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1. 随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60 km/h，动车提速后行驶480 km与提速前行驶360 km所用的时间相同. 设动车提速后的平均速度为x km/h，则可列方程为
$\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$
.答案
1. $\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$
解析
【分析】
解题时首先明确已知量和等量关系：题目给出提速后的速度为x km/h，可先推导出提速前的速度；再根据“时间=路程÷速度”分别表示出提速前行驶360km的时间、提速后行驶480km的时间；最后抓住两个时间相等的核心等量关系列出方程即可。
【解析】
步骤1：表示提速前的平均速度
已知动车提速后的平均速度为x km/h，平均提速60 km/h，因此提速前的平均速度为$(x-60)$ km/h。
步骤2：分别表示两段路程的行驶时间
根据行程公式$时间=路程÷速度$：
提速前行驶360 km的时间为$\frac{360}{x-60}$ h；
提速后行驶480 km的时间为$\frac{480}{x}$ h。
步骤3：根据时间相等列方程
由题意可知两段路程所用时间相同，因此可列方程：$\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$。
【答案】
$\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题核心是找准题目给出的等量关系，准确表示出相关未知量后结合基本公式列等式即可，熟练掌握这类基础应用题的解题逻辑，能为后续解决更复杂的实际问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知量和等量关系：题目给出提速后的速度为x km/h，可先推导出提速前的速度；再根据“时间=路程÷速度”分别表示出提速前行驶360km的时间、提速后行驶480km的时间；最后抓住两个时间相等的核心等量关系列出方程即可。
【解析】
步骤1：表示提速前的平均速度
已知动车提速后的平均速度为x km/h，平均提速60 km/h，因此提速前的平均速度为$(x-60)$ km/h。
步骤2：分别表示两段路程的行驶时间
根据行程公式$时间=路程÷速度$：
提速前行驶360 km的时间为$\frac{360}{x-60}$ h；
提速后行驶480 km的时间为$\frac{480}{x}$ h。
步骤3：根据时间相等列方程
由题意可知两段路程所用时间相同，因此可列方程：$\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$。
【答案】
$\frac{360}{x - 60} = \frac{480}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用题，解题核心是找准题目给出的等量关系，准确表示出相关未知量后结合基本公式列等式即可，熟练掌握这类基础应用题的解题逻辑，能为后续解决更复杂的实际问题打好基础。
【难度系数】
0.8
2. 已知A,B两地相距40 km,一艘轮船从A地顺流航行至B地比从B地逆流航行至A地少用2 h,水流速度为5 km/h.设该轮船在静水中的航行速度为x km/h,则可列方程为
$\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
.答案
2. $\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
解析
【分析】
解决这道题需结合流水行船的特点与行程问题的基本公式推导方程，思路如下：1. 先明确流水行船中顺流、逆流速度的计算规则；2. 依据“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流从A到B、逆流从B到A的航行时间；3. 抓住“顺流航行比逆流航行少用2h”的等量关系，即逆流航行时间减去顺流航行时间等于2h，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
解：首先推导两种航行状态的速度与时间：
1. 顺流航行速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(x+5)$ km/h，
因此轮船从A地顺流航行到B地的时间为 $\frac{40}{x+5}$ h；
2. 逆流航行速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(x-5)$ km/h，
因此轮船从B地逆流航行到A地的时间为 $\frac{40}{x-5}$ h；
根据“顺流比逆流少用2h”的条件，可得等量关系：逆流时间 - 顺流时间 = 2h，代入上述时间表达式得方程：
$\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
【答案】
$\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
【知识点】
1. 行程问题公式 2. 顺逆流速度关系 3. 分式方程应用
【点评】
本题是流水行船类的基础典型题，解题核心是准确掌握顺流、逆流速度的计算方式，找准时间差对应的等量关系，列方程时需注意不要混淆顺流和逆流的时间顺序。
【难度系数】
0.7
解决这道题需结合流水行船的特点与行程问题的基本公式推导方程，思路如下：1. 先明确流水行船中顺流、逆流速度的计算规则；2. 依据“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流从A到B、逆流从B到A的航行时间；3. 抓住“顺流航行比逆流航行少用2h”的等量关系，即逆流航行时间减去顺流航行时间等于2h，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
解：首先推导两种航行状态的速度与时间：
