1.下列关于x的方程是分式方程的是________（填序号）.
①$\frac{x-3}{5}=1$；②$\frac{x}{π}=\frac{π}{x}$；③$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$；④$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$；⑤$\frac{x}{a}=\frac{1}{b-1}$（a，b为常数）.

解：
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
①$\frac{x-3}{5}=1$的分母是常数5，不含未知数，是整式方程；
②$\frac{x}{π}=\frac{π}{x}$的分母含有未知数x，是分式方程；
③$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$是二元一次整式方程，分母不含未知数，不是分式方程；
④$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$的分母含有未知数x，是分式方程；
⑤$\frac{x}{a}=\frac{1}{b-1}$（a，b为常数）的分母均为常数，不含未知数x，是整式方程。
所以是分式方程的是②④。

【分析】
判断分式方程的核心依据是分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时需逐一排查每个方程的分母，注意π是固定常数，题目明确标注为常数的字母不属于未知数，依次排除分母不含未知数的整式方程，即可得到符合要求的分式方程。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐个分析如下：
①$\frac{x-3}{5}=1$的分母是常数5，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
②$\frac{x}{π}=\frac{π}{x}$的分母含有未知数x，是分式方程，符合要求；
③$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$的分母均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
④$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$的分母含有未知数x，是分式方程，符合要求；
⑤$\frac{x}{a}=\frac{1}{b-1}$（a，b为常数）的分母a、b-1均为常数，不含未知数x，属于整式方程，不符合要求。
因此是分式方程的为②④。
【答案】
②④
【知识点】
分式方程的定义，整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查分式方程的判定，易错点是容易误将π当成未知数、或把题目明确为常数的字母当成未知数导致判断错误，解题时需仔细审题，明确常数和未知数的区别。
【难度系数】
0.9

2.若关于$x$的方程$\frac{2kx+5}{x+2}=1$的解为$x=1$，则$k=$.

$\boldsymbol{-1}$

【分析】
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此可以直接将已知的解x=1代入原分式方程，得到只含未知数k的一元一次方程，求解即可得到k的值。代入前可验证分母不为0，本题x=1代入分母x+2得3≠0，无需考虑增根问题，可直接代入计算。
【解析】
∵ $x=1$是方程$\frac{2kx+5}{x+2}=1$的解
∴ 将$x=1$代入原方程，等式成立，可得：
$\frac{2k×1 + 5}{1+2}=1$
化简得：$\frac{2k+5}{3}=1$
方程两边同时乘3，得：$2k+5=3$
移项、合并同类项，得：$2k=-2$
系数化为1，得：$k=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 分式方程的解的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的性质的应用，解题思路清晰，只要掌握方程解的概念和一元一次方程的求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8

3.解分式方程$\frac{x}{2x-1}-\frac{2}{1-2x}=3$时，去分母后化成的一元一次方程是
.

解：
原方程可变形为$\frac{x}{2x-1}+\frac{2}{2x-1}=3$，
方程两边同乘最简公分母$2x-1$，得：
$x + 2 = 3(2x - 1)$
去括号，得到去分母后的一元一次方程：
$x + 2 = 6x - 3$

【分析】
要得到分式方程去分母后的一元一次方程，按以下思路思考：首先观察分式的分母，发现$2x-1$和$1-2x$互为相反数，根据分式的符号法则，可将第二个分式的分母转化为$2x-1$，同时分子的符号要改变，统一分母后，确定最简公分母是$2x-1$；接下来根据等式的性质，给方程两边的每一项都乘最简公分母，注意右边的常数项3也要乘，不能漏乘，最后整理得到整式方程即可。
【解析】
第一步：调整分式的分母，将第二个分式的分母化为$2x-1$，原方程变形为：
$\frac{x}{2x-1}+\frac{2}{2x-1}=3$
第二步：方程两边同时乘最简公分母$2x-1$（隐含条件$2x-1≠0$），消去分母得：
$x + 2 = 3(2x - 1)$
第三步：去括号化简，得到标准的一元一次方程：
$x + 2 = 6x - 3$
【答案】
$x+2=3(2x-1)$；$x+2=6x-3$
【知识点】
分式方程去分母法则，分式的符号法则，等式的性质
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母的操作规范，易错点为处理相反数分母时符号出错，或去分母时漏乘常数项，解题时需仔细检查每一步的符号和运算。
【难度系数】
0.8

4. 分式方程$\frac{1}{x-2}=1$的解是。

$x=3$

【分析】解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式的分母为0，避免出现增根。本题中分式的分母为$x-2$，最简公分母就是$x-2$，给方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后代入分母检验即可。
【解析】解：给方程$\frac{1}{x-2}=1$两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（此时$x≠2$），得：
$1 = x - 2$
移项计算得：
$x = 1 + 2$
$x = 3$
检验：将$x=3$代入原方程的分母$x-2$，得$3-2=1≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】$x=3$
【知识点】分式方程的解法；分式方程验根
【点评】本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是掌握去分母转化整式方程的思路，要牢记解分式方程最后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】0.9

