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13. [2025 廊坊三中期中] $-\sqrt{64}$ 的立方根是 (
A.-2
B.2
C.-4
D.4
A
)A.-2
B.2
C.-4
D.4
答案
A $-\sqrt{64} = -8,-8$ 的立方根是 $-2$。
14. 易错题 [2026 上海建平中学月考] 平方根与立方根相同的数是
0
。答案
0
15. [2026 沧州期中] 若$\sqrt[3]{3x - 1} + \sqrt[3]{x + 5} = 0$，则$x$的值为
-1
。答案
-1 由 $\sqrt[3]{3x - 1} + \sqrt[3]{x + 5} = 0$,得 $3x - 1$ 和 $x + 5$ 互为相反数,则 $3x - 1 + x + 5 = 0$,解得 $x = -1$。
变式 若一个正数$x$的平方根是$\sqrt[3]{17 - a}$和$\sqrt[3]{3a - 1}$，则$\sqrt[3]{a}$的值为
-2
。答案
-2 解题思路:根据一个正数有两个平方根,且它们互为相反数得到 $\sqrt[3]{17 - a} + \sqrt[3]{3a - 1} = 0$,再根据立方根的定义得到 $17 - a + 3a - 1 = 0$,从而求出 $a$ 的值,即可求出 $\sqrt[3]{a}$ 的值。
因为一个正数 $x$ 的平方根是 $\sqrt[3]{17 - a}$ 和 $\sqrt[3]{3a - 1}$,所以 $\sqrt[3]{17 - a} + \sqrt[3]{3a - 1} = 0$,所以 $17 - a + 3a - 1 = 0$,所以 $a = -8$,所以$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
因为一个正数 $x$ 的平方根是 $\sqrt[3]{17 - a}$ 和 $\sqrt[3]{3a - 1}$,所以 $\sqrt[3]{17 - a} + \sqrt[3]{3a - 1} = 0$,所以 $17 - a + 3a - 1 = 0$,所以 $a = -8$,所以$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
16. [2026石家庄二十七中期中]已知$x^2=1$，$\sqrt[3]{y}=-2$，且$xy＜0$，则$\sqrt{x-y}=$
3
。答案
3 因为 $x^2 = 1,\sqrt[3]{y} = -2$,所以 $x = \pm 1,y = -8$,又因为 $xy ＜ 0$,所以 $x = 1$,所以 $\sqrt{x - y} = \sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$。
17. [2026 济南天桥区月考] 已知 $3m + 1$ 的平方根是 $\pm5$，$5n - m$ 的立方根是3。
(1) 求 $m - n$ 的平方根。
(2) 若 $4a + m$ 的算术平方根是4，求 $3a - 2n$ 的立方根。
(1) 求 $m - n$ 的平方根。
(2) 若 $4a + m$ 的算术平方根是4，求 $3a - 2n$ 的立方根。
答案
解:(1)因为 $3m + 1$ 的平方根是 $\pm5$,
所以 $3m + 1 = 25$,所以 $m = 8$。
因为 $5n - m$ 的立方根是 3,所以 $5n - m = 27$,
又因为 $m = 8$,所以 $5n - 8 = 27$,
所以 $n = 7$,所以 $m - n = 8 - 7 = 1$,
所以 $m - n$ 的平方根为 $\pm1$。
(2)由(1)知 $m = 8,n = 7$,
因为 $4a + m$ 的算术平方根是 4,
所以 $4a + 8 = 16$,所以 $a = 2$,
所以 $3a - 2n = 3 × 2 - 2 × 7 = -8$,
所以 $3a - 2n$ 的立方根为 $-2$。
所以 $3m + 1 = 25$,所以 $m = 8$。
因为 $5n - m$ 的立方根是 3,所以 $5n - m = 27$,
又因为 $m = 8$,所以 $5n - 8 = 27$,
所以 $n = 7$,所以 $m - n = 8 - 7 = 1$,
所以 $m - n$ 的平方根为 $\pm1$。
(2)由(1)知 $m = 8,n = 7$,
因为 $4a + m$ 的算术平方根是 4,
所以 $4a + 8 = 16$,所以 $a = 2$,
所以 $3a - 2n = 3 × 2 - 2 × 7 = -8$,
所以 $3a - 2n$ 的立方根为 $-2$。
18. 教材P34 素材变式 [2026太原月考] 请根据如图所示的对话内容回答下列问题。
(1)求该魔方的棱长；
(2)求该长方体纸盒的表面积。
(1)求该魔方的棱长；
(2)求该长方体纸盒的表面积。
答案
解:(1)设魔方的棱长为 $x$ cm,
根据题意,得 $x^3 = 216$,解得 $x = 6$。
答:该魔方的棱长为 6 cm。
(2)设该长方体纸盒的长为 $y$ cm,则 $6y^2 = 600$,
所以 $y^2 = 100$,解得 $y = \pm 10$,
因为 $y$ 是正数,所以 $y = 10$,
所以 $10 × 10 × 2 + 10 × 6 × 4 = 440(\mathrm{cm}^2)$。
