3. 已知水平放置的半径为6 cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为$270π$ cm². 如图是该球体的一个最大纵截面图，则该截面$\odot O$中阴影部分的弧长为()

A.$2π$ cm
B.$4π$ cm
C.$6π$ cm
D.$8π$ cm

3. B

【分析】
要求阴影部分的弧长，已知纵截面圆半径为6 cm，核心是先求出阴影弧对应的圆心角，解题思路如下：①先根据液面面积求出液面所在小圆的半径，也就是纵截面中液面弦长的一半；②结合垂径定理，利用勾股定理求出圆心到液面弦的距离；③根据三角函数求出弦对应的圆心角；④代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，纵截面$\odot O$的半径$R=6\ \mathrm{cm}$。
设液面所在小圆的半径为$r$，由题可知液面面积为$27π\ \mathrm{cm}^2$，根据圆的面积公式：
$π r^2=27π$，解得$r=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，即纵截面中液面弦长的一半为$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
设圆心$O$到液面弦的距离为$d$，根据垂径定理可得$d^2 + r^2 = R^2$，代入数值：
$d^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2$，即$d^2 +27=36$，解得$d=3\ \mathrm{cm}$（距离为正，舍去负解）。
设阴影部分弧所对的圆心角为$n°$，在由半径、弦心距组成的直角三角形中，$\cos\frac{n°}{2}=\frac{d}{R}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{n°}{2}=60°$，得$n=120$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，将$n=120$、$R=6$代入得：
$l=\frac{120×π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合实际容器情境考查几何计算，解题关键是将立体容器的条件转化为纵截面中圆的相关条件，需要学生具备一定的空间转换能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6

4.如图,若$\odot O$的半径为$9\sqrt{3}$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠ APC = 60°$,$∠ BCP = 40°$,则$\overset{\frown}{PA}$的长为.

4. $4\sqrt{3}π$

【分析】
本题需要结合圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及弧长公式求解。首先根据同弧所对的圆周角相等，结合弧AB=弧AC可推出△ABC为等边三角形，得到圆上三段等弧的度数均为120°；再根据圆周角与所对弧的度数关系求出弧PA的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=AC$，
$\because ∠APC$和$∠ABC$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ABC=∠APC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=120°$，
$\because ∠BCP=40°$，其对应$\overset{\frown}{BP}$，可得$\overset{\frown}{BP}$的度数为$40°$，
$\therefore \overset{\frown}{PA}$的度数为$120°-40°=80°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=80$，$r=9\sqrt{3}$：
$\overset{\frown}{PA}$的长为$\frac{80π×9\sqrt{3}}{180}=4\sqrt{3}π$。
【答案】
$4\sqrt{3}π$
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是正确利用圆周角定理推导弧的度数，再结合弧长公式计算，需要注意区分圆周角和对应弧的度数关系，避免计算时混淆圆心角和圆周角。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°, AC = BC = 4.$ 以 $BC$ 为直径作半圆，交 $AB$ 于点 $D$，则阴影部分的面积是.

5. 4

【分析】
本题为不规则阴影面积计算问题，可通过割补法转化为规则图形面积求解。首先观察图形特征：BC是半圆的直径，连接CD后根据圆周角定理可得∠CDB=90°，即CD⊥AB；结合Rt△ABC是AC=BC的等腰直角三角形，可推出CD是AB边上的中线，△BCD也为等腰直角三角形，且弧BD、弧CD对应的弓形面积相等，因此阴影面积可转化为△ACD的面积计算，无需计算含π的部分，简化运算。
【解析】
解：连接CD，
∵ BC是半圆的直径，
∴ $∠ CDB=90°$，即$CD⊥ AB$，
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=4$，
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×4=8$，
∵ $CD⊥ AB$，$△ ABC$为等腰直角三角形，
∴ CD是AB边上的中线，$AD=BD$，
∴ $S_{△ ACD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=4$，
又
∵ $∠ B=∠ BCD=45°$，弧BD与弧CD对应的弓形面积相等，通过割补抵消弓形部分的面积，可得阴影部分面积等于$S_{△ ACD}$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题重点考查转化思想在几何面积计算中的应用，解题关键是通过添加辅助线CD，结合等腰直角三角形和圆周角的性质，将不规则阴影面积转化为易求的三角形面积，避开了复杂的扇形面积计算。
【难度系数】
0.6

1. 圆心角为$120°$,弧长为$12π$的扇形的半径为()

A.6
B.9
C.18
D.36

1. C

【分析】
本题已知扇形的圆心角和弧长，要求扇形半径，解题核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长与圆心角、半径的对应关系公式，再将已知的圆心角度数、弧长代入公式，即可得到关于半径r的一元一次方程，求解方程就能得出半径的数值。
【解析】
设该扇形的半径为$r$，已知圆心角$n=120°$，弧长$l=12π$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入已知数值可得：
$12π=\frac{120π r}{180}$
两边同时约去$π$，化简右侧分数得：
$12=\frac{2r}{3}$
解得$r=18$。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长公式 2.一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的识记与应用，只要准确记忆弧长公式，代入数值正确计算即可得分，是扇形相关计算中的常规基础题。
【难度系数】
0.85

2.如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到点A'的位置,则图中阴影部分的面积为()