1. 顺流航行速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(x+5)$ km/h，
因此轮船从A地顺流航行到B地的时间为 $\frac{40}{x+5}$ h；
2. 逆流航行速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(x-5)$ km/h，
因此轮船从B地逆流航行到A地的时间为 $\frac{40}{x-5}$ h；
根据“顺流比逆流少用2h”的条件，可得等量关系：逆流时间 - 顺流时间 = 2h，代入上述时间表达式得方程：
$\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
【答案】
$\frac{40}{x - 5} - \frac{40}{x + 5} = 2$
【知识点】
1. 行程问题公式 2. 顺逆流速度关系 3. 分式方程应用
【点评】
本题是流水行船类的基础典型题，解题核心是准确掌握顺流、逆流速度的计算方式，找准时间差对应的等量关系，列方程时需注意不要混淆顺流和逆流的时间顺序。
【难度系数】
0.7
3.（情境创设）明明与妹妹周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈的路程约为2.5 km.
明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4 min，则妹妹跑步的速度为
明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4 min，则妹妹跑步的速度为
6.25
km/h.答案
3. 6.25
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系推导等量关系。首先明确已知条件：环湖绿道一圈路程为2.5km，明明速度是妹妹的1.2倍，跑完全程明明比妹妹少用4min。第一步先统一单位，将分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误；第二步设妹妹的速度为未知数，分别表示出明明和妹妹跑一圈的用时；第三步根据“妹妹跑一圈的用时 - 明明跑一圈的用时 = 换算为小时的4分钟”列方程求解，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
首先统一单位：$4\mathrm{min}=\frac{4}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{15}\mathrm{h}$。
设妹妹跑步的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则明明跑步的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$。
根据两人的时间差列方程得：
$\frac{2.5}{x} - \frac{2.5}{1.2x} = \frac{1}{15}$
方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$2.5×1.2 - 2.5 = \frac{1}{15}×1.2x$
计算得：$0.5 = 0.08x$
解得：$x = 6.25$
检验：当$x=6.25$时，$1.2x≠0$，且速度为正数符合实际场景，因此$x=6.25$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
6.25
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题结合日常跑步的生活场景出题，解题关键是找准时间差的等量关系，需要特别注意时间单位的统一，求解分式方程后要记得检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系推导等量关系。首先明确已知条件：环湖绿道一圈路程为2.5km，明明速度是妹妹的1.2倍，跑完全程明明比妹妹少用4min。第一步先统一单位，将分钟换算为小时，避免单位不统一导致计算错误；第二步设妹妹的速度为未知数，分别表示出明明和妹妹跑一圈的用时；第三步根据“妹妹跑一圈的用时 - 明明跑一圈的用时 = 换算为小时的4分钟”列方程求解，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
首先统一单位：$4\mathrm{min}=\frac{4}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{15}\mathrm{h}$。
设妹妹跑步的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则明明跑步的速度为$1.2x\ \mathrm{km/h}$。
根据两人的时间差列方程得：
$\frac{2.5}{x} - \frac{2.5}{1.2x} = \frac{1}{15}$
方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$2.5×1.2 - 2.5 = \frac{1}{15}×1.2x$
计算得：$0.5 = 0.08x$
解得：$x = 6.25$
检验：当$x=6.25$时，$1.2x≠0$，且速度为正数符合实际场景，因此$x=6.25$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
6.25
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题结合日常跑步的生活场景出题，解题关键是找准时间差的等量关系，需要特别注意时间单位的统一，求解分式方程后要记得检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
4. 某校为庆祝3.14国际数学日举办了“π跑”活动，老师和学生一同参与跑步，活动规定每人需跑完两圈(共480米). 活动开始后，小明和王老师同时从起点出发，小明每秒比王老师多跑1米，当小明跑完全程时，王老师距离终点还有120米，求王老师的跑步速度.
