1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的高,$∠ ACD=30°$,那么下列结论正确的是().

A.$AD=\frac{1}{2}CD$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=\frac{1}{2}BC$
D.$CD=\frac{1}{2}AB$

(第1题图)
(第2题图)

1. B

【分析】
要解决这道题，我们可以先利用直角三角形两锐角互余的性质，推导△ABC中各个内角的度数，再结合“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，逐一验证每个选项是否正确。解题步骤如下：首先根据CD是高得到△ACD是直角三角形，结合已知∠ACD=30°求出∠A的度数；再在Rt△ABC中求出∠B的度数，最后根据含30°角的直角三角形的性质判断各选项。
【解析】
解：
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
1. 求∠A的度数：
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴∠A=90°-∠ACD=90°-30°=60°。
2. 求∠B的度数：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。
3. 逐一判断选项：
选项A：在Rt△ACD中，30°角∠ACD所对的直角边是AD，因此$AD=\frac{1}{2}AC$，而非$AD=\frac{1}{2}CD$，故A错误；
选项B：在Rt△ABC中，30°角∠B所对的直角边是AC，斜边为AB，因此$AC=\frac{1}{2}AB$，故B正确；
选项C：在Rt△BCD中，30°角∠B所对的直角边是CD，因此$CD=\frac{1}{2}BC$，而非$BD=\frac{1}{2}BC$，故C错误；
选项D：由$AC=\frac{1}{2}AB$，且CD是Rt△ACD的直角边，$CD＜AC$，因此$CD≠\frac{1}{2}AB$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题主要考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题的关键是准确找到每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，避免混淆边的对应关系，同时要熟练运用直角三角形两锐角互余的性质推导未知角的度数。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长可能是()。

A.5
B.6.2
C.7.8
D.8

2. A

【分析】
要确定AP的可能长度，需先求出AP的取值范围：①根据垂线段最短，A到BC的最短距离是垂线段AC的长度，即AP的最小值为AC的长；②当P与点B重合时，AP取最大值，即AB的长，可利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度，最后对比选项选出在取值范围内的结果即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得：
AB=2AC=2×3=6。
∵点P是BC边上的动点，
∴当P与C重合时，AP最短，此时AP=AC=3；
当P与B重合时，AP最长，此时AP=AB=6，
∴AP的长度取值范围是3≤AP≤6。
对比选项，只有5满足该范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题解题核心是先确定动线段AP的取值范围，结合特殊直角三角形的性质即可快速判断正确选项，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知AD是△ABC的中线，∠1=2∠2，CE⊥AD于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F。若EF=6，则BC=。

3. 12

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先根据AD是△ABC的中线得到BD=CD，结合CE、BF都垂直于AD的条件，利用AAS证明△BDF和△CDE全等，得到DE=DF，即可求出DE的长度；再根据邻补角的和为180°，结合∠1=2∠2的条件求出∠2的度数；最后在Rt△CDE中利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长，结合中线的性质即可算出BC的长度。
【解析】
1. 证明△BDF≌△CDE：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠F=∠CED=90°
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠F=∠CED \\∠BDF=∠CDE（对顶角相等） \\BD=CD\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS），
∴DE=DF
已知EF=DE+DF=6，因此DE=DF=3。
2. 求∠2的度数：
∵∠1与∠2是邻补角，
∴∠1+∠2=180°
又
∵∠1=2∠2，代入得$2∠2+∠2=180°$，解得∠2=60°。
3. 求CD的长度：
在Rt△CDE中，∠CED=90°，∠2=60°，
∴∠DCE=30°
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=2DE=2×3=6$。
4. 求BC的长度：
∵AD是△ABC的中线，D为BC中点，
∴$BC=2CD=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将全等三角形、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是先通过全等得到线段的等量关系，再结合角度条件利用特殊直角三角形的性质求解，能较好地锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图，在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，$∠ ACB=60°$，$DE$ 是斜边 $AC$ 的垂直平分线，分别交 $AB$，$AC$ 于 $D$，$E$ 两点.若 $BD=2$，求 $AD$ 的长.

4. 解 $\because ∠ ACB=60°,∠ B=90°,$
$\therefore ∠ A=30°.$
$\because DE$ 是斜边 $AC$ 的垂直平分线，
$\therefore AD=CD,$
$\therefore ∠ ACD=∠ A=30°,$
$\therefore ∠ BCD=30°.$
$\because BD=2,$
$\therefore AD=CD=4.$

【分析】
解题可按如下思路逐步推导：首先，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠B和∠ACB的度数，先算出∠A的度数；其次，利用线段垂直平分线的性质，可知垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到AD=CD，再根据等边对等角推出∠ACD=∠A，进一步计算得出∠BCD的度数；最后，在Rt△BCD中，运用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，即可得到AD的长度。
【解析】
解：$\because ∠ACB=60°,∠B=90°,$
$\therefore ∠A=30°.$
$\because DE$是斜边$AC$的垂直平分线，
$\therefore AD=CD,$
$\therefore ∠ACD=∠A=30°,$
$\therefore ∠BCD=30°.$
$\because BD=2,$
$\therefore AD=CD=4.$
【答案】
$4$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是借助线段垂直平分线的性质得到相等线段，实现角度的转化，再结合特殊直角三角形的性质求解，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,上午10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得$∠ NAC = 30°$,$∠ NBC = 60°$.
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行,在什么时间小船与灯塔C的距离最短？

