15. 设$[a]$表示不超过$a$的最大整数，例如：$[2.3]=2$，$[-4\dfrac{1}{3}]=-5$，$[5]=5$。求：
(1) $[2\dfrac{1}{5}]+[3.6]-[7]$的值；
(2) $[2\dfrac{3}{4}]-[-2.4]+[-6\dfrac{1}{4}]-[-6]$的值。

(1) 原式$=2+3-7=-2$ (2) 原式$=2-(-3)+(-7)-(-6)=2+3-7+6=4$

【分析】
本题属于新定义运算类题目，首先要准确理解取整符号$[a]$的含义：$[a]$表示不超过$a$的最大整数，即对$a$向下取整。解题思路分两步走：第一步先根据取整规则，分别算出每个中括号对应的数值；第二步将得到的数值代入原式，按照有理数加减法的运算法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 先分别计算每个取整项的结果：
$2\dfrac{1}{5}=2.2$，不超过2.2的最大整数是2，因此$[2\dfrac{1}{5}]=2$；
不超过3.6的最大整数是3，因此$[3.6]=3$；
不超过7的最大整数是7，因此$[7]=7$。
代入原式计算：
$[2\dfrac{1}{5}]+[3.6]-[7]=2+3-7=-2$。
(2) 同理计算每个取整项的结果：
$2\dfrac{3}{4}=2.75$，不超过2.75的最大整数是2，因此$[2\dfrac{3}{4}]=2$；
$-2.4$介于$-3$和$-2$之间，不超过$-2.4$的最大整数是$-3$，因此$[-2.4]=-3$；
$-6\dfrac{1}{4}=-6.25$，介于$-7$和$-6$之间，不超过$-6.25$的最大整数是$-7$，因此$[-6\dfrac{1}{4}]=-7$；
不超过$-6$的最大整数是$-6$，因此$[-6]=-6$。
代入原式计算：
$[2\dfrac{3}{4}]-[-2.4]+[-6\dfrac{1}{4}]-[-6]=2-(-3)+(-7)-(-6)=2+3-7+6=4$。
【答案】
(1) $\boxed{-2}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减法
【点评】
本题解题的核心是正确理解向下取整的规则，尤其计算负数的取整结果时，要注意找比原数小的最大整数，避免混淆大小出错，运算时按照有理数加减法则细心计算即可。
【难度系数】
0.8

1. 小明同学在解题时，将式子 $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} + (-\dfrac{2}{3}) - (-\dfrac{3}{5})$ 变成 $[-\dfrac{1}{3} + (-\dfrac{2}{3})] + [\dfrac{2}{5} - (-\dfrac{3}{5})]$ 后再进行计算，该同学运用了 【 】

A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律和结合律
D.乘法分配律

C

【分析】
首先回忆加法交换律和结合律的定义：加法交换律是交换加数的位置和不变，加法结合律是改变运算顺序、将部分加数优先计算和不变。观察式子变形过程：第一步将$\frac{2}{5}$和$(-\frac{2}{3})$的位置交换，把同分母的数放在一起，符合加法交换律的特征；第二步把两组同分母的数分别用括号括起来优先计算，改变了运算顺序，符合加法结合律的特征，因此两种运算律都有运用。
【解析】
首先将原式统一为加法形式：$-\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} + (-\dfrac{2}{3}) + \dfrac{3}{5}$
1. 该同学先交换了$\dfrac{2}{5}$和$(-\dfrac{2}{3})$的位置，得到$-\dfrac{1}{3} + (-\dfrac{2}{3}) + \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}$，此步骤运用了加法交换律；
2. 再将前两个同分母分数、后两个同分母分数分别括起来优先计算，得到$[-\dfrac{1}{3} + (-\dfrac{2}{3})] + [\dfrac{2}{5} - (-\dfrac{3}{5})]$，此步骤运用了加法结合律。
因此该同学同时运用了加法交换律和结合律，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
加法交换律，加法结合律
【点评】
本题考查加法运算律在有理数加减混合运算中的应用，区分两种运算律的核心是：交换律只改变加数的位置，结合律只改变运算的先后顺序，将同分母、可凑整的数结合计算能大幅简化运算步骤。
【难度系数】
0.85

