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5. 已知：线段$ a $和$ ∠ α $.
求作：$ △ ABC $，使$ ∠ A = ∠ α $，$ AB = a $，$ AC = 2a $.（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）
求作：$ △ ABC $，使$ ∠ A = ∠ α $，$ AB = a $，$ AC = 2a $.（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）
答案
解：如图，△ABC即为所求.
解析
【分析】
本题属于已知两边及夹角作三角形的“SAS”型尺规作图问题，解题思路清晰：首先要先确定三角形的夹角，即作出∠A等于已知角∠α，明确顶点A和两条边的方向；再在∠α的两条边上分别截取对应长度的线段，在一条边上截取AB=a、另一条边上截取AC=2a，确定顶点B和C；最后连接B、C两点，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图可按以下步骤完成，最终保留作图痕迹即可：
1. 作∠A=∠α；
2. 在∠A的其中一条边上截取线段AB=a，在另一条边上截取线段AC=2a；
3. 连接BC，得到的△ABC即为所求的三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段
【点评】
本题是基础的尺规作图常考题，核心考查利用两边及夹角作三角形的技能，只要熟练掌握作等角、作等线段两个基本作图，就能顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
本题属于已知两边及夹角作三角形的“SAS”型尺规作图问题，解题思路清晰：首先要先确定三角形的夹角，即作出∠A等于已知角∠α，明确顶点A和两条边的方向；再在∠α的两条边上分别截取对应长度的线段，在一条边上截取AB=a、另一条边上截取AC=2a，确定顶点B和C；最后连接B、C两点，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图可按以下步骤完成，最终保留作图痕迹即可：
1. 作∠A=∠α；
2. 在∠A的其中一条边上截取线段AB=a，在另一条边上截取线段AC=2a；
3. 连接BC，得到的△ABC即为所求的三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段
【点评】
本题是基础的尺规作图常考题，核心考查利用两边及夹角作三角形的技能，只要熟练掌握作等角、作等线段两个基本作图，就能顺利完成作图。
【难度系数】
0.8
6. 已知：$∠ α$，$∠ β$和线段$c$.
求作：$△ ABC$，使$∠ A = ∠ α$，$∠ C = ∠ β$，$AC = c$.（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）
求作：$△ ABC$，使$∠ A = ∠ α$，$∠ C = ∠ β$，$AC = c$.（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）
答案
解：如图，△ABC即为所求.
解析
【分析】
本题是已知两角及夹边作三角形，属于“角边角（ASA）”类型的三角形作图。解题思路可分为三步：第一步先确定夹边，用尺规作线段AC等于已知线段c；第二步分别以A、C为顶点，在AC的同侧作角，使∠A=∠α、∠C=∠β；第三步两个角的非公共边的交点即为第三个顶点B，顺次连接三点即可得到符合要求的三角形，作图时需注意保留所有作图痕迹，两个角要作在AC的同一侧才能得到有效交点。
【解析】
1. 作线段AC，使AC=c；
2. 以A为顶点，AC为一边，在AC的上方作∠CAB=∠α；
3. 以C为顶点，AC为一边，在AC的同侧作∠ACB=∠β，两角的另一边交于点B，得到的△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求.
【知识点】
作线段等于已知线段，作角等于已知角，ASA作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查基本作图技能的应用，只要熟练掌握作等线段、作等角的基础操作就能顺利完成，作图时需注意保留弧、交点等作图标记，不要随意擦除痕迹。
【难度系数】
0.8
本题是已知两角及夹边作三角形，属于“角边角（ASA）”类型的三角形作图。解题思路可分为三步：第一步先确定夹边，用尺规作线段AC等于已知线段c；第二步分别以A、C为顶点，在AC的同侧作角，使∠A=∠α、∠C=∠β；第三步两个角的非公共边的交点即为第三个顶点B，顺次连接三点即可得到符合要求的三角形，作图时需注意保留所有作图痕迹，两个角要作在AC的同一侧才能得到有效交点。
【解析】
1. 作线段AC，使AC=c；
2. 以A为顶点，AC为一边，在AC的上方作∠CAB=∠α；
3. 以C为顶点，AC为一边，在AC的同侧作∠ACB=∠β，两角的另一边交于点B，得到的△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求.
【知识点】
作线段等于已知线段，作角等于已知角，ASA作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查基本作图技能的应用，只要熟练掌握作等线段、作等角的基础操作就能顺利完成，作图时需注意保留弧、交点等作图标记，不要随意擦除痕迹。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知$△ ABC$，$M$是边$BC$延长线上的一个定点. 请用尺规作图，在边$AC$的延长线上找一点$P$，使$∠ CPM = ∠ B$.(保留作图痕迹，不要求写出作法)
答案
解：如图，点P即为所求.
