含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的。

一半

【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的基础性质，解题时首先明确题干给出的前提是直角三角形，已知一个锐角为30°，需要判断它所对的直角边与斜边的数量关系。我们可以通过拼接全等直角三角形得到等边三角形的思路推导该性质，也可以直接回忆所学的该性质内容直接作答。
【解析】
我们可以通过推导验证该性质：取两个全等的含30°角的直角三角形，将二者相等的长直角边重合拼接，可得一个大三角形。该大三角形的顶角为30°+30°=60°，且两条边长度等于原直角三角形的斜边，长度相等，因此该大三角形是等边三角形。等边三角形三边长度相等，原直角三角形中30°角所对的直角边长度为等边三角形边长的一半，即等于原直角三角形斜边的一半，因此横线处应填“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
1.含30°角的直角三角形性质 2.等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对核心性质的记忆与理解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

[典例]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ AC$交$BC$于点$D$,求证$BC=3AD$.

典例解析

证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC - ∠ DAC=120° - 90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $CD=2AD$（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又∵ $BC=BD+CD$，
∴ $BC=AD+2AD=3AD$，即$BC=3AD$。

【分析】
要证明$BC=3AD$，可将$BC$拆分为$BD+CD$，分别推导$BD$、$CD$与$AD$的数量关系：第一步利用等腰三角形的性质，结合已知顶角$∠ BAC=120°$求出底角$∠ B=∠ C=30°$；第二步根据$AD⊥ AC$求出$∠ BAD$的度数，通过等角对等边得到$BD=AD$；第三步在直角$△ ADC$中，利用$30°$角对应的直角三角形性质得到$CD=2AD$，最后将两段线段相加即可推导出$BC$和$AD$的数量关系。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180° - 120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC - ∠ DAC=120° - 90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $CD=2AD$（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又
∵ $BC=BD+CD$，
∴ $BC=AD+2AD=3AD$，即$BC=3AD$。
【答案】
$BC=3AD$
【知识点】
等腰三角形的性质；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过拆分线段，分别推导各段和目标线段的数量关系，考察了特殊三角形性质的综合应用能力，是几何推理的常见题型。
【难度系数】
0.7

典例
证明 $\because AB=AC,∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ B=∠ C=30°,$
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$CD=2AD.$
规律方法 直角三角形中有一个角为$30°$的性质的作用:
(1)用于证明线段的倍数关系;
(2)在直角三角形中求边长.
[举一反三]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=60°,AD$是$BC$边上的高,$E$为$AD$的中点,连接$BE$并延长交$AC$于点$F$.若$∠ AFB=90°,EF=2$,求$BF$的长.

解 $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ C=60°$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高，
$\therefore ∠ DAC=90°-∠ C=90°-60°=30°.$
$\because ∠ AFB=90°,EF=2,$
$\therefore AE=2EF=4.$
$\because$ 点 $E$ 为 $AD$ 的中点，
$\therefore DE=AE=4.$
$\because ∠ C=60°,∠ BFC=90°,$
$\therefore ∠ EBD=30°,$
$\therefore BE=2DE=8,$
$\therefore BF=BE+EF=8+2=10.$

【分析】
解题时首先结合已知的直角和60°角，利用直角三角形两锐角互余推导出30°角，再利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质逐步求解线段长度：第一步先在Rt△AEF中根据∠EAF=30°求出AE的长度；第二步结合E是AD中点得到DE的长度；第三步在Rt△BED中根据∠EBD=30°求出BE的长度；最后将BE和EF相加即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，
∴ ∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°。
∵ ∠AFB=90°，EF=2，
∴ 在Rt△AEF中，∠EAF=30°，30°角所对的直角边为EF，
∴ AE=2EF=2×2=4。
∵ 点E为AD的中点，
∴ DE=AE=4。
∵ ∠C=60°，∠BFC=180°-∠AFB=180°-90°=90°，
∴ 在△BFC中，∠EBD=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴ 在Rt△BED中，∠EBD=30°，30°角所对的直角边为DE，
∴ BE=2DE=2×4=8，
∴ BF=BE+EF=8+2=10。
【答案】
10
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；线段中点的定义
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的典型应用题型，解题核心是准确找出不同直角三角形中的30°内角，结合线段中点的性质逐步推导线段长度，能够有效考查几何逻辑推理能力和对特殊直角三角形性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7