2. 下列各式中，与式子$-a+b-c$相等的是 【 】

A.$-b+a-c$
B.$b-a-c$
C.$a+c-b$
D.$-b+a+c$

B

【分析】
这道题考查有理数加减混合运算中加数位置交换的规则，解题可以从两个方向思考：一是利用加法交换律，明确在只有加减的运算中，交换数的位置时必须连同数前面的符号一起移动，先拆分原式的各个带符号的项，再交换位置和选项对比；二是用特殊值代入法，给a、b、c赋简单的数值，分别计算原式和各选项的结果，结果相等的即为正确答案，两种方法都适合刚学本部分知识的学生使用。
【解析】
方法一：利用加法交换律求解
在有理数加减混合运算中，交换加数的位置时，要连同加数前面的符号一起交换，计算结果不变。
式子$-a+b-c$包含三个带符号的项：$-a$、$+b$、$-c$，交换$-a$和$+b$的位置，可得：
$-a+b-c = b - a - c$，和选项B的表达式一致。
方法二：特殊值代入法
取简单数值，令$a=1$，$b=2$，$c=3$，
先计算原式：$-a+b-c = -1+2-3 = -2$
依次计算各选项：
A选项：$-b+a-c = -2+1-3 = -4 ≠ -2$，不符合；
B选项：$b-a-c = 2-1-3 = -2$，和原式结果相等，符合；
C选项：$a+c-b = 1+3-2 = 2 ≠ -2$，不符合；
D选项：$-b+a+c = -2+1+3 = 2 ≠ -2$，不符合。
【答案】
B
【知识点】
加法交换律；有理数加减混合运算
【点评】
本题是基础运算类题型，易错点是交换加数位置时忘记携带对应符号，牢记“带符号搬家”的规则就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 下列运用了加法结合律的式子是 【 】

A.$45 - 76 = -46 + 75$
B.$63 - 128 - 72 = 63 + (-128 - 72)$
C.$128 - 75 - 45 = 128 - 45 - 75$
D.$a + b + c = b + a + c$

B

【分析】
解题时首先要明确加法结合律的概念：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，其核心特征是不改变各数的位置，仅改变运算的先后顺序。同时要区分加法交换律：交换律是交换两个加数的位置，和不变，核心是改变数的位置。接下来逐一分析每个选项：先判断选项是否符合运算律的要求，再区分是交换律还是结合律，最终选出符合加法结合律的选项。
【解析】
首先明确加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为$\boldsymbol{(a+b)+c=a+(b+c)}$，特征是不改变数的位置，仅改变运算顺序。
对各选项逐一分析：
A. 等号左右两边的数字分别为45、-76和-46、75，数字完全不同，不属于加法运算律，排除；
B. 式子$63-128-72$可变形为$63+(-128)+(-72)$，改写为$63+(-128-72)$的过程中，没有改变各数的位置，仅将后两个数结合优先计算，符合加法结合律的特征；
C. $128-75-45=128-45-75$的变形中，交换了-75和-45的位置，运用的是加法交换律，排除；
D. $a+b+c=b+a+c$的变形中，交换了a和b的位置，运用的是加法交换律，排除。
【答案】
B
【知识点】
加法结合律；加法交换律；有理数加减混合运算
【点评】
本题考查加法运算律的辨识，解题的关键是准确抓住加法交换律和结合律的本质区别：交换律改变数的位置，结合律改变运算的先后顺序，结合加减混合运算的变形规则即可快速判断。
【难度系数】
0.8

