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13. 观察下列算式，用简便方法进行计算：
(1) $-5×\frac{3}{7}+(-4)×(-\frac{3}{7})+6×(-\frac{3}{7})$；
(2) $(-6.6)×\frac{3}{7}+(-2.2)×\frac{3}{7}+3.3×\frac{8}{7}$。
(1) $-5×\frac{3}{7}+(-4)×(-\frac{3}{7})+6×(-\frac{3}{7})$；
(2) $(-6.6)×\frac{3}{7}+(-2.2)×\frac{3}{7}+3.3×\frac{8}{7}$。
答案
13.(1)$-3$ (2)$0$
解析
【分析】
遇到多个乘法算式相加减的有理数运算题，优先考虑用乘法分配律的逆运算简化计算，核心是找到各项的公因数。
第(1)题：观察三个乘法项，都含有公因数$\frac{3}{7}$，先统一各项符号，提取$\frac{3}{7}$后将剩余系数相加，再计算乘积即可。
第(2)题：先观察到前两项有公因数$\frac{3}{7}$，先提取计算前两项的结果，再对比第三项的数值特征，发现可以进一步凑零简化计算。
【解析】
(1) 原式变形可得：
$\begin{aligned}&-5×\frac{3}{7} + 4×\frac{3}{7} -6×\frac{3}{7}\\=&\frac{3}{7}×(-5 + 4 -6)\\=&\frac{3}{7}×(-7)\\=&-3\end{aligned}$
(2) 先对前两项提取公因数$\frac{3}{7}$：
$\begin{aligned}&\frac{3}{7}×(-6.6 -2.2) + 3.3×\frac{8}{7}\\=&\frac{3}{7}×(-8.8) + 3.3×\frac{8}{7}\\=&\frac{-26.4}{7} + \frac{26.4}{7}\\=&0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 乘法分配律逆用
3. 简便运算
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，解题关键是观察算式特征找到公因数，灵活运用乘法分配律简化运算，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
遇到多个乘法算式相加减的有理数运算题，优先考虑用乘法分配律的逆运算简化计算，核心是找到各项的公因数。
第(1)题：观察三个乘法项，都含有公因数$\frac{3}{7}$，先统一各项符号，提取$\frac{3}{7}$后将剩余系数相加，再计算乘积即可。
第(2)题：先观察到前两项有公因数$\frac{3}{7}$，先提取计算前两项的结果，再对比第三项的数值特征，发现可以进一步凑零简化计算。
【解析】
(1) 原式变形可得：
$\begin{aligned}&-5×\frac{3}{7} + 4×\frac{3}{7} -6×\frac{3}{7}\\=&\frac{3}{7}×(-5 + 4 -6)\\=&\frac{3}{7}×(-7)\\=&-3\end{aligned}$
(2) 先对前两项提取公因数$\frac{3}{7}$：
$\begin{aligned}&\frac{3}{7}×(-6.6 -2.2) + 3.3×\frac{8}{7}\\=&\frac{3}{7}×(-8.8) + 3.3×\frac{8}{7}\\=&\frac{-26.4}{7} + \frac{26.4}{7}\\=&0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 乘法分配律逆用
3. 简便运算
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，解题关键是观察算式特征找到公因数，灵活运用乘法分配律简化运算，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
14.某服装店老板以32元/件的价格购进了30件连衣裙，但30件连衣裙的售价不完全相同，若以47元/件为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表所示：
则该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
则该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
答案
14. 472元
解析
【分析】
要计算售完30件连衣裙的总利润，需明确总利润=总销售额-总成本。解题思路如下：首先计算所有连衣裙售价和标准47元/件的总差值，每个记录结果要对应乘以售出件数后再求和；接着计算30件按标准售价出售的总销售额，加上总差值得到实际总销售额；再计算进货总成本，最后用总销售额减去总成本即可得到利润。
【解析】
解：
1. 计算所有连衣裙售价与标准价格的总差值：
$7×(+3) + 6×(+2) + 3×(+1) + 5×0 + 4×(-1) + 5×(-2)$
$=21+12+3+0-4-10$
$=22$（元）
2. 计算实际总销售额：
$47×30 + 22 = 1410 + 22 = 1432$（元）
3. 计算进货总成本：
$32×30 = 960$（元）
4. 计算总利润：
$1432 - 960 = 472$（元）
【答案】
472元
【知识点】
正负数的意义、有理数混合运算、利润计算
【点评】
本题结合销售场景考查数学知识的实际应用，解题关键是正确理解正负数的含义，理清销售额、成本、利润三者的数量关系，计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算售完30件连衣裙的总利润，需明确总利润=总销售额-总成本。解题思路如下：首先计算所有连衣裙售价和标准47元/件的总差值，每个记录结果要对应乘以售出件数后再求和；接着计算30件按标准售价出售的总销售额，加上总差值得到实际总销售额；再计算进货总成本，最后用总销售额减去总成本即可得到利润。
【解析】
解：
1. 计算所有连衣裙售价与标准价格的总差值：
$7×(+3) + 6×(+2) + 3×(+1) + 5×0 + 4×(-1) + 5×(-2)$
$=21+12+3+0-4-10$
$=22$（元）
2. 计算实际总销售额：
$47×30 + 22 = 1410 + 22 = 1432$（元）
3. 计算进货总成本：
$32×30 = 960$（元）
4. 计算总利润：
$1432 - 960 = 472$（元）
【答案】
472元
【知识点】
正负数的意义、有理数混合运算、利润计算
【点评】
本题结合销售场景考查数学知识的实际应用，解题关键是正确理解正负数的含义，理清销售额、成本、利润三者的数量关系，计算时要注意符号处理，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
15. 我们知道：$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，….请根据此规律，解答下列问题：