解析
【分析】
要找到满足∠CPM=∠B的点P，可结合三角形角的关系转化为基本尺规作图：首先AC与BM交于点C，∠ACB与∠PCM是对顶角，二者大小相等；根据三角形内角和定理，若要∠CPM=∠B，只需保证∠CMP=∠A即可。因此我们可以用“作一个角等于已知角”的方法，以点M为顶点、MC为一边作∠CMP=∠A，该角的另一边与AC延长线的交点就是所求的点P。
【解析】
使用尺规作图作一个角等于已知角的操作：
1. 首先以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于两点；
2. 以点M为圆心，相同长度为半径作弧，交MC于一点；
3. 量取步骤1中弧与AB、AC交点的距离，以步骤2中弧与MC的交点为圆心，该距离为半径作弧，两弧交于一点，过M和该交点作射线，射线与AC延长线的交点即为点P，保留作图弧痕即可。
（注：本题只需保留作图痕迹，无需写出作法）
【答案】
如图，点P即为所求.
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的尺规作图应用题，核心是将角相等的要求转化为已学的“作一个角等于已知角”的基本操作，需要熟练掌握基本尺规作图的方法，作图时注意痕迹清晰、符合要求。
【难度系数】
0.7
要找到满足∠CPM=∠B的点P，可结合三角形角的关系转化为基本尺规作图：首先AC与BM交于点C，∠ACB与∠PCM是对顶角，二者大小相等；根据三角形内角和定理，若要∠CPM=∠B，只需保证∠CMP=∠A即可。因此我们可以用“作一个角等于已知角”的方法，以点M为顶点、MC为一边作∠CMP=∠A，该角的另一边与AC延长线的交点就是所求的点P。
【解析】
使用尺规作图作一个角等于已知角的操作：
1. 首先以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于两点；
2. 以点M为圆心，相同长度为半径作弧，交MC于一点；
3. 量取步骤1中弧与AB、AC交点的距离，以步骤2中弧与MC的交点为圆心，该距离为半径作弧，两弧交于一点，过M和该交点作射线，射线与AC延长线的交点即为点P，保留作图弧痕即可。
（注：本题只需保留作图痕迹，无需写出作法）
【答案】
如图，点P即为所求.
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的尺规作图应用题，核心是将角相等的要求转化为已学的“作一个角等于已知角”的基本操作，需要熟练掌握基本尺规作图的方法，作图时注意痕迹清晰、符合要求。
【难度系数】
0.7
8. 小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画出一个与原来完全一样的三角形. 请帮小明想办法用尺规作出来，并说明你的理由. 
答案
解：由题图可知三角形的两角及其夹边是完整的，所以可以利用“角边角”作出完全一样的三角形，如图所示.
解析
【分析】
要画出与原三角形完全一样的三角形，本质是作一个和原三角形全等的三角形。首先观察被污染的三角形，残留部分包含了原三角形一条完整的边，以及这条边两端的两个完整内角，即已知两角及其夹边。根据三角形全等的判定规则，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，因此可借助“角边角（ASA）”的原理，通过尺规作图还原完整三角形。
【解析】
作图步骤：
1. 作线段$DE$，使$DE$等于原三角形完整的底边$BC$；
2. 分别以点$D$、点$E$为顶点，在$DE$的同侧作$∠ EDF=∠ B$，$∠ DEF=∠ C$，两条射线$DF$和$EF$的交点为$F$；
所得$△ DEF$就是和原三角形完全一样的三角形。
理由：在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ EDF \\BC=DE \\∠ C=∠ DEF\end{cases}$
因此$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，即$△ DEF$和原三角形完全相同。
【答案】
解：由题图可知三角形的两角及其夹边是完整的，所以可以利用“角边角”作出完全一样的三角形，如图所示.
【知识点】
ASA全等判定，尺规作三角形，全等三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查全等三角形的应用，需要学生从残留图形中提取已知的边角条件，再选择对应的全等判定方法完成作图，既考查基础知识的掌握程度，也锻炼实践操作能力。
【难度系数】
0.7
要画出与原三角形完全一样的三角形，本质是作一个和原三角形全等的三角形。首先观察被污染的三角形，残留部分包含了原三角形一条完整的边，以及这条边两端的两个完整内角，即已知两角及其夹边。根据三角形全等的判定规则，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，因此可借助“角边角（ASA）”的原理，通过尺规作图还原完整三角形。
【解析】
作图步骤：
1. 作线段$DE$，使$DE$等于原三角形完整的底边$BC$；
2. 分别以点$D$、点$E$为顶点，在$DE$的同侧作$∠ EDF=∠ B$，$∠ DEF=∠ C$，两条射线$DF$和$EF$的交点为$F$；
所得$△ DEF$就是和原三角形完全一样的三角形。
理由：在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ EDF \\BC=DE \\∠ C=∠ DEF\end{cases}$
因此$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，即$△ DEF$和原三角形完全相同。
【答案】
解：由题图可知三角形的两角及其夹边是完整的，所以可以利用“角边角”作出完全一样的三角形，如图所示.
【知识点】
ASA全等判定，尺规作三角形，全等三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查全等三角形的应用，需要学生从残留图形中提取已知的边角条件，再选择对应的全等判定方法完成作图，既考查基础知识的掌握程度，也锻炼实践操作能力。
【难度系数】
0.7
