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3. 定义:若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交,将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形,则这条射线就叫作原三角形的等腰分割线.
(1)如图①,$\triangle ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,若$O为AB$的中点,则射线$CO$____$\triangle ABC$的等腰分割线(填“是”或“不是”).
(2)如图②,$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AC= 8$,$BC= 6$,$\triangle ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P$,且$PA= PB$,请求出$CP$的长度.
(3)如图③,$\triangle ABC$中,$CD为AB$边上的高,$F为AC$的中点,过点$F的直线l交AD于点E$,作$CM⊥l$,$DN⊥l$,垂足分别为$M$,$N$,$BD= 3$,$AC= 5$,且$∠A＜45^{\circ}$.若射线$CD为\triangle ABC$的等腰分割线,求$CM+DN$的最大值.
(1)如图①,$\triangle ACB$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,若$O为AB$的中点,则射线$CO$____$\triangle ABC$的等腰分割线(填“是”或“不是”).
(2)如图②,$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AC= 8$,$BC= 6$,$\triangle ABC的一条等腰分割线BP交AC边于点P$,且$PA= PB$,请求出$CP$的长度.
(3)如图③,$\triangle ABC$中,$CD为AB$边上的高,$F为AC$的中点,过点$F的直线l交AD于点E$,作$CM⊥l$,$DN⊥l$,垂足分别为$M$,$N$,$BD= 3$,$AC= 5$,且$∠A＜45^{\circ}$.若射线$CD为\triangle ABC$的等腰分割线,求$CM+DN$的最大值.
答案
(1) 是 解析：$\because$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$O$ 是 $AB$ 的中点，$\therefore OA = OC = OB$，即 $\triangle AOC$ 和 $\triangle COB$ 都是等腰三角形，$\therefore$ 射线 $CO$ 是 $\triangle ABC$ 的等腰分割线.
(2) 设 $PC = x$，则 $AP = BP = 8 - x$，在 $Rt\triangle BCP$ 中，$CP^2 + BC^2 = PB^2$，
$\therefore x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，解得 $x=\frac{7}{4}$，$\therefore CP=\frac{7}{4}$.
(3) 如图，过点 $A$ 作 $AG\perp l$ 于点 $G$. $\because CD$ 为 $AB$ 边上的高，$\therefore \angle CDB=\angle CDA = 90^{\circ}$. $\because \angle A＜45^{\circ}$，$\therefore \triangle CDA$ 不是等腰三角形. $\because$ 射线 $CD$ 为 $\triangle ABC$ 的等腰分割线，$\therefore \triangle CDB$ 和 $\triangle CDA$ 中至少有一个是等腰三角形，$\therefore \triangle CDB$ 是等腰三角形，
且 $CD = BD = 3$. $\because AC = 5$，$\therefore AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$. $\because CM\perp l$ 于
点 $M$，$\therefore \angle CMF=\angle AGF = 90^{\circ}$. $\because F$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore CF = AF$. 在
$\triangle CMF$ 和 $\triangle AGF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CMF=\angle AGF, \\ \angle CFM=\angle AFG, \\ CF = AF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CMF \cong \triangle AGF(AAS)$，
$\therefore CM = AG$. 在 $Rt\triangle DEN$ 和 $Rt\triangle AEG$ 中，$\angle AGE=\angle DNE = 90^{\circ}$，$\therefore DN＜DE$，$AG＜AE$. 当点 $E$ 与点 $N$ 重合时，$DN = DE$，$AG = AE$，$\therefore AG + DN\leqslant AE + DE$，$\therefore CM + DN\leqslant AE + DE$，即 $CM + DN\leqslant AD$，$\therefore CM + DN\leqslant 4$，$\therefore CM + DN$ 的最大值为 4.
(2) 设 $PC = x$，则 $AP = BP = 8 - x$，在 $Rt\triangle BCP$ 中，$CP^2 + BC^2 = PB^2$，
$\therefore x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，解得 $x=\frac{7}{4}$，$\therefore CP=\frac{7}{4}$.