答案
4. 解:设王老师的跑步速度为x米/秒,则小明的跑步速度为(x+1)米/秒.
由题意,得$\frac{480}{x+1} = \frac{480 - 120}{x}$. 解得x=3.
经检验,x=3是原分式方程的解,且符合题意.
答:王老师的跑步速度为3米/秒.
由题意,得$\frac{480}{x+1} = \frac{480 - 120}{x}$. 解得x=3.
经检验,x=3是原分式方程的解,且符合题意.
答:王老师的跑步速度为3米/秒.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心围绕行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$展开。首先读题挖掘隐含等量关系：小明和王老师同时从起点出发，当小明跑完全程时，两人的运动时间完全相等。我们可以设王老师的跑步速度为$x$米/秒，那么小明的速度为$(x+1)$米/秒，再用“$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$”分别表示两人的运动时间，根据时间相等列方程求解即可，注意分式方程求解后必须检验解的合理性。
【解析】
解：设王老师的跑步速度为$x$米/秒，则小明的跑步速度为$(x+1)$米/秒。
由题意，小明跑480米的时间与王老师跑$(480-120)$米的时间相等，可列方程：
$\frac{480}{x+1} = \frac{480 - 120}{x}$
化简得：$\frac{480}{x+1} = \frac{360}{x}$
交叉相乘得：$480x = 360(x+1)$
去括号得：$480x = 360x + 360$
移项合并同类项得：$120x = 360$
解得：$x=3$
经检验，$x=3$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际跑步速度的取值要求。
答：王老师的跑步速度为3米/秒。
【答案】
王老师的跑步速度为3米/秒
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际行程场景中的基础应用，解题关键是准确抓住“两人运动时间相等”的隐含等量关系，求解后要注意对分式方程的解做双重检验，既要验证是否为方程增根，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题核心围绕行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$展开。首先读题挖掘隐含等量关系：小明和王老师同时从起点出发，当小明跑完全程时，两人的运动时间完全相等。我们可以设王老师的跑步速度为$x$米/秒，那么小明的速度为$(x+1)$米/秒，再用“$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$”分别表示两人的运动时间，根据时间相等列方程求解即可，注意分式方程求解后必须检验解的合理性。
【解析】
解：设王老师的跑步速度为$x$米/秒，则小明的跑步速度为$(x+1)$米/秒。
由题意，小明跑480米的时间与王老师跑$(480-120)$米的时间相等，可列方程：
$\frac{480}{x+1} = \frac{480 - 120}{x}$
化简得：$\frac{480}{x+1} = \frac{360}{x}$
交叉相乘得：$480x = 360(x+1)$
去括号得：$480x = 360x + 360$
移项合并同类项得：$120x = 360$
解得：$x=3$
经检验，$x=3$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际跑步速度的取值要求。
答：王老师的跑步速度为3米/秒。
【答案】
王老师的跑步速度为3米/秒
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程在实际行程场景中的基础应用，解题关键是准确抓住“两人运动时间相等”的隐含等量关系，求解后要注意对分式方程的解做双重检验，既要验证是否为方程增根，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
5.（人教八上$\mathrm{P}_{169}$习题$\mathrm{T}_{3}$改编）甲乙两人一同参加4000米的跑步训练，两人同时出发，甲、乙的速度比是4:5，结果乙比甲提前5分钟跑完，求甲、乙的速度.
答案
5. 解:设甲的速度为4x米/分,则乙的速度为5x米/分.
根据题意,得$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x} = 5$. 解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 4x=160,5x=200$.
答:甲的速度为160米/分,乙的速度为200米/分.
根据题意,得$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x} = 5$. 解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
$\therefore 4x=160,5x=200$.
答:甲的速度为160米/分,乙的速度为200米/分.
