为正，再统一改写为分数形式后用运算律计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{1}{3} × 11\dfrac{1}{4} × 1\dfrac{1}{3} × 0.3\\&=\dfrac{10}{3} × \dfrac{45}{4} × \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{10}\\&=(\dfrac{10}{3} × \dfrac{3}{10}) × (\dfrac{45}{4} × \dfrac{4}{3})\\&=1×15\\&=15\end{aligned}$
(2) 运用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-24 × \dfrac{1}{3} + (-24) × (-\dfrac{1}{4}) + (-24) × (-\dfrac{1}{6})\\&=-8 + 6 + 4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1)15；(2)2
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；有理数简便运算
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，核心考查运算律的灵活使用，计算时先确定符号再算绝对值，合理运用运算律能有效降低计算量、减少错误，要特别注意乘法分配律应用时的符号处理。
【难度系数】
0.8
(1) 多个有理数相乘时，先根据负因数的个数确定乘积符号：本题共有4个负因数，个数为偶数，所以积为正，只需计算各数绝对值的乘积；接下来把带分数化为假分数、小数化为分数，再观察数字特征，利用乘法交换律和结合律将能约分、凑整的数优先结合计算，可大幅简化运算步骤。
(2) 观察算式可发现，括号内各分数的分母都是24的因数，因此直接运用乘法分配律，将-24分别乘括号内的每一项，比先通分计算括号内的结果再相乘更简便，计算时要注意不要漏乘，同时要准确判断每一项的符号。
【解析】
(1) 先确定符号，负因数共4个，积为正，再统一改写为分数形式后用运算律计算：
$\begin{aligned}原式&=3\dfrac{1}{3} × 11\dfrac{1}{4} × 1\dfrac{1}{3} × 0.3\\&=\dfrac{10}{3} × \dfrac{45}{4} × \dfrac{4}{3} × \dfrac{3}{10}\\&=(\dfrac{10}{3} × \dfrac{3}{10}) × (\dfrac{45}{4} × \dfrac{4}{3})\\&=1×15\\&=15\end{aligned}$
(2) 运用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-24 × \dfrac{1}{3} + (-24) × (-\dfrac{1}{4}) + (-24) × (-\dfrac{1}{6})\\&=-8 + 6 + 4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1)15；(2)2
【知识点】
有理数乘法法则；乘法运算律；有理数简便运算
【点评】
本题属于有理数乘法的基础运算题，核心考查运算律的灵活使用，计算时先确定符号再算绝对值，合理运用运算律能有效降低计算量、减少错误，要特别注意乘法分配律应用时的符号处理。
【难度系数】
0.8
12. (1)运用分配律计算 $19\dfrac{17}{18} × (-9)$时,你认为下列变形最简便的是 (
A. $(19+\dfrac{17}{18}) × (-9)$
B. $(20-\dfrac{1}{18}) × (-9)$
C. $19\dfrac{17}{18} × (-3-6)$
D. $19\dfrac{17}{18} × (1-10)$
(2)用简便方法进行计算:
① $(-100\dfrac{1}{5}) × (5-10)$；
② $(-99\dfrac{7}{8}) × (-4) - (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}) × 24$。
B
)A. $(19+\dfrac{17}{18}) × (-9)$
B. $(20-\dfrac{1}{18}) × (-9)$
C. $19\dfrac{17}{18} × (-3-6)$
D. $19\dfrac{17}{18} × (1-10)$
(2)用简便方法进行计算:
① $(-100\dfrac{1}{5}) × (5-10)$；
② $(-99\dfrac{7}{8}) × (-4) - (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}) × 24$。
答案
12.(1)B (2)①501 ②$415\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 运用分配律计算带分数乘整数时，简便变形的核心思路是：把带分数拆成与它最接近的整数加/减一个真分数，让拆分后的两部分分别乘另一个乘数时，都能快速口算或约分，减少计算量。$19\dfrac{17}{18}$最接近整数20，可写成$20-\dfrac{1}{18}$，乘-9时，$20×(-9)$、$\dfrac{1}{18}×(-9)$都能快速计算，是最简便的变形。
(2) 两道简便计算题均以乘法分配律为核心：①先算括号内的减法，再将带分数拆成整百数减真分数的形式，用分配律展开计算；②第一部分把带分数拆成整百数减真分数的形式用分配律计算，第二部分直接用分配律展开计算括号与24的乘积，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 逐一分析选项：
