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四、讨论问题
1. 如果地砖的面积不限制在整数范围内取值，那么应如何选择最优尺寸？
2. 如果墙面上有更多的门、窗，那么如何优化壁纸的用量？
四、讨论问题
1. 如果地砖的面积不限制在整数范围内取值，那么应如何选择最优尺寸？
2. 如果墙面上有更多的门、窗，那么如何优化壁纸的用量？
答案
解：
1. 设待铺设地面的长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖的边长$x$时，优先保证$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$都为正整数，此时无需切割地砖，就可以用整块地砖完全铺满地面。在满足该条件的所有正实数$x$中，选取数值最大的$x$，此时单块地砖面积最大，铺设所需的地砖总块数最少，没有切割废料，总成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量的方法如下：
① 先计算所有待装饰墙面的总面积，再减去全部门、窗的总面积，得到实际需要铺贴壁纸的净面积。
② 结合壁纸的幅宽、墙面的高度，确定单幅壁纸的裁切长度，计算每整卷壁纸可以裁切出的有效壁纸幅数。
③ 将裁切整幅壁纸后剩余的边角料，优先铺贴在门窗侧边、或者被门窗遮挡的墙面区域，充分利用剩余料，避免不必要的整卷壁纸浪费，最终让总壁纸用量尽可能接近实际铺贴净面积，实现用量优化。
1. 设待铺设地面的长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖的边长$x$时，优先保证$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$都为正整数，此时无需切割地砖，就可以用整块地砖完全铺满地面。在满足该条件的所有正实数$x$中，选取数值最大的$x$，此时单块地砖面积最大，铺设所需的地砖总块数最少，没有切割废料，总成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量的方法如下：
① 先计算所有待装饰墙面的总面积，再减去全部门、窗的总面积，得到实际需要铺贴壁纸的净面积。
② 结合壁纸的幅宽、墙面的高度，确定单幅壁纸的裁切长度，计算每整卷壁纸可以裁切出的有效壁纸幅数。
③ 将裁切整幅壁纸后剩余的边角料，优先铺贴在门窗侧边、或者被门窗遮挡的墙面区域，充分利用剩余料，避免不必要的整卷壁纸浪费，最终让总壁纸用量尽可能接近实际铺贴净面积，实现用量优化。
解析
【分析】
对于地砖最优尺寸的选择，核心是让地砖能整块铺满地面，需保证地面长、宽都能被地砖边长整除，在满足条件的正实数中选最大边长，以减少总块数和成本；对于壁纸用量优化，需先确定实际铺贴面积，再结合壁纸规格合理利用边角料，避免浪费。
【解析】
1. 设待铺设地面长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖边长$x$时，需满足$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$均为正整数，此时无需切割地砖即可铺满。在所有满足条件的正实数$x$中取最大值，此时单块地砖面积最大，总块数最少，无切割废料，成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量步骤：①计算所有待装饰墙面总面积，减去全部门窗总面积，得到实际需铺贴的净面积；②结合壁纸幅宽、墙面高度，确定单幅壁纸裁切长度，计算每整卷壁纸可裁切的有效幅数；③将裁切后剩余边角料优先铺贴在门窗侧边或被门窗遮挡的区域，充分利用剩余料，减少整卷浪费，使总用量接近净面积，实现优化。
【答案】
解：
1. 设待铺设地面的长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖的边长$x$时，优先保证$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$都为正整数，此时无需切割地砖，就可以用整块地砖完全铺满地面。在满足该条件的所有正实数$x$中，选取数值最大的$x$，此时单块地砖面积最大，铺设所需的地砖总块数最少，没有切割废料，总成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量的方法如下：
① 先计算所有待装饰墙面的总面积，再减去全部门、窗的总面积，得到实际需要铺贴壁纸的净面积。
② 结合壁纸的幅宽、墙面的高度，确定单幅壁纸的裁切长度，计算每整卷壁纸可以裁切出的有效壁纸幅数。
③ 将裁切整幅壁纸后剩余的边角料，优先铺贴在门窗侧边、或者被门窗遮挡的墙面区域，充分利用剩余料，避免不必要的整卷壁纸浪费，最终让总壁纸用量尽可能接近实际铺贴净面积，实现用量优化。
【知识点】
几何面积计算、生活中的优化问题
【点评】
本题结合装修实际场景，将数学知识与生活应用结合，考察学生运用数学思维解决实际问题的能力，贴近生活，易于理解，能培养学生的应用意识。
【难度系数】
0.6
对于地砖最优尺寸的选择，核心是让地砖能整块铺满地面，需保证地面长、宽都能被地砖边长整除，在满足条件的正实数中选最大边长，以减少总块数和成本；对于壁纸用量优化，需先确定实际铺贴面积，再结合壁纸规格合理利用边角料，避免浪费。
【解析】
1. 设待铺设地面长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖边长$x$时，需满足$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$均为正整数，此时无需切割地砖即可铺满。在所有满足条件的正实数$x$中取最大值，此时单块地砖面积最大，总块数最少，无切割废料，成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量步骤：①计算所有待装饰墙面总面积，减去全部门窗总面积，得到实际需铺贴的净面积；②结合壁纸幅宽、墙面高度，确定单幅壁纸裁切长度，计算每整卷壁纸可裁切的有效幅数；③将裁切后剩余边角料优先铺贴在门窗侧边或被门窗遮挡的区域，充分利用剩余料，减少整卷浪费，使总用量接近净面积，实现优化。
【答案】
解：
1. 设待铺设地面的长为$a$，宽为$b$，选择正方形地砖的边长$x$时，优先保证$\frac{a}{x}$、$\frac{b}{x}$都为正整数，此时无需切割地砖，就可以用整块地砖完全铺满地面。在满足该条件的所有正实数$x$中，选取数值最大的$x$，此时单块地砖面积最大，铺设所需的地砖总块数最少，没有切割废料，总成本最低，即为最优尺寸。
2. 优化壁纸用量的方法如下：
① 先计算所有待装饰墙面的总面积，再减去全部门、窗的总面积，得到实际需要铺贴壁纸的净面积。
② 结合壁纸的幅宽、墙面的高度，确定单幅壁纸的裁切长度，计算每整卷壁纸可以裁切出的有效壁纸幅数。
③ 将裁切整幅壁纸后剩余的边角料，优先铺贴在门窗侧边、或者被门窗遮挡的墙面区域，充分利用剩余料，避免不必要的整卷壁纸浪费，最终让总壁纸用量尽可能接近实际铺贴净面积，实现用量优化。
【知识点】
几何面积计算、生活中的优化问题
【点评】
本题结合装修实际场景，将数学知识与生活应用结合，考察学生运用数学思维解决实际问题的能力，贴近生活，易于理解，能培养学生的应用意识。
【难度系数】
0.6