5. 解下列方程.
(1) $\frac{2x - 5}{x - 2} + 3 = \frac{3x - 3}{x - 2}$；
(2) $\frac{6}{x - 2} = \frac{x}{x + 3} - 1$；
(3) $\frac{2}{3} + \frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{9x - 3}$。

解：(1) 方程两边同乘$(x-2)$，去分母得：
$2x-5 + 3(x-2) = 3x-3$
展开整理：
$2x-5+3x-6=3x-3$
$5x-11=3x-3$
$2x=8$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-2=2≠0$，
所以$x=4$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x-2)(x+3)$，去分母得：
$6(x+3) = x(x-2) - (x-2)(x+3)$
展开整理：
$6x+18 = x^2-2x -x^2 -x +6$
$6x+18 = -3x+6$
$9x=-12$
解得：$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：当$x=-\dfrac{4}{3}$时，$(x-2)(x+3)≠0$，
所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原分式方程的解。
(3) 由$9x-3=3(3x-1)$，方程两边同乘$3(3x-1)$，去分母得：
$2(3x-1) + 3x = 1$
展开整理：
$6x-2+3x=1$
$9x=3$
解得：$x=\dfrac{1}{3}$
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，$9x-3=0$，$x=\dfrac{1}{3}$是增根，
所以原分式方程无解。

【分析】
这三道题都是分式方程求解问题，解题遵循“转化-求解-检验”的思路：首先利用“去分母”将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，转化时要先找到各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项；再按照整式方程的解法求解；最后必须检验所求的根是否使原方程的分母为0，若分母为0则是增根，原方程无解，若分母不为0才是原方程的解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$2x-5 + 3(x-2) = 3x-3$
展开整理：
$2x-5+3x-6=3x-3$
$5x-11=3x-3$
移项合并同类项得$2x=8$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-2=2≠0$，
所以$x=4$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)(x+3)$，去分母得：
$6(x+3) = x(x-2) - (x-2)(x+3)$
展开整理：
$6x+18 = x^2-2x -x^2 -x +6$
$6x+18 = -3x+6$
移项合并同类项得$9x=-12$
解得：$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：当$x=-\dfrac{4}{3}$时，$(x-2)(x+3)≠0$，
所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原分式方程的解。
(3) 先对分母因式分解得$9x-3=3(3x-1)$，方程两边同乘最简公分母$3(3x-1)$，去分母得：
$2(3x-1) + 3x = 1$
展开整理：
$6x-2+3x=1$
$9x=3$
解得：$x=\dfrac{1}{3}$
检验：当$x=\dfrac{1}{3}$时，$9x-3=0$，$x=\dfrac{1}{3}$是增根，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=4}$；(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{4}{3}}$；(3) $\boldsymbol{无解}$
【知识点】
分式方程的解法，去分母法则，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础典型题，涵盖了分式方程求解的常见考法，解题时要注意两点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，二是检验是解分式方程必不可少的步骤，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7

6.已知关于$x$的分式方程$\frac{ax}{x-2}+\frac{4}{2-x}=1$无解，求$a$的值.

解：
原方程可变形为：$\frac{ax}{x-2} - \frac{4}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$ax - 4 = x - 2$
整理得：$(a-1)x = 2$
分两种情况讨论分式方程无解：
1. 当整式方程$(a-1)x=2$无解时，$a-1=0$，解得$a=1$，此时原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式方程的增根为$x=2$（令$x-2=0$可得），
将$x=2$代入$(a-1)x=2$，得$2(a-1)=2$，解得$a=2$。
综上，$a$的值为$1$或$2$。

【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解的两类核心情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但该解是让原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分上述两种情况分别讨论计算a的值即可。
【解析】
原方程可变形为：$\frac{ax}{x-2} - \frac{4}{x-2} = 1$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$ax - 4 = x - 2$
整理得：$(a-1)x = 2$
分两种情况讨论分式方程无解：
1. 当整式方程$(a-1)x=2$无解时，一次项系数为0，即$a-1=0$，解得$a=1$，此时原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式方程的增根满足分母为0，即$x-2=0$，得增根$x=2$，将$x=2$代入$(a-1)x=2$，得$2(a-1)=2$，解得$a=2$。
综上，$a$的值为1或2。
【答案】
$a=1$或$a=2$
【知识点】
分式方程无解的判定；增根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的典型考点，核心考查分式方程无解的两种情形，解题时需要有分类讨论的意识，避免因遗漏整式方程本身无解的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6