A选项拆分后$19×(-9)$、$\dfrac{17}{18}×(-9)$可计算，但$19×(-9)$计算量大于$20×(-9)$，不是最简便；
B选项$(20-\dfrac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\dfrac{1}{18}×(-9)=-180+\dfrac{1}{2}$，两步都可口算，最简便；
C、D选项拆分后计算步骤更多，运算更复杂。因此选B。
(2)① 计算$(-100\dfrac{1}{5}) × (5-10)$：
先计算括号内：$5-10=-5$
原式$=(-100-\dfrac{1}{5})×(-5)$
根据乘法分配律展开：
$=(-100)×(-5) + (-\dfrac{1}{5})×(-5)$
$=500 + 1$
$=501$
② 计算$(-99\dfrac{7}{8}) × (-4) - (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}) × 24$：
先计算第一部分乘法：
$(-99\dfrac{7}{8})×(-4)=(100-\dfrac{1}{8})×4$（负负得正，将$99\dfrac{7}{8}$拆为$100-\dfrac{1}{8}$）
展开得：$100×4 - \dfrac{1}{8}×4=400-\dfrac{1}{2}=399\dfrac{1}{2}$
再计算第二部分：
$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})×24$
展开得：$\dfrac{1}{2}×24 - \dfrac{1}{3}×24 - \dfrac{5}{6}×24=12-8-20=-16$
合并两部分结果：
原式$=399\dfrac{1}{2} - (-16)=399\dfrac{1}{2}+16=415\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)B (2)①501 ②$415\dfrac{1}{2}$
【知识点】
乘法分配律，有理数混合运算，带分数简便计算
【点评】
本题重点考查有理数乘法分配律的灵活应用，拆分带分数时凑整十、整百数的技巧是简化计算的核心，这类题型是有理数简便运算的常考类型，熟练掌握能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 运用分配律计算带分数乘整数时，简便变形的核心思路是：把带分数拆成与它最接近的整数加/减一个真分数，让拆分后的两部分分别乘另一个乘数时，都能快速口算或约分，减少计算量。$19\dfrac{17}{18}$最接近整数20，可写成$20-\dfrac{1}{18}$，乘-9时，$20×(-9)$、$\dfrac{1}{18}×(-9)$都能快速计算，是最简便的变形。
(2) 两道简便计算题均以乘法分配律为核心：①先算括号内的减法，再将带分数拆成整百数减真分数的形式，用分配律展开计算；②第一部分把带分数拆成整百数减真分数的形式用分配律计算，第二部分直接用分配律展开计算括号与24的乘积，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 逐一分析选项：
A选项拆分后$19×(-9)$、$\dfrac{17}{18}×(-9)$可计算，但$19×(-9)$计算量大于$20×(-9)$，不是最简便；
B选项$(20-\dfrac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\dfrac{1}{18}×(-9)=-180+\dfrac{1}{2}$，两步都可口算，最简便；
C、D选项拆分后计算步骤更多，运算更复杂。因此选B。
(2)① 计算$(-100\dfrac{1}{5}) × (5-10)$：
先计算括号内：$5-10=-5$
原式$=(-100-\dfrac{1}{5})×(-5)$
根据乘法分配律展开：
$=(-100)×(-5) + (-\dfrac{1}{5})×(-5)$
$=500 + 1$
$=501$
② 计算$(-99\dfrac{7}{8}) × (-4) - (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}) × 24$：
先计算第一部分乘法：
$(-99\dfrac{7}{8})×(-4)=(100-\dfrac{1}{8})×4$（负负得正，将$99\dfrac{7}{8}$拆为$100-\dfrac{1}{8}$）
展开得：$100×4 - \dfrac{1}{8}×4=400-\dfrac{1}{2}=399\dfrac{1}{2}$
再计算第二部分：
$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6})×24$
展开得：$\dfrac{1}{2}×24 - \dfrac{1}{3}×24 - \dfrac{5}{6}×24=12-8-20=-16$
合并两部分结果：
原式$=399\dfrac{1}{2} - (-16)=399\dfrac{1}{2}+16=415\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)B (2)①501 ②$415\dfrac{1}{2}$
【知识点】
乘法分配律，有理数混合运算，带分数简便计算
【点评】
本题重点考查有理数乘法分配律的灵活应用，拆分带分数时凑整十、整百数的技巧是简化计算的核心，这类题型是有理数简便运算的常考类型，熟练掌握能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
