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1. (2025·南通期中)(1)如图①,已知$\triangle ABC和
\triangle DCE$,点$B$,$C$,$E$在一条直线上,且$∠B= ∠ACD= ∠E$,$AC= CD$,求证:$BC= DE$.
(2)如图②,$∠B= 60^{\circ}$,$∠DAN= 30^{\circ}$,$N为AB$上的点,且$ND= NM$,$∠DNM= 60^{\circ}$,求证:$AB= 2BN+BM$.
(3)如图③,$\triangle ABC$是等边三角形,点$D$,$F分别为AC$,$BC$边上的动点,$AD= 2CF$,连接$DF$,以$DF为边在\triangle ABC内作等边\triangle DEF$,连接$BE$,当点$D从点A运动到点C$的过程中,$∠EBF$的度数是否发生变化? 如果不变,求出$∠EBF$的度数;如果改变,请说明理由.
\triangle DCE$,点$B$,$C$,$E$在一条直线上,且$∠B= ∠ACD= ∠E$,$AC= CD$,求证:$BC= DE$.(2)如图②,$∠B= 60^{\circ}$,$∠DAN= 30^{\circ}$,$N为AB$上的点,且$ND= NM$,$∠DNM= 60^{\circ}$,求证:$AB= 2BN+BM$.
(3)如图③,$\triangle ABC$是等边三角形,点$D$,$F分别为AC$,$BC$边上的动点,$AD= 2CF$,连接$DF$,以$DF为边在\triangle ABC内作等边\triangle DEF$,连接$BE$,当点$D从点A运动到点C$的过程中,$∠EBF$的度数是否发生变化? 如果不变,求出$∠EBF$的度数;如果改变,请说明理由.
答案
(1) $\because \angle B=\angle ACD, \angle ACE=\angle ACD+\angle DCE=\angle B+\angle BAC$，$\angle B=\angle E$，
$\therefore \angle BAC=\angle DCE$，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CED$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle E, \\ \angle BAC=\angle ECD, \\ AC=CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle CED(AAS), \therefore BC=DE$.
(2) 在 $AB$ 上截取 $AF = DF$，连接 $DF$，如图①，$\because \angle DAN = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle DAN=\angle ADF = 30^{\circ}, \therefore \angle DFN = 60^{\circ}=\angle B$. $\because \angle ANM=\angle AND + \angle DNM=\angle BMN+\angle B$，且 $\angle DNM=\angle B = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AND=\angle BMN$. 在
$\triangle FDN$ 和 $\triangle BNM$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DFN=\angle B, \\ \angle DNF=\angle NMB, \\ DN=NM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle FDN \cong \triangle BNM(AAS)$，
$\therefore FD = BN, FN = BM, \therefore AF = BN$. $\because AB = AF + FN + BN$，$\therefore AB = BN + BM + BN$，即 $AB = 2BN + BM$.
(3) $\angle EBF$ 的度数不发生变化，$\angle EBF = 30^{\circ}$，求解如下：如图②，在
$BC$ 上截取 $BM = CF$，连接 $EM$，$\because AD = 2CF = BM + CF$，且 $AC = BC$，
$\therefore CD = FM$. $\because \triangle DEF$ 是等边三角形，$\therefore DF = EF$，$\angle DFE = 60^{\circ}$.
$\because \angle DFM=\angle CDF+\angle C=\angle MFE+\angle DFE$，且 $\angle C=\angle DFE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDF=\angle MFE$，$\therefore \triangle DFC \cong \triangle FEM(SAS)$，$\therefore \angle FME=\angle C = 60^{\circ}$，
$EM = CF$. $\because BM = CF$，$\therefore BM = EM$，$\therefore \angle EBF = 30^{\circ}$.
$\therefore \angle BAC=\angle DCE$，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CED$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle E, \\ \angle BAC=\angle ECD, \\ AC=CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle CED(AAS), \therefore BC=DE$.
