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6. 如图，$△ ABC$为等边三角形，M是线段BC上的任意一点，N是线段CA上的任意一点，且$BM=CN$，BN与AM交于点Q.
(1)求证$△ BAN ≌ △ ACM$；
(2)求$∠ BQM$的大小.
(1)求证$△ BAN ≌ △ ACM$；
(2)求$∠ BQM$的大小.
答案
6. (1)证明
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN，
∴CM=AN.
∵在△BAN 和△ACM 中，
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解
∵由(1)知∠CAM=∠ABN，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN，
∴CM=AN.
∵在△BAN 和△ACM 中，
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解
∵由(1)知∠CAM=∠ABN，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
解析
【分析】
(1)要证明△BAN≌△ACM，首先利用等边三角形的性质得到等边对等边、等角的条件：AB=AC，∠BAN=∠ACM=60°；再结合已知BM=CN，由等边三角形边长相等的性质推导得出AN=CM，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等。
(2)求∠BQM的度数时，可利用三角形外角的性质，将∠BQM转化为△ABQ的两个内角和，再结合(1)中全等三角形的对应角相等的性质，替换角后即可得到∠BQM与等边三角形内角∠BAC的等量关系，从而求出角度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=AC，∠BAN=∠ACM=60°，BC=AC，
又
∵BM=CN，
∴AC-CN=BC-BM，即AN=CM，
在△BAN和△ACM中：
$\begin{cases} BA=AC \\ ∠BAN=∠ACM \\ AN=CM \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS)。
(2)解：
由(1)的全等结论可得∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ，
将∠ABN替换为∠CAM可得：
∠BQM=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°。
【答案】
(1)△BAN ≌ △ACM得证；
(2)∠BQM=60°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础典型题，解题核心是先利用等边三角形的边角性质推导全等所需的条件，再结合全等的性质和外角性质完成角度计算，逻辑链条清晰，有助于巩固全等三角形的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△BAN≌△ACM，首先利用等边三角形的性质得到等边对等边、等角的条件：AB=AC，∠BAN=∠ACM=60°；再结合已知BM=CN，由等边三角形边长相等的性质推导得出AN=CM，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等。
(2)求∠BQM的度数时，可利用三角形外角的性质，将∠BQM转化为△ABQ的两个内角和，再结合(1)中全等三角形的对应角相等的性质，替换角后即可得到∠BQM与等边三角形内角∠BAC的等量关系，从而求出角度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=AC，∠BAN=∠ACM=60°，BC=AC，
又
∵BM=CN，
∴AC-CN=BC-BM，即AN=CM，
在△BAN和△ACM中：
$\begin{cases} BA=AC \\ ∠BAN=∠ACM \\ AN=CM \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS)。
(2)解：
由(1)的全等结论可得∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ，
将∠ABN替换为∠CAM可得：
∠BQM=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°。
【答案】
(1)△BAN ≌ △ACM得证；
(2)∠BQM=60°
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础典型题，解题核心是先利用等边三角形的边角性质推导全等所需的条件，再结合全等的性质和外角性质完成角度计算，逻辑链条清晰，有助于巩固全等三角形的应用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,在等边三角形ABC中,点E在边AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
答案
7. 解 AE=DB,理由：
过点 E 作 EF//BC 交 AC 于点 F.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB.
解析
【分析】
要确定AE与DB的大小关系，直接观察无法建立两条线段的关联，因此考虑构造辅助线转化线段：过点E作EF//BC交AC于F，首先利用等边三角形和平行线的性质可证△AEF是等边三角形，将AE转化为EF；再结合ED=EC的条件推导角的等量关系，证明△EDB和△CEF全等，得到DB=EF，最后通过等量代换即可得出AE与DB的大小关系。
【解析】
过点E作EF//BC交AC于点F.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF的三个内角均为60°，即△AEF是等边三角形，
∴∠DBE=180°-∠ABC=120°,∠EFC=180°-∠AFE=120°，即∠DBE=∠EFC。
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
又
∵∠FEC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF。
在△EDB和△CEF中：
$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF。
∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB。
【答案】
AE=DB，理由：
过点 E 作 EF//BC 交 AC 于点 F.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB.
【知识点】
等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题考查等边三角形相关性质及全等三角形的综合应用，通过作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键，这类辅助线作法在等边三角形的几何证明题中十分常见，熟练掌握可快速找到解题思路。
【难度系数】
0.6
要确定AE与DB的大小关系，直接观察无法建立两条线段的关联，因此考虑构造辅助线转化线段：过点E作EF//BC交AC于F，首先利用等边三角形和平行线的性质可证△AEF是等边三角形，将AE转化为EF；再结合ED=EC的条件推导角的等量关系，证明△EDB和△CEF全等，得到DB=EF，最后通过等量代换即可得出AE与DB的大小关系。
【解析】
过点E作EF//BC交AC于点F.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF的三个内角均为60°，即△AEF是等边三角形，
∴∠DBE=180°-∠ABC=120°,∠EFC=180°-∠AFE=120°，即∠DBE=∠EFC。
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
又
∵∠FEC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF。
在△EDB和△CEF中：
$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF。
∵△AEF是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB。
【答案】
AE=DB，理由：
过点 E 作 EF//BC 交 AC 于点 F.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°,∠FEC=∠ECD，
∴△AEF 是等边三角形，
∴∠DBE=∠EFC=120°.
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠CEF.
∵在△EDB 和△CEF 中，$\begin{cases} ∠EBD=∠CFE, \\ ∠EDB=∠CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
∴△EDB≌△CEF(AAS)，
∴DB=EF.
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE，
∴AE=DB.
【知识点】
等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题考查等边三角形相关性质及全等三角形的综合应用，通过作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键，这类辅助线作法在等边三角形的几何证明题中十分常见，熟练掌握可快速找到解题思路。
【难度系数】
0.6