(3) 如图，过点 $A$ 作 $AG\perp l$ 于点 $G$. $\because CD$ 为 $AB$ 边上的高，$\therefore \angle CDB=\angle CDA = 90^{\circ}$. $\because \angle A＜45^{\circ}$，$\therefore \triangle CDA$ 不是等腰三角形. $\because$ 射线 $CD$ 为 $\triangle ABC$ 的等腰分割线，$\therefore \triangle CDB$ 和 $\triangle CDA$ 中至少有一个是等腰三角形，$\therefore \triangle CDB$ 是等腰三角形，
且 $CD = BD = 3$. $\because AC = 5$，$\therefore AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$. $\because CM\perp l$ 于
点 $M$，$\therefore \angle CMF=\angle AGF = 90^{\circ}$. $\because F$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore CF = AF$. 在
$\triangle CMF$ 和 $\triangle AGF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CMF=\angle AGF, \\ \angle CFM=\angle AFG, \\ CF = AF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle CMF \cong \triangle AGF(AAS)$，
$\therefore CM = AG$. 在 $Rt\triangle DEN$ 和 $Rt\triangle AEG$ 中，$\angle AGE=\angle DNE = 90^{\circ}$，$\therefore DN＜DE$，$AG＜AE$. 当点 $E$ 与点 $N$ 重合时，$DN = DE$，$AG = AE$，$\therefore AG + DN\leqslant AE + DE$，$\therefore CM + DN\leqslant AE + DE$，即 $CM + DN\leqslant AD$，$\therefore CM + DN\leqslant 4$，$\therefore CM + DN$ 的最大值为 4.
(二)问题探究
(1)求平面直角坐标系中$x轴上的两点E(5,0)$,$F(-2,0)$之间的距离,可以借助绝对值表示$|EF|= |5-(-2)|= 7$,同理,$y轴上两点M(0,3)$,$N(0,5)之间的距离|MN|= |3-5|= 2$.
结论:在平面直角坐标系中,如果$A$,$B是x$轴上两点,它们对应的横坐标分别是$x_{A}$,$x_{B}$,那么$A$,$B两点间的距离|AB|= $____;$C$,$D是y$轴上的两点,它们对应的纵坐标分别是$y_{C}$,$y_{D}$,那么$C$,$D两点间的距离|CD|= $____.
(2)如图①,平面直角坐标系中任意一点$B(3,4)$,过点$B向x$轴作垂线,垂足为$M$,由勾股定理得$|OB|= $____.
结论:平面直角坐标系中任意一点$P(x,y)到原点的距离|OP|= $____.
(3)如图②,要求$AB或DE$的长度,可以转化为求$Rt\triangle ABC或Rt\triangle DEF$的斜边长,例如:从坐标系中发现:$D(-7,5)$,$E(4,-3)$,$F(-7,-3)$,所以$|DF|= |5-(-3)|= 8$,$|EF|= |4-(-7)|= 11$,由勾股定理,得$|DE|= \sqrt {8^{2}+11^{2}}= \sqrt {185}$.在图③中,设$P_{1}(x_{1},y_{1})$,$P_{2}(x_{2},y_{2})$,试用$x_{1}$,$x_{2}$,$y_{1}$,$y_{2}表示|P_{1}P_{2}|= $____.
(1)求平面直角坐标系中$x轴上的两点E(5,0)$,$F(-2,0)$之间的距离,可以借助绝对值表示$|EF|= |5-(-2)|= 7$,同理,$y轴上两点M(0,3)$,$N(0,5)之间的距离|MN|= |3-5|= 2$.
结论:在平面直角坐标系中,如果$A$,$B是x$轴上两点,它们对应的横坐标分别是$x_{A}$,$x_{B}$,那么$A$,$B两点间的距离|AB|= $____;$C$,$D是y$轴上的两点,它们对应的纵坐标分别是$y_{C}$,$y_{D}$,那么$C$,$D两点间的距离|CD|= $____.
(2)如图①,平面直角坐标系中任意一点$B(3,4)$,过点$B向x$轴作垂线,垂足为$M$,由勾股定理得$|OB|= $____.
结论:平面直角坐标系中任意一点$P(x,y)到原点的距离|OP|= $____.
(3)如图②,要求$AB或DE$的长度,可以转化为求$Rt\triangle ABC或Rt\triangle DEF$的斜边长,例如:从坐标系中发现:$D(-7,5)$,$E(4,-3)$,$F(-7,-3)$,所以$|DF|= |5-(-3)|= 8$,$|EF|= |4-(-7)|= 11$,由勾股定理,得$|DE|= \sqrt {8^{2}+11^{2}}= \sqrt {185}$.在图③中,设$P_{1}(x_{1},y_{1})$,$P_{2}(x_{2},y_{2})$,试用$x_{1}$,$x_{2}$,$y_{1}$,$y_{2}表示|P_{1}P_{2}|= $____.
答案
问题探究：(1) $\left|x_A - x_B\right|$ $\left|y_C - y_D\right|$
(2) $5$ $\sqrt{x^2 + y^2}$
(3) $\sqrt{\left(x_1 - x_2\right)^2+\left(y_1 - y_2\right)^2}$
(2) $5$ $\sqrt{x^2 + y^2}$
(3) $\sqrt{\left(x_1 - x_2\right)^2+\left(y_1 - y_2\right)^2}$
