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3. 如图1，有A型、B型、C型三种不同型号的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形.现用A型纸板1张，B型纸板1张，C型纸板2张拼成如图2所示的大正方形.
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.
方法1：
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：
（2）已知图2的总面积为49，1张A型纸板和1张B型纸板的面积之和为25，求ab的值.
（3）用1张A型纸板和1张B型纸板，拼成如图3所示的图形，若a+b=8，ab=15，求图3中阴影部分的面积.
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.
方法1：
$(a+b)^2$
；方法2：$a^2+2ab+b^2$
.请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
.（2）已知图2的总面积为49，1张A型纸板和1张B型纸板的面积之和为25，求ab的值.
（3）用1张A型纸板和1张B型纸板，拼成如图3所示的图形，若a+b=8，ab=15，求图3中阴影部分的面积.
答案
3.（1）$(a+b)^2$ $a^2+2ab+b^2$ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ （2）由题意，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$，$a^2+b^2=25$，$\therefore ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{49-25}{2}=\frac{24}{2}=12$ （3）由题意，得题图中阴影部分的面积为$\frac{b^2}{2}+a^2-\frac{a(a+b)}{2}=\frac{b^2+2a^2-a^2-ab}{2}=\frac{(a+b)^2-3ab}{2}$，$\therefore$当$a+b=8$，$ab=15$时，阴影部分的面积为$\frac{8^2-3×15}{2}=\frac{64-45}{2}=\frac{19}{2}$
解析
【分析】
（1）求图2大正方形的面积时，第一种方法直接根据正方形面积公式，先确定大正方形边长为$a+b$，即可直接写出面积；第二种方法是拆分大正方形，将1张A型、1张B型、2张C型纸板的面积相加得到总面积，两种方法表示的是同一图形的面积，二者相等即可得到对应等式。
（2）已知图2总面积和A、B型纸板的面积和，代入第一问得到的完全平方公式，变形后即可求出$ab$的值。
（3）求图3阴影面积用割补法：阴影面积等于两个正方形的总面积减去两个空白直角三角形的面积，先化简阴影面积的代数式，再结合完全平方公式变形，代入已知的$a+b$和$ab$的值计算即可。
【解析】
（1）方法1：大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，总面积为$(a+b)^2$；
方法2：大正方形的面积为4个小图形的面积和，即$a^2 + b^2 + ab + ab = a^2+2ab+b^2$；
两种方法表示的面积相等，因此可得等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
（2）由题意得：图2总面积$(a+b)^2=49$，A型、B型纸板面积和$a^2+b^2=25$，
根据完全平方公式变形得$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
代入数值计算：$ab=\frac{49-25}{2}=\frac{24}{2}=12$。
（3）图3中两个正方形的总面积为$a^2+b^2$，
空白部分包含两个直角三角形：一个是边长为$b$的正方形内的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}b^2$；另一个是底为$a+b$、高为$a$的直角三角形，面积为$\frac{1}{2}a(a+b)$。
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a(a+b)\\&=\frac{2a^2 + 2b^2 - b^2 - a^2 - ab}{2}\\&=\frac{a^2 + b^2 - ab}{2}\end{aligned}$
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{(a+b)^2-3ab}{2}$
将$a+b=8$，$ab=15$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{8^2 - 3×15}{2}=\frac{64-45}{2}=\frac{19}{2}$
【答案】
（1）$(a+b)^2$；$a^2+2ab+b^2$；$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
（2）$ab=12$
（3）阴影部分的面积为$\frac{19}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；割补法求面积
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，考查了完全平方公式的推导及变形应用，体现了数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
（1）求图2大正方形的面积时，第一种方法直接根据正方形面积公式，先确定大正方形边长为$a+b$，即可直接写出面积；第二种方法是拆分大正方形，将1张A型、1张B型、2张C型纸板的面积相加得到总面积，两种方法表示的是同一图形的面积，二者相等即可得到对应等式。
（2）已知图2总面积和A、B型纸板的面积和，代入第一问得到的完全平方公式，变形后即可求出$ab$的值。
（3）求图3阴影面积用割补法：阴影面积等于两个正方形的总面积减去两个空白直角三角形的面积，先化简阴影面积的代数式，再结合完全平方公式变形，代入已知的$a+b$和$ab$的值计算即可。
【解析】
（1）方法1：大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，总面积为$(a+b)^2$；
方法2：大正方形的面积为4个小图形的面积和，即$a^2 + b^2 + ab + ab = a^2+2ab+b^2$；
两种方法表示的面积相等，因此可得等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
（2）由题意得：图2总面积$(a+b)^2=49$，A型、B型纸板面积和$a^2+b^2=25$，
根据完全平方公式变形得$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
代入数值计算：$ab=\frac{49-25}{2}=\frac{24}{2}=12$。
（3）图3中两个正方形的总面积为$a^2+b^2$，
空白部分包含两个直角三角形：一个是边长为$b$的正方形内的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}b^2$；另一个是底为$a+b$、高为$a$的直角三角形，面积为$\frac{1}{2}a(a+b)$。
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a(a+b)\\&=\frac{2a^2 + 2b^2 - b^2 - a^2 - ab}{2}\\&=\frac{a^2 + b^2 - ab}{2}\end{aligned}$
结合完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{(a+b)^2-3ab}{2}$
将$a+b=8$，$ab=15$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{8^2 - 3×15}{2}=\frac{64-45}{2}=\frac{19}{2}$
【答案】
（1）$(a+b)^2$；$a^2+2ab+b^2$；$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
（2）$ab=12$
（3）阴影部分的面积为$\frac{19}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；割补法求面积
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，考查了完全平方公式的推导及变形应用，体现了数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