4. 计算 $0.54 - \frac{1}{8} + 0.46 - \frac{7}{8}$ 最好的方法是 【 】

A.按顺序进行
B.运用乘法交换律
C.运用加法结合律
D.运用加法交换律和结合律

D

【分析】
拿到这道题首先观察算式的数字特征：包含两个小数0.54、0.46，两个分数$\frac{1}{8}$、$\frac{7}{8}$，两组数分别相加都可以凑成整数，适合用简便方法计算。首先把减法统一为加法，原式可看作$0.54+(-\frac{1}{8})+0.46+(-\frac{7}{8})$，要把能凑整的数放在一起，首先需要交换$-\frac{1}{8}$和0.46的位置，这一步用加法交换律；之后把0.54和0.46结合、两个负分数结合计算，这一步用加法结合律。对比选项：A按顺序计算需要统一数的形式，步骤繁琐；B乘法交换律不适用于只有加减的运算；C仅提加法结合律忽略了交换位置的步骤，不全面；D符合计算用到的两个运算律，因此选D。
【解析】
我们可以用简便方法计算原式：
1. 交换加数位置（应用加法交换律），将同类型的数放在一起：
$0.54 - \frac{1}{8} + 0.46 - \frac{7}{8}=0.54 + 0.46 - \frac{1}{8} - \frac{7}{8}$
2. 分组结合凑整（应用加法结合律）：
$=(0.54 + 0.46) + (-\frac{1}{8} - \frac{7}{8})$
3. 计算得：
$=1 + (-1)=0$
整个过程用到了加法交换律和结合律，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
加法交换律；加法结合律；有理数加减混合运算
【点评】
本题主要考查加减混合运算中运算律的灵活应用，解题核心是观察数字特征，将能凑整的数通过运算律优先结合，大幅简化运算步骤。
【难度系数】
0.85

5. 计算：$-(-2)-(+1)-(-6)+(-8)=$ .

5. -1

【分析】
这是一道有理数加减混合运算题，解题时首先要依据去括号法则把原式中的减法统一转化为加法形式，再利用加法交换律、结合律简化计算，先分别计算所有正数的和、所有负数的和，最后求出最终结果，计算过程中要重点注意符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：根据去括号法则化简原式：
负负得正、正负得负，可得：
$-(-2)=2$，$-(+1)=-1$，$-(-6)=6$，$+(-8)=-8$
因此原式转化为：
$2 - 1 + 6 - 8$
利用加法运算律分组计算：
$=(2+6)+(-1-8)$
$=8 - 9$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
去括号法则，有理数加减混合运算，加法运算律
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考察去括号时的符号判断以及加减混合运算的计算能力，熟练掌握去括号规则和运算律就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8

6. 计算：$(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+\dots+(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100})=$.

6. $\dfrac{99}{100}$

【分析】
观察算式的结构可以发现，每个括号内都是相邻两个自然数的倒数作差，我们可以先利用去括号法则去掉所有括号，再观察各项的特点：除了首项1和末项$-\dfrac{1}{100}$外，中间的每一项都能和后一项互为相反数，利用加法交换律和结合律把互为相反数的项合并抵消，就能快速算出结果，不需要逐项计算。
【解析】
解：先去括号，原式可变形为：
$1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$
观察发现，$-\dfrac{1}{2}$与$+\dfrac{1}{2}$抵消，$-\dfrac{1}{3}$与$+\dfrac{1}{3}$抵消，……，$-\dfrac{1}{99}$与$+\dfrac{1}{99}$抵消，最终仅剩首项和末项：
$=1-\dfrac{1}{100}$
$=\dfrac{99}{100}$
【答案】
$\dfrac{99}{100}$
【知识点】
加减混合运算；加法运算律应用；简便运算
【点评】
本题考查加减混合运算的简便计算技巧，解题的核心是去括号后识别出可相互抵消的中间项，大幅简化计算过程，熟练掌握去括号法则和加法运算律是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8

7. 从－3 中减去 $3\frac{1}{2}$ 与$-2\frac{1}{3}$的和，所得的差是。

7. $-4\dfrac{1}{6}$

【分析】
解题时首先要理清运算顺序：第一步先计算$3\frac{1}{2}$与$-2\frac{1}{3}$的和，第二步再用-3减去这个和得到最终的差。列式时要给两个数的和加上括号保证运算顺序正确，计算过程中注意带分数的通分规则以及有理数加减的符号处理规则。
【解析】
根据题意列出正确算式：
$\begin{aligned}&-3 - [3\frac{1}{2} + (-2\frac{1}{3})]\\=&-3 - (3\frac{1}{2} - 2\frac{1}{3})\\=&-3 - (3\frac{3}{6} - 2\frac{2}{6})\\=&-3 - 1\frac{1}{6}\\=&-4\frac{1}{6}\end{aligned}$
【答案】
$-4\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数加减混合运算，带分数运算，运算顺序
【点评】
本题主要考查对文字描述的运算逻辑的理解能力和有理数加减计算能力，解题时需先明确运算顺序，注意带分数通分的正确性和符号的处理，避免因运算顺序错误或符号失误丢分。
【难度系数】
0.7