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13.如果方程$\frac{x - 4}{3} - 8 = -\frac{x + 2}{2}$的解与关于x的方程$4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$的解相同，求$a - \frac{1}{a}$的值。
答案
$-\frac{15}{4}$
解析
【分析】
这是同解方程类问题，解题思路分三步：第一步先求解不含参数$a$的一元一次方程，得到$x$的具体值；第二步利用“两个方程解相同”的条件，把求得的$x$值代入含参数$a$的方程，解出$a$的值；第三步将$a$的值代入待求代数式$a-\frac{1}{a}$计算最终结果即可。解一元一次方程时要严格按步骤操作，注意符号变化避免出错。
【解析】
第一步：解方程$\frac{x - 4}{3} - 8 = -\frac{x + 2}{2}$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(x-4) - 48 = -3(x+2)$
去括号，得：
$2x - 8 - 48 = -3x - 6$
移项，得：
$2x + 3x = -6 + 8 + 48$
合并同类项，得：
$5x = 50$
系数化为1，得：
$x = 10$
第二步：把$x=10$代入方程$4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$，得：
$4×10 - (3a + 1) = 6×10 + 2a - 1$
化简得：
$39 - 3a = 59 + 2a$
移项，得：
$-3a - 2a = 59 - 39$
$-5a = 20$
系数化为1，得：
$a = -4$
第三步：把$a=-4$代入$a - \frac{1}{a}$计算：
$a - \frac{1}{a}=-4 - \frac{1}{-4}=-4+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程；代数式求值
【点评】
本题核心考查同解方程的应用，解题关键是先求无参数方程的解，再代入含参方程求参数，最后计算代数式即可。解题时要注意去分母、移项过程中的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这是同解方程类问题，解题思路分三步：第一步先求解不含参数$a$的一元一次方程，得到$x$的具体值；第二步利用“两个方程解相同”的条件，把求得的$x$值代入含参数$a$的方程，解出$a$的值；第三步将$a$的值代入待求代数式$a-\frac{1}{a}$计算最终结果即可。解一元一次方程时要严格按步骤操作，注意符号变化避免出错。
【解析】
第一步：解方程$\frac{x - 4}{3} - 8 = -\frac{x + 2}{2}$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(x-4) - 48 = -3(x+2)$
去括号，得：
$2x - 8 - 48 = -3x - 6$
移项，得：
$2x + 3x = -6 + 8 + 48$
合并同类项，得：
$5x = 50$
系数化为1，得：
$x = 10$
第二步：把$x=10$代入方程$4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1$，得：
$4×10 - (3a + 1) = 6×10 + 2a - 1$
化简得：
$39 - 3a = 59 + 2a$
移项，得：
$-3a - 2a = 59 - 39$
$-5a = 20$
系数化为1，得：
$a = -4$
第三步：把$a=-4$代入$a - \frac{1}{a}$计算：
$a - \frac{1}{a}=-4 - \frac{1}{-4}=-4+\frac{1}{4}=-\frac{15}{4}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程；代数式求值
【点评】
本题核心考查同解方程的应用，解题关键是先求无参数方程的解，再代入含参方程求参数，最后计算代数式即可。解题时要注意去分母、移项过程中的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
14.小明在对方程$\frac{x+2}{3}=\frac{x-a}{2}-1$去分母时，方程右边的－1没有乘6而得到错误的解$x=8$，你能由此判断出$a$的值吗？如果能，请求出方程正确的解。
答案
解:把 $x=8$ 代入方程 $2(x+2)=3(x-a)-1$,得 $2×(8+2)=3(8-a)-1$,
$20=24-3a-1$,
$3a=24-1-20$,
$3a=3$,
$a=1$,
所以方程为$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$,
解该方程得 $2(x+2)=3(x-1)-6$,
$2x+4=3x-3-6$,
$2x-3x=-3-6-4$,
$-x=-13$,
$x=13$,
即 $a=1$,
方程的解是 $x=13$。
$20=24-3a-1$,
$3a=24-1-20$,
$3a=3$,
$a=1$,
所以方程为$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$,
解该方程得 $2(x+2)=3(x-1)-6$,
$2x+4=3x-3-6$,
$2x-3x=-3-6-4$,
$-x=-13$,
$x=13$,
即 $a=1$,
方程的解是 $x=13$。
解析
【分析】
解题时首先要明确：小明得到的错误解x=8，是他错误去分母后得到的方程的正确解。第一步先写出小明错误去分母后的方程：原方程两边乘6时，右边的-1漏乘6，因此错误方程为$2(x+2)=3(x-a)-1$；第二步将x=8代入这个错误方程，即可求出参数a的值；第三步把求得的a代入原方程，按照解一元一次方程的步骤正确去分母、求解，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：小明去分母时，方程右边的-1没有乘6，因此他得到的错误方程为：
$2(x+2)=3(x-a)-1$
已知$x=8$是该错误方程的解，将$x=8$代入上式：
$2×(8+2)=3(8-a)-1$
计算得：$20=24-3a-1$
移项整理：$3a=24-1-20$
$3a=3$
解得：$a=1$
将$a=1$代入原方程，得：
$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$
正确去分母（两边同乘6，每一项都乘6）：
$2(x+2)=3(x-1)-6$
去括号：$2x+4=3x-3-6$
移项：$2x-3x=-3-6-4$
合并同类项：$-x=-13$
系数化为1：$x=13$