解析
【分析】
本题是行程类分式方程应用题，解题可按以下思路展开：首先结合已知的甲乙速度比4:5设未知数，将甲的速度设为4x米/分、乙的速度设为5x米/分，能避免出现分数，简化后续计算；再根据行程问题核心公式“时间=路程÷速度”，分别表示出甲、乙跑完全程的时间；最后根据“乙比甲提前5分钟跑完”的条件，确定等量关系为“甲的用时-乙的用时=5分钟”，据此列分式方程，求解后先检验解是否符合分式方程要求及实际意义，再计算得到甲、乙的实际速度即可。
【解析】
解：设甲的速度为4x米/分，则乙的速度为5x米/分。
根据题意，列方程得：
$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x} = 5$
去分母，两边同乘最简公分母20x得：
$4000×5 - 4000×4 = 5×20x$
整理得：$20000 - 16000 = 100x$
即$100x=4000$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际题意。
因此甲的速度为$4x=4×40=160$（米/分），乙的速度为$5x=5×40=200$（米/分）。
答：甲的速度为160米/分，乙的速度为200米/分。
【答案】
甲的速度为160米/分，乙的速度为200米/分。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.行程问题基本关系
【点评】
本题是常规的分式方程应用题型，解题关键是准确抓住时间差的等量关系，利用速度比设未知数的技巧能大幅降低计算复杂度，要注意解完分式方程必须进行双检验，既要验证解是原方程的根，也要确认解符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
本题是行程类分式方程应用题，解题可按以下思路展开：首先结合已知的甲乙速度比4:5设未知数，将甲的速度设为4x米/分、乙的速度设为5x米/分，能避免出现分数，简化后续计算；再根据行程问题核心公式“时间=路程÷速度”，分别表示出甲、乙跑完全程的时间；最后根据“乙比甲提前5分钟跑完”的条件，确定等量关系为“甲的用时-乙的用时=5分钟”，据此列分式方程，求解后先检验解是否符合分式方程要求及实际意义，再计算得到甲、乙的实际速度即可。
【解析】
解：设甲的速度为4x米/分，则乙的速度为5x米/分。
根据题意，列方程得：
$\frac{4000}{4x} - \frac{4000}{5x} = 5$
去分母，两边同乘最简公分母20x得：
$4000×5 - 4000×4 = 5×20x$
整理得：$20000 - 16000 = 100x$
即$100x=4000$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际题意。
因此甲的速度为$4x=4×40=160$（米/分），乙的速度为$5x=5×40=200$（米/分）。
答：甲的速度为160米/分，乙的速度为200米/分。
【答案】
甲的速度为160米/分，乙的速度为200米/分。
【知识点】
1.分式方程的应用
2.行程问题基本关系
【点评】
本题是常规的分式方程应用题型，解题关键是准确抓住时间差的等量关系，利用速度比设未知数的技巧能大幅降低计算复杂度，要注意解完分式方程必须进行双检验，既要验证解是原方程的根，也要确认解符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
6. 小刚家到学校的距离是1 800米. 某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
(1)求小刚跑步的平均速度;
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?并说明理由.
(1)求小刚跑步的平均速度;
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?并说明理由.
答案
6. 解:(1)设小刚跑步的平均速度为x米/分.
根据题意,得$\frac{1800}{1.6x} + 4.5 = \frac{1800}{x}$. 解得x=150.
经检验,x=150是原分式方程的解,且符合题意.
答:小刚跑步的平均速度为150米/分.
(2)不能. 理由如下:
由(1),得小刚跑步的平均速度为150米/分.
$\therefore$ 小刚跑步所用时间为1 800 ÷ 150 = 12(分),
骑自行车所用时间为12 - 4.5 = 7.5(分).
$\because$ 在家取作业本和取自行车共用了3分钟,
$\therefore$ 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12 + 7.5 + 3 = 22.5(分).
$\because 22.5 ＞ 20$,$\therefore$ 小刚不能在上课前赶回学校.
根据题意,得$\frac{1800}{1.6x} + 4.5 = \frac{1800}{x}$. 解得x=150.