5. 解 (1)$\because ∠ NBC=60°,∠ NAC=30°,$
$\therefore ∠ ACB=60°-30°=30°,$
$\therefore AB=BC.$
$\because AB=15×2=30$(海里),
$\therefore$ 从海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离为 30 海里.
(2)如图,过点 $C$ 作 $CP⊥ AN$ 于点 $P$,故小船在点 $P$ 处与灯塔 $C$ 的距离最短.
$\because ∠ NBC=60°,∠ BPC=90°,$
$\therefore ∠ PCB=90°-60°=30°,$
$\therefore PB=\frac{1}{2}BC=15$(海里),
$15÷15=1$(小时),
$\therefore$ 这条船继续向正北航行,在上午的 11 时小船与灯塔 $C$ 的距离最短.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先利用三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和，可推出∠ACB的度数，发现∠ACB=∠NAC，即可判定△ABC为等腰三角形，得到AB=BC；再根据路程=速度×时间计算出AB的长度，就能得到BC的长度。
(2) 依据“垂线段最短”，过点C作AN的垂线CP，垂足P就是小船与灯塔C距离最短的位置；再在直角三角形BCP中利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”计算出PB的长度，结合船的航行速度算出航行时间，即可得到对应的时刻。
【解析】
(1) 已知$∠ NBC=60°,∠ NAC=30°$，$∠NBC$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ ACB=∠ NBC-∠ NAC=60°-30°=30°$
因此$∠ ACB=∠ NAC$，根据等角对等边可得$AB=BC$。
船从A到B的航行时间为$10时-8时=2小时$，航行速度为15海里/时，因此：
$AB=15× 2=30$（海里）
所以$BC=AB=30$海里。
(2) 根据“垂线段最短”，过点$C$作$CP⊥ AN$于点$P$，此时小船在点$P$处与灯塔$C$的距离最短，如图：
在$Rt△ BPC$中，$∠ NBC=60°,∠ BPC=90°$，因此：
$∠ PCB=90°-60°=30°$
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边$PB$等于斜边$BC$的一半：
$PB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}× 30=15$（海里）
船的航行速度为15海里/时，因此从B航行到P需要的时间为$15÷ 15=1$（小时）
$10时+1小时=11时$，即上午11时小船与灯塔C的距离最短。
【答案】
(1) 从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2) 上午11时小船与灯塔C的距离最短。

【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短
【点评】
本题结合实际航海场景考查几何性质的应用，解题的关键是灵活运用三角形外角性质、等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质，同时明确点到直线的最短距离为垂线段长度，是贴近生活的基础几何应用题。
【难度系数】
0.7

6.如图,已知$∠ O=60°$,点$P$在边$OA$上,$OP=8$,点$M,N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=2$,求$ON$的长.

6. 解 过点 $P$ 作 $PD⊥ OB$ 于点 $D$,
$\because ∠ ODP=90°,∠ O=60°,$
$\therefore ∠ OPD=30°,$
$\therefore OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4.$
$\because PM=PN,PD⊥ MN,MN=2,$
$\therefore MD=ND=\frac{1}{2}MN=1,$
$\therefore ON=OD+DN=4+1=5.$

【分析】
要求ON的长，观察图形可知ON=OD+DN，可按以下思路推导：
1. 已知∠O=60°，过P作OB的垂线PD，可构造出含60°角的直角三角形OPD，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出OD的长度；
2. 由PM=PN可知△PMN是等腰三角形，结合PD⊥OB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得D是MN的中点，结合MN=2即可求出DN的长度；
3. 最后将OD与DN相加即可得到ON的长度。
【解析】
过点$P$作$PD⊥OB$于点$D$，
在$Rt△OPD$中，$∠ODP=90°$，$∠O=60°$，
$\therefore ∠OPD=90°-∠O=30°$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$。
$\because PM=PN$，$PD⊥MN$，
$\therefore D$为$MN$的中点（等腰三角形三线合一），
$\because MN=2$，
$\therefore DN=\frac{1}{2}MN=1$，
$\therefore ON=OD+DN=4+1=5$。
【答案】
6. 解 过点 $P$ 作 $PD⊥ OB$ 于点 $D$,
$\because ∠ ODP=90°,∠ O=60°,$
$\therefore ∠ OPD=30°,$
$\therefore OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4.$
$\because PM=PN,PD⊥ MN,MN=2,$
$\therefore MD=ND=\frac{1}{2}MN=1,$
$\therefore ON=OD+DN=4+1=5.$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是合理作出垂线辅助线，同时结合等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质求解，注重对基础几何性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.8