1.【教材 P22 复习题 T8 改编】 一材多题
已知$△ ABC$.
(1)如图①,在$△ ABC$中,$BE$平分$∠ ABC$,$CE$平分$∠ ACB$,若$∠ A=82°$,则$∠ BEC$的度数为;
(2)如图②,在$△ ABC$中,$BD$,$BE$三等分$∠ ABC$,$CD$,$CE$三等分$∠ ACB$,若$∠ A=α°$,求$∠ BEC$的度数(用含$α$的式子表示).

1. (1) 131° (2)
∵BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,
∴∠EBC=$\frac{2}{3}$∠ABC,∠ECB=$\frac{2}{3}$∠ACB,
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$(∠ABC+∠ACB).
∵∠A=α°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−α°.
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{2}{3}$(180°−α°).
∴∠BEC=180°−$\frac{2}{3}$(180°−α°)=60°+$\frac{2}{3}$α°.

【分析】
(1) 要求∠BEC的度数，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的和，再结合角平分线的定义，得到∠EBC+∠ECB是∠ABC+∠ACB和的一半，最后在△BEC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BEC。
(2) 解题思路和(1)一致，仅角的等分比例变为三等分，可知∠EBC+∠ECB是∠ABC+∠ACB和的$\frac{2}{3}$，将∠A=α°代入推导化简即可得到∠BEC的表达式。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=82°，根据三角形内角和定理得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 82° = 98°$
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×98° = 49°$
在△BEC中，$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - 49° = 131°$
(2)
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB
∴$∠ EBC=\frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{2}{3}∠ ACB$
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{2}{3}(∠ ABC+∠ ACB)$
∵∠A=α°
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-α°$
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{2}{3}(180°-α°)$
∴$∠ BEC=180°-\frac{2}{3}(180°-α°)=60°+\frac{2}{3}α°$
【答案】
(1) $\boxed{131°}$；(2) $\boxed{60°+\dfrac{2}{3}α°}$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、角度运算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型模型题，解题核心是抓住三角形内角和为180°的性质，结合角的等分关系，将所求角与已知角建立关联，掌握该解题思路可快速解决同类型的角等分求角度问题。
【难度系数】
0.7

2.【问题背景】小明在学习中遇到这样一个问题:如图1，$∠ MON=90°$，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)。
【探究发现】若BC是$∠ ABN$的平分线，BC的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点D.

(1)①若$∠ BAO=70°$,则$∠ D=$;
②猜想:$∠ D$的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由.
(2)在图1的基础上，如果$∠ MON=α°$,其余条件不变，随着点A，B的运动(如图2)，$∠ D=$(用含$α$的代数式表示).

2. (1) ① 45° ② 不变化，理由如下：
∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO,∠CBA=$\frac{1}{2}$∠NBA.
∵∠D+∠BAD=∠CBA,
∴∠D=∠CBA−∠BAD=$\frac{1}{2}$∠NBA−$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$(∠NBA−∠BAO)=$\frac{1}{2}$∠MON.
∵∠MON=90°,
∴∠D=45°.
∴∠D的度数不发生变化. (2) $\frac{1}{2}α°$

【分析】
本题考查三角形外角性质与角平分线定义的综合应用，解题思路如下：
1. 对于(1)①：先结合已知角度求出∠ABN的度数，再根据角平分线定义分别求出∠BAD和∠CBA的度数，最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质计算∠D的度数。
2. 对于(1)②：将具体角度替换为通用角，通过角平分线定义把∠CBA和∠BAD分别表示为∠NBA、∠BAO的一半，再结合∠NBA是△AOB的外角，推导得出∠D与∠MON的固定关系，即可判断其是否随点的运动变化。
3. 对于(2)：将(1)②推导中的∠MON=90°替换为∠MON=α°，直接代入即可得到∠D的表达式。
【解析】
(1)① 已知∠MON=90°，∠BAO=70°，
在△AOB中，∠ABO=180°-∠MON-∠BAO=180°-90°-70°=20°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=180°-20°=160°。
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$×70°=35°，∠CBA=$\frac{1}{2}$∠ABN=$\frac{1}{2}$×160°=80°。
∵∠CBA是△ABD的外角，
∴∠CBA=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=80°-35°=45°。
② ∠D的度数不随A、B的运动发生变化，理由如下：
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠CBA=$\frac{1}{2}$∠NBA。
∵∠CBA是△ABD的外角，
∴∠D+∠BAD=∠CBA，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=$\frac{1}{2}$∠NBA-$\frac{1}{2}$∠BAO=$\frac{1}{2}$(∠NBA-∠BAO)。
又
∵∠NBA是△AOB的外角，
∴∠NBA=∠MON+∠BAO，即∠NBA-∠BAO=∠MON=90°，
∴∠D=$\frac{1}{2}$×90°=45°，为定值，不随A、B运动变化。
(2) 由(1)②的推导可知，∠D=$\frac{1}{2}$∠MON，
∵∠MON=α°，
∴∠D=$\frac{1}{2}α°$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{45°}$；②$\boldsymbol{∠D}$的度数不发生变化，理由见解析；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}α°}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线的经典模型题，解题核心是利用三角形外角的性质建立不同角之间的数量关系，通过推导可得出“内角平分线与外角平分线的夹角等于第三个内角的一半”的结论，掌握该模型可快速解决同类定角问题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P.已知∠BOC=120°，则∠P=（）

A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$

3. A

【分析】
解题时可按两步思考：第一步，先利用三角形内角平分线的夹角与三角形第三个内角的关系，结合已知的∠BOC度数求出∠A的度数；第二步，再利用三角形外角平分线的夹角与三角形第三个内角的关系，代入∠A的度数即可求出∠P的数值。如果没有记住模型结论，也可以结合角平分线定义、三角形内角和定理、外角性质逐步推导。
【解析】
1. 推导∠BOC与∠A的关系：
∵BO、CO分别是△ABC的内角平分线
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$
代入得：$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ BOC=120°$，代入得$120°=90°+\frac{1}{2}∠ A$，解得$\frac{1}{2}∠ A=30°$
2. 推导∠P与∠A的关系：
∵BP、CP分别是△ABC的外角平分线
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ DBC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ECB$
∵∠DBC、∠ECB是△ABC的外角，
∴$∠ DBC=∠ A+∠ ACB$，$∠ ECB=∠ A+∠ ABC$
两式相加得：$∠ DBC+∠ ECB=2∠ A+∠ ABC+∠ ACB=2∠ A+180°-∠ A=180°+∠ A$
在△PBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ P=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ DBC+∠ ECB)$
代入$∠ DBC+∠ ECB=180°+∠ A$得：
$∠ P=180°-\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$
将$\frac{1}{2}∠ A=30°$代入得：$∠ P=90°-30°=60°$
【答案】
A
【知识点】
三角形角平分线性质、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题是三角形内、外角平分线夹角模型的典型考题，掌握该类模型的结论可以大幅提升解题效率，学习几何时要注意归纳常见模型的推导过程和结论。
【难度系数】
0.7