经检验,x=150是原分式方程的解,且符合题意.
答:小刚跑步的平均速度为150米/分.
(2)不能. 理由如下:
由(1),得小刚跑步的平均速度为150米/分.
$\therefore$ 小刚跑步所用时间为1 800 ÷ 150 = 12(分),
骑自行车所用时间为12 - 4.5 = 7.5(分).
$\because$ 在家取作业本和取自行车共用了3分钟,
$\therefore$ 小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12 + 7.5 + 3 = 22.5(分).
$\because 22.5 ＞ 20$,$\therefore$ 小刚不能在上课前赶回学校.
解析
【分析】
(1) 本题属于行程类分式方程应用题，已知往返路程均为1800米，骑自行车的平均速度是跑步平均速度的1.6倍，且跑步时间比骑车时间多4.5分钟。我们可以设跑步的平均速度为x米/分，那么骑车的平均速度为1.6x米/分，根据“时间=路程÷速度”分别表示出跑步、骑车的用时，再利用“跑步用时-骑车用时=4.5分钟”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验是否符合题意。
(2) 要判断能否在上课前赶回学校，只需计算跑步回家用时、骑车回校用时、在家取物品用时的总和，再和离上课的20分钟比较，若总用时大于20分钟则赶不上，反之则能赶上。
【解析】
(1) 设小刚跑步的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为1.6x米/分。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{1800}{1.6x} = 4.5$，即$\frac{1800}{1.6x} + 4.5 = \frac{1800}{x}$
去分母得：$1800 + 4.5×1.6x = 1800×1.6$
整理得：$7.2x = 1080$
解得：$x=150$
检验：当$x=150$时，$1.6x=240≠0$，所以$x=150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 理由如下：
由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分，
跑步回家用时：$1800÷150=12$（分）
骑自行车回校用时：$12 - 4.5=7.5$（分）
总耗时：$12 + 7.5 + 3=22.5$（分）
因为$22.5＞20$，所以小刚不能在上课前赶回学校。
【答案】
(1) 小刚跑步的平均速度为150米/分；
(2) 不能在上课前赶回学校。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题计算；分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题核心是找准速度、时间、路程的对应关系，挖掘题干等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义，第二问结合实际场景计算总耗时比较即可，属于常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于行程类分式方程应用题，已知往返路程均为1800米，骑自行车的平均速度是跑步平均速度的1.6倍，且跑步时间比骑车时间多4.5分钟。我们可以设跑步的平均速度为x米/分，那么骑车的平均速度为1.6x米/分，根据“时间=路程÷速度”分别表示出跑步、骑车的用时，再利用“跑步用时-骑车用时=4.5分钟”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验是否符合题意。
(2) 要判断能否在上课前赶回学校，只需计算跑步回家用时、骑车回校用时、在家取物品用时的总和，再和离上课的20分钟比较，若总用时大于20分钟则赶不上，反之则能赶上。
【解析】
(1) 设小刚跑步的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为1.6x米/分。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{1800}{1.6x} = 4.5$，即$\frac{1800}{1.6x} + 4.5 = \frac{1800}{x}$
去分母得：$1800 + 4.5×1.6x = 1800×1.6$
整理得：$7.2x = 1080$
解得：$x=150$
检验：当$x=150$时，$1.6x=240≠0$，所以$x=150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 理由如下：
由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分，
跑步回家用时：$1800÷150=12$（分）
骑自行车回校用时：$12 - 4.5=7.5$（分）
总耗时：$12 + 7.5 + 3=22.5$（分）
因为$22.5＞20$，所以小刚不能在上课前赶回学校。
【答案】
(1) 小刚跑步的平均速度为150米/分；
(2) 不能在上课前赶回学校。
【知识点】
分式方程的应用；行程问题计算；分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题核心是找准速度、时间、路程的对应关系，挖掘题干等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义，第二问结合实际场景计算总耗时比较即可，属于常规应用题型。
【难度系数】
0.7