(1)猜想$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{49}{50}=$
(2)根据上面的规律，计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
(3)一根长624 m的铁丝，第一次用去它的$\frac{1}{2}$，第二次用去剩下的$\frac{1}{3}$，第三次用去剩下的$\frac{1}{4}$，第四次用去剩下的$\frac{1}{5}$，……以此类推，直到用去余下的$\frac{1}{624}$，最后这根铁丝还剩
(1)猜想$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{49}{50}=$
$\frac{1}{50}$
；(2)根据上面的规律，计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
(3)一根长624 m的铁丝，第一次用去它的$\frac{1}{2}$，第二次用去剩下的$\frac{1}{3}$，第三次用去剩下的$\frac{1}{4}$，第四次用去剩下的$\frac{1}{5}$，……以此类推，直到用去余下的$\frac{1}{624}$，最后这根铁丝还剩
1
m.答案
15.(1)$\frac{1}{50}$ (2)$-\frac{1}{100}$ (3)1
解析
【分析】
先观察题干给出的等式，可发现规律：多个分数连乘时，前一个分数的分母与后一个分数的分子可相互约分，最终结果为第一个分数的分子与最后一个分数的分母的比值。
(1)直接套用上述规律，连乘到$\frac{49}{50}$时，中间项全部约分，剩余$\frac{1}{50}$即可。
(2)先计算每个括号内的减法，可得到形如$-\frac{n-1}{n}$的因数，先判断负因数的个数确定乘积的符号，再将绝对值部分按照上述约分规律计算，最后结合符号得到结果。
(3)先推导每次使用后剩余铁丝占原长的比例：每次用去余下的$\frac{1}{k}$，就剩余余下的$\frac{k-1}{k}$，将每次剩余的比例连乘，同样利用约分规律算出最终剩余的占比，再乘以总长度即可得到剩余长度。
【解析】
(1) 根据已知规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{49}{50}$中，相邻分数的分子分母依次约分，最后剩下第一个分子1和最后一个分母50，故结果为$\frac{1}{50}$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$，$(\frac{1}{3}-1)=-\frac{2}{3}$，$(\frac{1}{4}-1)=-\frac{3}{4}$，…，$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$
原式共有$100-2+1=99$个负因数，99是奇数，故乘积为负，绝对值部分约分可得：
$\vert 原式\vert=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$
因此原式结果为$-\frac{1}{100}$。
(3) 每次用去余下的$\frac{1}{k}$，则剩余部分占上次余下的$1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}$，因此最后剩余铁丝的长度为：
$624×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{624})$
$=624×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{623}{624}$
中间项依次约分后得：$624×\frac{1}{624}=1(m)$
【答案】
(1)$\frac{1}{50}$；(2)$-\frac{1}{100}$；(3)$1$
【知识点】
有理数乘法运算，分数约分，规律探究
【点评】
本题侧重考查规律归纳与应用能力，解题核心是发现连乘分数的约分特征，同时要注意有理数乘法中负因数个数对乘积符号的影响，结合实际问题时需准确梳理剩余量的占比关系。
【难度系数】
0.7
先观察题干给出的等式，可发现规律：多个分数连乘时，前一个分数的分母与后一个分数的分子可相互约分，最终结果为第一个分数的分子与最后一个分数的分母的比值。
(1)直接套用上述规律，连乘到$\frac{49}{50}$时，中间项全部约分，剩余$\frac{1}{50}$即可。
(2)先计算每个括号内的减法，可得到形如$-\frac{n-1}{n}$的因数，先判断负因数的个数确定乘积的符号，再将绝对值部分按照上述约分规律计算，最后结合符号得到结果。
(3)先推导每次使用后剩余铁丝占原长的比例：每次用去余下的$\frac{1}{k}$，就剩余余下的$\frac{k-1}{k}$，将每次剩余的比例连乘，同样利用约分规律算出最终剩余的占比，再乘以总长度即可得到剩余长度。
【解析】
(1) 根据已知规律，$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{49}{50}$中，相邻分数的分子分母依次约分，最后剩下第一个分子1和最后一个分母50，故结果为$\frac{1}{50}$。
(2) 先化简每个括号内的式子：
$(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}$，$(\frac{1}{3}-1)=-\frac{2}{3}$，$(\frac{1}{4}-1)=-\frac{3}{4}$，…，$(\frac{1}{100}-1)=-\frac{99}{100}$
原式共有$100-2+1=99$个负因数，99是奇数，故乘积为负，绝对值部分约分可得：
$\vert 原式\vert=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{99}{100}=\frac{1}{100}$
因此原式结果为$-\frac{1}{100}$。
(3) 每次用去余下的$\frac{1}{k}$，则剩余部分占上次余下的$1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k}$，因此最后剩余铁丝的长度为：
$624×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{624})$
$=624×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{623}{624}$
中间项依次约分后得：$624×\frac{1}{624}=1(m)$
【答案】
(1)$\frac{1}{50}$；(2)$-\frac{1}{100}$；(3)$1$
【知识点】
有理数乘法运算，分数约分，规律探究
【点评】
本题侧重考查规律归纳与应用能力，解题核心是发现连乘分数的约分特征，同时要注意有理数乘法中负因数个数对乘积符号的影响，结合实际问题时需准确梳理剩余量的占比关系。
【难度系数】
0.7
