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8.如图,我们把杜甫的《绝句》整齐地排列在平面直角坐标系中。
(1)“岭”的坐标是
(2)将第2行“窗含西岭千秋雪”与第3行“一行白鹭上青天”对调,再将第3列与第7列对调,“雪”由开始的坐标依次变换为
(3)“泊”开始的坐标是(2,1),若要使它的坐标变换为(5,3),应该哪两行和哪两列对调?
(1)“岭”的坐标是
(4,2)
,"船"的坐标是(7,1)
。(2)将第2行“窗含西岭千秋雪”与第3行“一行白鹭上青天”对调,再将第3列与第7列对调,“雪”由开始的坐标依次变换为
(7,3)
和(3,3)
。(3)“泊”开始的坐标是(2,1),若要使它的坐标变换为(5,3),应该哪两行和哪两列对调?
答案
(1)$(4,2)$；$(7,1)$
(2)$(7,3)$；$(3,3)$
(3)应该将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。
(2)$(7,3)$；$(3,3)$
(3)应该将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。
解析
【分析】
解题核心是明确平面直角坐标系中点的坐标规则：横坐标$x$对应字所在的列数（横轴数值），纵坐标$y$对应字所在的行数（纵轴数值）。
1. 第一问直接定位对应字的列和行，即可写出坐标；
2. 第二问先确定“雪”的原始坐标，行对调时横坐标不变、纵坐标更新为对调后的行数值，列对调时纵坐标不变、横坐标更新为对调后的列数值；
3. 第三问对比变换前后的坐标，纵坐标变化对应行的对调，横坐标变化对应列的对调，即可得到操作方法。
【解析】
(1) 观察图可知：“岭”在第4列、第2行，坐标为$(4,2)$；“船”在第7列、第1行，坐标为$(7,1)$。
(2) “雪”原始位置为第7列、第2行，原坐标$(7,2)$：
① 第2行和第3行对调时，列不变，行变为3，坐标变为$(7,3)$；
② 第3列和第7列对调时，行不变，列变为3，坐标变为$(3,3)$。
(3) “泊”原坐标$(2,1)$，目标坐标$(5,3)$：
纵坐标从1变为3，说明需要对调第1行和第3行；横坐标从2变为5，说明需要对调第2列和第5列。
【答案】
(1)$(4,2)$；$(7,1)$
(2)$(7,3)$；$(3,3)$
(3)应该将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。
【知识点】
点的坐标表示、坐标与位置对应、坐标变换
【点评】
本题结合古诗考查坐标的基础应用，形式新颖，只要理清行、列和纵、横坐标的对应关系，就能快速求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
解题核心是明确平面直角坐标系中点的坐标规则：横坐标$x$对应字所在的列数（横轴数值），纵坐标$y$对应字所在的行数（纵轴数值）。
1. 第一问直接定位对应字的列和行，即可写出坐标；
2. 第二问先确定“雪”的原始坐标，行对调时横坐标不变、纵坐标更新为对调后的行数值，列对调时纵坐标不变、横坐标更新为对调后的列数值；
3. 第三问对比变换前后的坐标，纵坐标变化对应行的对调，横坐标变化对应列的对调，即可得到操作方法。
【解析】
(1) 观察图可知：“岭”在第4列、第2行，坐标为$(4,2)$；“船”在第7列、第1行，坐标为$(7,1)$。
(2) “雪”原始位置为第7列、第2行，原坐标$(7,2)$：
① 第2行和第3行对调时，列不变，行变为3，坐标变为$(7,3)$；
② 第3列和第7列对调时，行不变，列变为3，坐标变为$(3,3)$。
(3) “泊”原坐标$(2,1)$，目标坐标$(5,3)$：
纵坐标从1变为3，说明需要对调第1行和第3行；横坐标从2变为5，说明需要对调第2列和第5列。
【答案】
(1)$(4,2)$；$(7,1)$
(2)$(7,3)$；$(3,3)$
(3)应该将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。
【知识点】
点的坐标表示、坐标与位置对应、坐标变换
【点评】
本题结合古诗考查坐标的基础应用，形式新颖，只要理清行、列和纵、横坐标的对应关系，就能快速求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.85
9. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上。
(1)若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点A'，B'，C'，并依次连接这三个点得到△A'B'C'。观察并说明△A'B'C'与△ABC的位置关系。
(2)求△ABC的面积。
(3)已知P为x轴上一点，若△BB'P的面积是△ABC面积的3倍，求点P的坐标。
(1)若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点A'，B'，C'，并依次连接这三个点得到△A'B'C'。观察并说明△A'B'C'与△ABC的位置关系。
(2)求△ABC的面积。
(3)已知P为x轴上一点，若△BB'P的面积是△ABC面积的3倍，求点P的坐标。
答案
(1)如图，$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称。
(2)$S_{△ ABC}=4×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×4=5$。
(3)设$△ BB'P$的边$BB'$上的高为$h$，点P的坐标为$(x,0)$。
因为$BB'=4$，且$△ BB'P$的面积是$△ ABC$面积的3倍，
所以$\frac{1}{2}×4h=3×5$，解得$h=\frac{15}{2}$。
当点P在x轴负半轴上时，$x=1-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$；
当点P在x轴正半轴上时，$x=1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$。
所以点P的坐标为$(-\frac{13}{2},0)$或$(\frac{17}{2},0)$。
(2)$S_{△ ABC}=4×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×4=5$。
(3)设$△ BB'P$的边$BB'$上的高为$h$，点P的坐标为$(x,0)$。
因为$BB'=4$，且$△ BB'P$的面积是$△ ABC$面积的3倍，
所以$\frac{1}{2}×4h=3×5$，解得$h=\frac{15}{2}$。
当点P在x轴负半轴上时，$x=1-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$；
当点P在x轴正半轴上时，$x=1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$。
