4. 杨辉三角形是二项式系数在三角形中的一种几何排列，我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中，用如图4所示的三角形解释二项和的乘方规律：
$(a+b)^1 = a+b$；
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$；
$(a+b)^4 = (a+b)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$。
（1）直接写出$(a+b)^6$展开后的多项式：______。
（2）$(a+b)^1$展开后的多项式的各项系数之和为________；
$(a+b)^2$展开后的多项式的各项系数之和为________；
$(a+b)^3$展开后的多项式的各项系数之和为________；
$(a+b)^4$展开后的多项式的各项系数之和为________；
……
$(a+b)^n$展开后的多项式的各项系数之和为________。

（1）$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$ （2）2 4 8 16 $2^n$

【分析】
（1）求解第一问可先观察杨辉三角的规律：杨辉三角每行两端的数都是1，中间每个数等于它上方两个数的和，且第m行的数对应$(a+b)^{m-1}$展开式的各项系数；同时$(a+b)^n$展开式中a的次数从n逐项递减到0，b的次数从0逐项递增到n，结合图中第7行（对应n=6）的系数即可写出展开式。
（2）求解第二问可利用赋值法：要求展开式各项系数之和，只需令展开式中a=1、b=1，此时左边为$(1+1)^n=2^n$，右边就是各项系数相加的结果，依次计算n=1、2、3、4的情况，再归纳出n的通用规律即可。
【解析】
（1）观察杨辉三角，$(a+b)^6$对应的展开式系数为第7行的数：1、6、15、20、15、6、1，结合a的次数从6降为0，b的次数从0升为6，可得展开式：
$(a+b)^6=a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
（2）令a=1，b=1代入$(a+b)^n$，此时计算的结果就是展开式各项系数之和：
当n=1时，系数和为$(1+1)^1=2$；
当n=2时，系数和为$(1+1)^2=4$；
当n=3时，系数和为$(1+1)^3=8$；
当n=4时，系数和为$(1+1)^4=16$；
归纳可得$(a+b)^n$展开式的各项系数之和为$2^n$。
【答案】
（1）$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
（2）2；4；8；16；$2^n$
【知识点】
1. 杨辉三角规律
2. 赋值法求系数和
3. 规律探究
【点评】
本题结合我国古代数学成果杨辉三角出题，既考查对图形规律的观察归纳能力，也考查代数式赋值计算的方法，解题时牢记杨辉三角和二项式展开的对应关系、赋值法求系数和的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7