8. (2024·吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),以OA,OC为邻边作长方形OABC.若将长方形OABC绕点O按顺时针方向旋转$90°$,得到长方形$OA'B'C'$,则点$B'$的坐标为 ( )
A. $(-4,-2)$
B. $(-4,2)$
C. $(2,4)$
D. $(4,2)$

C

9. 如图,在$△ ABO$中,点$A$的坐标为$(-4,0)$,点$B$的坐标为$(0,3)$,$OC$为中线,以点$O$为圆心,线段$OC$的长为半径作弧,交$x$轴正半轴于点$D$,则点$D$关于$y$轴的对称点的坐标为______.

$(-\frac{5}{2},0)$

10. 如图，将$△ ABC$先向右平移1个单位长度，再绕点$P$按顺时针方向旋转$90°$，得到$△ A'B'C'$，则点$B$的对应点$B'$的坐标是______．

(4，-1)

11. 新素养 创新意识 我们规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位长度，记为一次“R变换”.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,5),B(1,2),C(6,2).
(1) 画出△ABC经过1次“R变换”后得到的△A₁B₁C₁；
(2) 若△ABC经过3次“R变换”后得到的图形为△A₃B₃C₃，则顶点A₃的坐标为______；
(3) 记点P(a,b)经过n次“R变换”后的对应点为Pₙ，则点Pₙ的坐标为______(n为正整数).

(-4，-1) ; $((-1)^{n}\cdot a,b - 2n)$ ;

12. 如图,在平面直角坐标系中,$∠A=90°,OA=2,OB$ 平分$∠AOx$,则点$B(a-1,a-2)$关于$x$轴的对称点坐标是 （ ）
A. $(-2,1)$
B. $(3,-2)$
C. $(2,-1)$
D. $(3,-1)$

C

13. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 过点 $ M(3,0) $,且平行于 $ y $ 轴.
(1) 如果 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2) $, $ △ ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形是 $ △ A_{1}B_{1}C_{1},△ A_{1}B_{1}C_{1} $ 关于直线 $ l $ 的对称图形是 $ △ A_{2}B_{2}C_{2} $,写出 $ △ A_{2}B_{2}C_{2} $ 三个顶点的坐标;
(2) 如果点 $ P $ 的坐标是 $ (-a,0) $,其中 $ a＞0 $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_{1} $,点 $ P_{1} $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_{2} $,求 $ PP_{2} $ 的长.

解：​$(1)\triangle ABC$​关于​$y$​轴对称的​$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}，$​​$A(-2，$​​$0)$​关于​$y$​轴对称的点​$A_{1}(2，$​​$0)，$​​$B(-1，$​​$0)$​关于​$y$​轴对称的点​$B_{1}(1，$​​$0)，$​​$C(-1，$​​$2)$​关于​$y$​轴对称的点​$C_{1}(1，$​​$2)$​​$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$​关于直线​$l$​对称的​$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}，$​​$A_{1}(2，$​​$0)$​关于直线​$l$​对称的点​$A_{2}(4，$​​$0)，$​​$B_{1}(1，$​​$0)$​关于直线​$l$​对称的点​$B_{2}(5，$​​$0)，$​​$C_{1}(1，$​​$2)$​关于直线​$l$​对称的点​$C_{2}(5，$​​$2)$​∴​$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$​三个顶点的坐标分别是​$A_{2}(4，$​​$0)，$​​$B_{2}(5，$​​$0)，$​​$C_{2}(5，$​​$2)$​​$(2)$​∵点​$M$​的坐标是​$(3，$​​$0)，$​∴​$OM = 3$​分类讨论如下：如图①，如果​$0＜a\leqslant 3，$​​$P_{1}$​在线段​$OM$​上​$PP_{2}=PP_{1}+P_{1}\ \mathrm {P}2=2OP_{1}+2P_{1}M $​​$= 2(OP_{1}+P_{1}M)=2OM = 6$​如图②，如果​$a＞3，$​点​$P_{1}$​在点​$M$​的右边​$PP_{2}=PP_{1}-P_{1}\ \mathrm {P}2=2OP_{1}-2\ \mathrm {P}1M $​​$= 2(OP_{1}-P_{1}M)=2OM = 6$​综上，​$PP_{2}$​的长是​$6$​