【答案】
$a=1$，方程的正确解是$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母运算
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类问题，解题的核心是抓住“错误的解满足错误变形后的方程”这一关键点，先求出未知参数，再求解原方程。同时提醒我们解方程去分母时，要注意不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：小明得到的错误解x=8，是他错误去分母后得到的方程的正确解。第一步先写出小明错误去分母后的方程：原方程两边乘6时，右边的-1漏乘6，因此错误方程为$2(x+2)=3(x-a)-1$；第二步将x=8代入这个错误方程，即可求出参数a的值；第三步把求得的a代入原方程，按照解一元一次方程的步骤正确去分母、求解，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：小明去分母时，方程右边的-1没有乘6，因此他得到的错误方程为：
$2(x+2)=3(x-a)-1$
已知$x=8$是该错误方程的解，将$x=8$代入上式：
$2×(8+2)=3(8-a)-1$
计算得：$20=24-3a-1$
移项整理：$3a=24-1-20$
$3a=3$
解得：$a=1$
将$a=1$代入原方程，得：
$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$
正确去分母（两边同乘6，每一项都乘6）：
$2(x+2)=3(x-1)-6$
去括号：$2x+4=3x-3-6$
移项：$2x-3x=-3-6-4$
合并同类项：$-x=-13$
系数化为1：$x=13$
【答案】
$a=1$，方程的正确解是$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母运算
【点评】
本题属于一元一次方程的错解类问题，解题的核心是抓住“错误的解满足错误变形后的方程”这一关键点，先求出未知参数，再求解原方程。同时提醒我们解方程去分母时，要注意不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
15.已知关于$x$的方程$mx -1=2x +1$，其中$m≠2$。
(1)当$m=-1$时，求该方程的解；
(2)写出$m$的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求出此时方程的解。
(1)当$m=-1$时，求该方程的解；
(2)写出$m$的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求出此时方程的解。
答案
解:(1)当 $m=-1$ 时,
原方程可化为 $-x-1=2x+1$,
解得 $x=-\frac{2}{3}$,
所以该方程的解为 $x=-\frac{2}{3}$。
(2)取 $m=3$,
此时方程为 $3x-1=2x+1$,
解得 $x=2$,
所以此时方程的解为 $x=2$。(答案不唯一)
原方程可化为 $-x-1=2x+1$,
解得 $x=-\frac{2}{3}$,
所以该方程的解为 $x=-\frac{2}{3}$。
(2)取 $m=3$,
此时方程为 $3x-1=2x+1$,
解得 $x=2$,
所以此时方程的解为 $x=2$。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 第一问是给定参数值求一元一次方程的解，解题思路为：直接将m=-1代入原方程，把方程转化为仅含未知数x的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的常规解一元一次方程步骤计算即可。
(2) 第二问需先整理原方程，用含m的代数式表示出x，再结合“m为正整数、方程的解x也为正整数”的条件，可知m-2是2的正约数，据此选取合适的m值代入求解即可。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，将$m=-1$代入原方程$mx -1=2x +1$，可得：
$-x-1=2x+1$
移项得：$-x-2x=1+1$
合并同类项得：$-3x=2$
系数化为1得：$x=-\frac{2}{3}$
(2) 先整理原方程：
移项得：$mx-2x=1+1$
合并同类项得：$(m-2)x=2$
因为$m≠2$，所以$x=\frac{2}{m-2}$
要使x为正整数，m为正整数，可取$m-2=1$，即$m=3$
将$m=3$代入原方程得：$3x-1=2x+1$
解得：$x=2$（答案不唯一，如m=4时x=1也符合要求）
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{3}$；
(2) 取$m=3$时，方程的解为$x=2$（答案不唯一）
【知识点】
解一元一次方程，含参一元一次方程，整数解讨论
【点评】
本题主要考查一元一次方程的基础运算，第二问需要先分离参数和未知数，再结合正整数的限制条件取值，属于基础拓展题型，运算时注意遵守移项变号的规则即可。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是给定参数值求一元一次方程的解，解题思路为：直接将m=-1代入原方程，把方程转化为仅含未知数x的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的常规解一元一次方程步骤计算即可。
(2) 第二问需先整理原方程，用含m的代数式表示出x，再结合“m为正整数、方程的解x也为正整数”的条件，可知m-2是2的正约数，据此选取合适的m值代入求解即可。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，将$m=-1$代入原方程$mx -1=2x +1$，可得：
$-x-1=2x+1$
移项得：$-x-2x=1+1$
合并同类项得：$-3x=2$
系数化为1得：$x=-\frac{2}{3}$
(2) 先整理原方程：
移项得：$mx-2x=1+1$
合并同类项得：$(m-2)x=2$
因为$m≠2$，所以$x=\frac{2}{m-2}$
要使x为正整数，m为正整数，可取$m-2=1$，即$m=3$
将$m=3$代入原方程得：$3x-1=2x+1$
解得：$x=2$（答案不唯一，如m=4时x=1也符合要求）
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{3}$；
(2) 取$m=3$时，方程的解为$x=2$（答案不唯一）
【知识点】
解一元一次方程，含参一元一次方程，整数解讨论
【点评】
本题主要考查一元一次方程的基础运算，第二问需要先分离参数和未知数，再结合正整数的限制条件取值，属于基础拓展题型，运算时注意遵守移项变号的规则即可。
【难度系数】
0.8