A.π
B.2π
C.$\frac{π}{2}$
D.4π

2. B

【分析】
本题阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，可借助割补法结合旋转的性质求解：首先根据旋转的性质可知旋转前后两个半圆的面积相等，因此阴影部分的面积可转化为圆心角为45°、半径为4的扇形ABA'的面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得：半圆AB与半圆A'B的面积相等，∠ABA'=45°，AB=A'B=4。
观察图形可知：
$S_{阴影}=S_{扇形ABA'} + S_{半圆A'B} - S_{半圆AB}$
∵$S_{半圆A'B}=S_{半圆AB}$，二者相互抵消
∴$S_{阴影}=S_{扇形ABA'}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=45，r=4得：
$S_{扇形ABA'}=\frac{45π×4^2}{360}=\frac{45π×16}{360}=2π$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题核心是利用旋转的性质实现不规则面积到规则扇形面积的转化，降低计算难度。
【难度系数】
0.7

3. 如图,将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形,则$ S_{扇形} = $ $ cm^2 $.

3. 4

【分析】
要计算扇形面积，首先明确已知条件：长8cm的铁丝围成扇形，即扇形的周长为8cm，扇形半径为2cm。首先回忆扇形周长的构成：扇形周长=2条半径长度+弧长，因此可以先通过周长减去2条半径的长度求出弧长，再利用扇形面积的弧长公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）计算面积即可。
【解析】
解：由题意可知，扇形的周长为8cm，半径$r=2cm$。
先计算扇形的弧长$l$：
扇形周长$=2r + l$，因此$l = 8 - 2r = 8 - 2×2 = 4cm$
再代入扇形面积公式计算：
$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×4×2=4cm²$
【答案】
4
【知识点】
扇形周长计算、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题考查扇形相关的计算，解题的核心是明确铁丝总长度对应扇形的周长，理清扇形周长的组成部分，熟练运用扇形面积公式即可快速求解，是对基础公式应用的考查。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在单位长度为1的正方形网格中,△ABC绕点A逆时针旋转后与△ADE完全重合,则在旋转过程中,线段AC扫过的部分面积是()

A.π
B.2π
C.$\frac{1}{2}π$
D.4π

4. A

【分析】
要解决本题，首先明确旋转过程中线段AC扫过的图形是圆心为旋转中心A、半径为AC长度、圆心角等于旋转角的扇形，解题步骤如下：1. 依据旋转的性质确定旋转角的度数；2. 结合网格用勾股定理求出AC的长度；3. 代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由旋转的性质可知，旋转角等于一组对应边的夹角，观察图形可得旋转角为45°。
根据勾股定理，网格中AC的长度为：
$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此$AC^2=(2\sqrt{2})^2=8$。
线段AC扫过的部分为扇形，代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）得：
$S=\frac{45×π×8}{360}=π$
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了旋转相关性质和扇形面积的计算，解题的关键是准确判断线段旋转扫过的图形，正确找到旋转角和扇形的半径。
【难度系数】
0.7

5.如图，AB是$\odot O$的直径，点D为$\odot O$上一点，且$∠ ABD = 30°$，$BO = 4$，则$\overset{\frown}{BD}$的长度为()


A.$\frac{2}{3}π$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$2π$
D.$\frac{8}{3}π$

5. D

【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BD}$的长度，需先明确弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆的半径），因此我们需要先求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角的度数。首先由$BO=4$可直接得到圆的半径为4；接着连接辅助线$OD$，利用同圆的半径相等可得$OB=OD$，即$△ OBD$为等腰三角形，结合已知$∠ ABD=30°$就能求出圆心角$∠ BOD$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$OD$。
∵ $OB、OD$都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OD$，
∴ $∠ ODB=∠ ABD=30°$。
在$△ OBD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOD=180°-∠ ABD-∠ ODB=180°-30°-30°=120°$。
已知$\odot O$的半径$r=BO=4$，代入弧长公式：
$\overset{\frown}{BD}$的长度$=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×4}{180}=\frac{8}{3}π$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长的计算；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，解题核心是通过作辅助线构造等腰三角形，求出弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握基础公式和圆的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6. 如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C.已知AB = 10,求圆环的面积.

25 π

【分析】
要求圆环的面积，需先明确圆环面积公式为$S_{圆环}=π R^2 - π r^2$（$R$为大圆半径，$r$为小圆半径），因此只需计算$R^2 - r^2$的值即可，无需单独求$R$和$r$。首先连接$OA$、$OC$，根据切线的性质可得$OC⊥ AB$，再结合垂径定理可求出$AC$的长度，最后在$Rt△ OAC$中利用勾股定理即可得到$R^2 - r^2$的值，代入公式就能求出圆环面积。
【解析】
连接$OA$、$OC$，
∵ 弦$AB$与小圆相切于点$C$，
∴ $OC⊥ AB$（圆的切线垂直于过切点的半径），
又
∵ $OC$过圆心$O$，$OC⊥ AB$，
∴ 根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2 - OC^2 = AC^2 = 5^2=25$，
∴ 圆环的面积$S = S_{大圆} - S_{小圆} = π· OA^2 - π· OC^2 = π(OA^2 - OC^2) = 25π$。
【答案】
$25π$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的综合应用，解题核心是运用整体代入的思想，不需要单独求解大小圆的半径，通过构造直角三角形得到半径平方差即可快速计算结果，对辅助线的构造能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7