所以点P的坐标为$(-\frac{13}{2},0)$或$(\frac{17}{2},0)$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先确定△ABC三个顶点的坐标，根据“横坐标不变，纵坐标乘-1”的变换规则得到对应点A'、B'、C'的坐标，描点连线后，结合坐标特征判断两个三角形的位置关系：横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称，因此整体图形也关于x轴对称。
2. 第(2)问：格点三角形面积常用割补法求解，将△ABC置于覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
3. 第(3)问：先确定线段BB'的长度，△BB'P中BB'为竖直边，高为点P到直线BB'的水平距离，结合面积是△ABC的3倍列方程求解，注意点P可能在直线BB'的左侧或右侧，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：$A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(5,1)$。
横坐标不变，纵坐标乘-1后，对应点坐标为$A'(3,-4)$，$B'(1,-2)$，$C'(5,-1)$，在坐标系中描点并依次连接得到△A'B'C'。
因为对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称。
(2) 用割补法计算面积：
覆盖△ABC的最小矩形长为$5-1=4$，宽为$4-1=3$，矩形面积$=4×3=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×1×4=2$。
因此$S_{△ ABC}=12-3-2-2=5$。
(3) 设点P的坐标为$(x,0)$，$B(1,2)$，$B'(1,-2)$，则线段$BB'$的长度为$2-(-2)=4$，直线$BB'$为$x=1$，点P到直线$BB'$的距离为$|x-1|$。
由题意得$S_{△ BB'P}=3S_{△ ABC}=3×5=15$。
根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×BB'×|x-1|=15$，代入$BB'=4$得：
$\frac{1}{2}×4×|x-1|=15$，
化简得$2|x-1|=15$，即$|x-1|=\frac{15}{2}$。
当$x-1=\frac{15}{2}$时，$x=\frac{17}{2}$；当$x-1=-\frac{15}{2}$时，$x=-\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) $△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称；
(2) $S_{△ ABC}=5$；
(3) 点P的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$或$(\dfrac{17}{2},0)$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；割补法求图形面积；坐标系动点面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关知识，前两问属于基础考查，要求熟练掌握坐标对称规律和格点面积的计算方法；第三问需要结合几何特征列方程，注意分类讨论点的位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先确定△ABC三个顶点的坐标，根据“横坐标不变，纵坐标乘-1”的变换规则得到对应点A'、B'、C'的坐标，描点连线后，结合坐标特征判断两个三角形的位置关系：横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称，因此整体图形也关于x轴对称。
2. 第(2)问：格点三角形面积常用割补法求解，将△ABC置于覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
3. 第(3)问：先确定线段BB'的长度，△BB'P中BB'为竖直边，高为点P到直线BB'的水平距离，结合面积是△ABC的3倍列方程求解，注意点P可能在直线BB'的左侧或右侧，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 先确定△ABC各顶点坐标：$A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(5,1)$。
横坐标不变，纵坐标乘-1后，对应点坐标为$A'(3,-4)$，$B'(1,-2)$，$C'(5,-1)$，在坐标系中描点并依次连接得到△A'B'C'。
因为对应点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称。
(2) 用割补法计算面积：
覆盖△ABC的最小矩形长为$5-1=4$，宽为$4-1=3$，矩形面积$=4×3=12$。
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×1×4=2$。
因此$S_{△ ABC}=12-3-2-2=5$。
(3) 设点P的坐标为$(x,0)$，$B(1,2)$，$B'(1,-2)$，则线段$BB'$的长度为$2-(-2)=4$，直线$BB'$为$x=1$，点P到直线$BB'$的距离为$|x-1|$。
由题意得$S_{△ BB'P}=3S_{△ ABC}=3×5=15$。
根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}×BB'×|x-1|=15$，代入$BB'=4$得：
$\frac{1}{2}×4×|x-1|=15$，
化简得$2|x-1|=15$，即$|x-1|=\frac{15}{2}$。
当$x-1=\frac{15}{2}$时，$x=\frac{17}{2}$；当$x-1=-\frac{15}{2}$时，$x=-\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) $△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称；
(2) $S_{△ ABC}=5$；
(3) 点P的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$或$(\dfrac{17}{2},0)$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；割补法求图形面积；坐标系动点面积计算
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的相关知识，前两问属于基础考查，要求熟练掌握坐标对称规律和格点面积的计算方法；第三问需要结合几何特征列方程，注意分类讨论点的位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