答:该长方体纸盒的表面积为 $440\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意,得 $x^3 = 216$,解得 $x = 6$。
答:该魔方的棱长为 6 cm。
(2)设该长方体纸盒的长为 $y$ cm,则 $6y^2 = 600$,
所以 $y^2 = 100$,解得 $y = \pm 10$,
因为 $y$ 是正数,所以 $y = 10$,
所以 $10 × 10 × 2 + 10 × 6 × 4 = 440(\mathrm{cm}^2)$。
答:该长方体纸盒的表面积为 $440\ \mathrm{cm}^2$。
19. 推理能力 [2025 安阳期末] 人教版教材的数学活动中有这样一段材料:我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题:一个数是59 319,求它的立方根。华罗庚脱口而出:39。
华罗庚迅速求出立方根的过程如下:
假设59 319 的立方根是 $n$,
①由 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,可以确定 $n$ 是两位数;
②由 $30^3 = 27\ 000,40^3 = 64\ 000,27\ 000 ＜ 59\ 319 ＜ 64\ 000$ 可知,$n$ 的十位上的数是3;
③考虑到1至9的立方中,只有9的立方的个位上的数是9,所以确定 $n$ 的个位上的数是9,所以 $n = 39$。
请你根据上述步骤求出140 608 的立方根是
华罗庚迅速求出立方根的过程如下:
假设59 319 的立方根是 $n$,
①由 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,可以确定 $n$ 是两位数;
②由 $30^3 = 27\ 000,40^3 = 64\ 000,27\ 000 ＜ 59\ 319 ＜ 64\ 000$ 可知,$n$ 的十位上的数是3;
③考虑到1至9的立方中,只有9的立方的个位上的数是9,所以确定 $n$ 的个位上的数是9,所以 $n = 39$。
请你根据上述步骤求出140 608 的立方根是
52
。答案
19. 52
假设 140 608 的立方根是 n, 由 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,可以确定 n 是两位数, 由 $50^3 = 125\ 000,60^3 = 216\ 000,125\ 000 ＜ 140\ 608 ＜ 216\ 000$ 可知,n 的十位上的数是5,考虑 1 至 9 的立方中,个位上的数为 8 的只有 2 的立方 8,所以确定 n 的个位上的数是 2,即 n = 52。
假设 140 608 的立方根是 n, 由 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,可以确定 n 是两位数, 由 $50^3 = 125\ 000,60^3 = 216\ 000,125\ 000 ＜ 140\ 608 ＜ 216\ 000$ 可知,n 的十位上的数是5,考虑 1 至 9 的立方中,个位上的数为 8 的只有 2 的立方 8,所以确定 n 的个位上的数是 2,即 n = 52。
的关系是 （
A.$x=y=0$
B.$x+y=0$
C.$x=y$
D.$xy=1$
C
）A.$x=y=0$
B.$x+y=0$
C.$x=y$
D.$xy=1$
答案
1 C 因为$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{-y} = 0$,所以$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{y}$,所以$x=y$。
2. [2025信阳平桥区期中]若$\sqrt[3]{8+a}=\sqrt[3]{2a-3}$，则a
答案
解：
根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则这两个数相等，可得
$8+a=2a-3$
移项得：$a-2a=-3-8$
合并同类项得：$-a=-11$
系数化为1得：$a=11$
根据立方根的性质，若两个数的立方根相等，则这两个数相等，可得
$8+a=2a-3$
移项得：$a-2a=-3-8$
合并同类项得：$-a=-11$
系数化为1得：$a=11$
的平方根是
$\pm \sqrt{11}$
。答案
2 $\pm \sqrt{11}$ 因为$\sqrt[3]{8+a} = \sqrt[3]{2a-3}$,所以$8 + a = 2a - 3$,解得$a = 11$,所以$a$的平方根是$\pm \sqrt{11}$。
3. [2025 武威凉州区期中] 已知 x 为实数，且$\sqrt[3]{x - 4}$与$\sqrt[3]{2x + 1}$互为相反数，则$x^2 + x + 2$的算术平方根为
2
。答案
3 2 因为$\sqrt[3]{x-4}$与$\sqrt[3]{2x+1}$互为相反数,所以$\sqrt[3]{x-4} + \sqrt[3]{2x+1} = 0$,所以$\sqrt[3]{x-4} = \sqrt[3]{-(2x+1)}$,所以$x - 4 = -(2x+1)$,解得$x = 1$,所以$x^2 + x + 2 = 4$,所以$x^2 + x + 2$的算术平方根为2。