(2) 在 $AB$ 上截取 $AF = DF$，连接 $DF$，如图①，$\because \angle DAN = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle DAN=\angle ADF = 30^{\circ}, \therefore \angle DFN = 60^{\circ}=\angle B$. $\because \angle ANM=\angle AND + \angle DNM=\angle BMN+\angle B$，且 $\angle DNM=\angle B = 60^{\circ}$，$\therefore \angle AND=\angle BMN$. 在
$\triangle FDN$ 和 $\triangle BNM$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DFN=\angle B, \\ \angle DNF=\angle NMB, \\ DN=NM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle FDN \cong \triangle BNM(AAS)$，
$\therefore FD = BN, FN = BM, \therefore AF = BN$. $\because AB = AF + FN + BN$，$\therefore AB = BN + BM + BN$，即 $AB = 2BN + BM$.
(3) $\angle EBF$ 的度数不发生变化，$\angle EBF = 30^{\circ}$，求解如下：如图②，在
$BC$ 上截取 $BM = CF$，连接 $EM$，$\because AD = 2CF = BM + CF$，且 $AC = BC$，
$\therefore CD = FM$. $\because \triangle DEF$ 是等边三角形，$\therefore DF = EF$，$\angle DFE = 60^{\circ}$.
$\because \angle DFM=\angle CDF+\angle C=\angle MFE+\angle DFE$，且 $\angle C=\angle DFE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDF=\angle MFE$，$\therefore \triangle DFC \cong \triangle FEM(SAS)$，$\therefore \angle FME=\angle C = 60^{\circ}$，
$EM = CF$. $\because BM = CF$，$\therefore BM = EM$，$\therefore \angle EBF = 30^{\circ}$.
2. (2024·淮安期末)已知在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 45^{\circ}$,$∠ACB$为锐角,$AD是BC$边上的高,在射线$DA上取一点E$,使$DE= DC$,在平面内取一点$F$,使$CF⊥CA$,$CF= CA$,且点$E$,$F在直线BC$的异侧,连接$EF交BC于点M$.
(1)如图,当$∠ACB＜45^{\circ}$时,补全图形,并证明:$∠FCB= ∠CAD$;
(2)在图中用等式表示线段$AD$,$AE$,$CM$的数量关系,并证明;
(3)设$AD= 1$,当$∠ACB$的大小变化时,若$\frac {BM}{DM}＜2$,直接写出线段$CD$长的取值范围.
(1)如图,当$∠ACB＜45^{\circ}$时,补全图形,并证明:$∠FCB= ∠CAD$;
(2)在图中用等式表示线段$AD$,$AE$,$CM$的数量关系,并证明;
(3)设$AD= 1$,当$∠ACB$的大小变化时,若$\frac {BM}{DM}＜2$,直接写出线段$CD$长的取值范围.
答案
(1) 补全图形如图①，$\because AD\perp BC$，$\therefore \angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$. 又 $\because CF\perp CA$，$\therefore \angle ACD+\angle FCB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle FCB=\angle CAD$.
(2) $2CM = 2AD + AE$. 证明如下：如图②，连接 $BE$，$\because AD\perp BC$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BAD=\angle ABC = 45^{\circ}$，$\therefore BD = AD$. 在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\left\{\begin{array}{l}BD = AD, \\ \angle BDE=\angle ADC = 90^{\circ}, \\ DE = DC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADC(SAS)$，$\therefore \angle EBD=\angle CAD$，
$BE = AC$. 又 $\because \angle FCB=\angle CAD$，$AC = CF$，$\therefore \angle EBD=\angle FCB$，$BE = CF$. 在
$\triangle BME$ 和 $\triangle CMF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EBD=\angle FCB, \\ \angle EMB=\angle FMC, \\ BE = CF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BME \cong \triangle CMF(AAS)$，
$\therefore CM = BM=\frac{1}{2}BC$，即 $BC = 2CM$. $\because BC = BD + CD$，$BC = AD + DE = AD + AD + AE$，$\therefore 2CM = 2AD + AE$.
(3) $CD＞3$ 或 $0＜CD＜\frac{1}{3}$ 解析：当 $CD＞BD$ 时，点 $M$ 在点 $D$ 右侧，如图②，当
$\frac{BM}{DM}＜2$ 时，$BM＜2DM$，即 $BD + DM＜2DM$，又
$\because BD = AD = 1$，$\therefore DM＞1$，$\therefore BM = BD + DM＞2$.
$\because CD = BC - BD = 2BM - BD＞2\times2 - 1 = 3$，$\therefore$ 当
$CD＞BD$ 时，若 $\frac{BM}{DM}＜2$，则 $CD＞3$. 当 $CD＜BD$ 时，点 $M$ 在点 $D$ 左侧，如图③，当 $\frac{BM}{DM}＜2$ 时，$BM＜2DM$，即 $BD - DM＜2DM$，又 $\because BD = AD = 1$，$\therefore DM＞\frac{1}{3}$，$\therefore BM = DB - DM＜1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
$\because CD = BC - BD = 2BM - BD＜2\times\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$，$\therefore$ 当 $CD＜BD$ 时，若 $\frac{BM}{DM}＜2$，则 $0＜CD＜\frac{1}{3}$. 综上所述，线段 $CD$ 长的取值范围为 $CD＞3$ 或 $0＜CD＜\frac{1}{3}$.
(2) $2CM = 2AD + AE$. 证明如下：如图②，连接 $BE$，$\because AD\perp BC$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\therefore \angle BAD=\angle ABC = 45^{\circ}$，$\therefore BD = AD$. 在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\left\{\begin{array}{l}BD = AD, \\ \angle BDE=\angle ADC = 90^{\circ}, \\ DE = DC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADC(SAS)$，$\therefore \angle EBD=\angle CAD$，
$BE = AC$. 又 $\because \angle FCB=\angle CAD$，$AC = CF$，$\therefore \angle EBD=\angle FCB$，$BE = CF$. 在
$\triangle BME$ 和 $\triangle CMF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EBD=\angle FCB, \\ \angle EMB=\angle FMC, \\ BE = CF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BME \cong \triangle CMF(AAS)$，
$\therefore CM = BM=\frac{1}{2}BC$，即 $BC = 2CM$. $\because BC = BD + CD$，$BC = AD + DE = AD + AD + AE$，$\therefore 2CM = 2AD + AE$.
(3) $CD＞3$ 或 $0＜CD＜\frac{1}{3}$ 解析：当 $CD＞BD$ 时，点 $M$ 在点 $D$ 右侧，如图②，当
$\frac{BM}{DM}＜2$ 时，$BM＜2DM$，即 $BD + DM＜2DM$，又
$\because BD = AD = 1$，$\therefore DM＞1$，$\therefore BM = BD + DM＞2$.
$\because CD = BC - BD = 2BM - BD＞2\times2 - 1 = 3$，$\therefore$ 当
$CD＞BD$ 时，若 $\frac{BM}{DM}＜2$，则 $CD＞3$. 当 $CD＜BD$ 时，点 $M$ 在点 $D$ 左侧，如图③，当 $\frac{BM}{DM}＜2$ 时，$BM＜2DM$，即 $BD - DM＜2DM$，又 $\because BD = AD = 1$，$\therefore DM＞\frac{1}{3}$，$\therefore BM = DB - DM＜1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
$\because CD = BC - BD = 2BM - BD＜2\times\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$，$\therefore$ 当 $CD＜BD$ 时，若 $\frac{BM}{DM}＜2$，则 $0＜CD＜\frac{1}{3}$. 综上所述，线段 $CD$ 长的取值范围为 $CD＞3$ 或 $0＜CD＜\frac{1}{3}$.
