1. 方程 $ x ( x - 3 ) = x $ 的解是 $ x = () $.
A. 3
B. 4
C. 0
D. 4 或 0

D

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + 6 = 0 ( a \neq 0 ) $ 的一个根为 $ x = 2 $, 则代数式 $ 2 a + b + 6 = $ ______.

$3$

3. 把方程 $ x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0 $ 化成 $ ( x + m ) ^ { 2 } = n $ 的形式, 则 $ m = $ ______, $ n = $ ______.

$m = - 4$，$n = 13$。

4. 若 $ \alpha, \beta $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 9 = 0 $ 的两个根, 则 $ \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } $ 的值是 ______.

$22$

5. 已知 $ m $ 是方程 $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $ 的一个实数根, 求代数式 $ ( m ^ { 2 } - m ) \left( m - \frac { 2 } { m } + 1 \right) $ 的值.

【解析】：
因为$m$是方程$x^{2}-x - 2 = 0$的一个实数根，将$x = m$代入方程$x^{2}-x - 2 = 0$，可得$m^{2}-m - 2 = 0$。
由$m^{2}-m - 2 = 0$可得$m^{2}-m=2$，且$m\neq0$（若$m = 0$，代入方程$0^{2}-0 - 2=-2\neq0$，所以$m\neq0$）。
由$m^{2}-m - 2 = 0$，等式两边同时除以$m$（$m\neq0$）得$m - 1-\frac{2}{m}=0$，移项可得$m-\frac{2}{m}=1$。
将$m^{2}-m = 2$和$m-\frac{2}{m}=1$代入代数式$(m^{2}-m)\left(m - \frac{2}{m}+1\right)$中，可得：
$(m^{2}-m)\left(m - \frac{2}{m}+1\right)=2\times(1 + 1)$
$=2\times2$
$=4$
【答案】：$4$

6. 用配方法解方程 $ x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0 $, 经配方后得到 $ () $.
A. $ ( x + 2 ) ^ { 2 } = 5 $
B. $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 5 $
C. $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 3 $
D. $ ( x + 2 ) ^ { 2 } = 3 $

D

7. 一个长为 $ 10 \mathrm { m } $ 的梯子斜靠在墙上, 梯子的顶端距地面的垂直距离为 $ 8 \mathrm { m } $. 如果梯子的顶端下滑 $ 1 \mathrm { m } $, 梯子的底端滑动 $ x \mathrm { m } $, 可列出方程为 ______.

$(6 + x)^{2}+7^{2}=10^{2}$

8. (1) 用公式法解方程. (2) 用配方法解方程.
$ x ^ { 2 } = 3 ( x + 1 ) $ $ x ^ { 2 } - 2 x - 24 = 0 $

### （1）用公式法解方程$x^{2}=3(x + 1)$
【解析】：
1. 首先将方程化为一般形式：
对$x^{2}=3(x + 1)$进行去括号得$x^{2}=3x + 3$，移项化为一般式$x^{2}-3x - 3=0$。
2. 然后确定$a$，$b$，$c$的值：
在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，对于方程$x^{2}-3x - 3=0$，$a = 1$，$b=-3$，$c = - 3$。
3. 接着计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$的值：
把$a = 1$，$b=-3$，$c = - 3$代入$\Delta=b^{2}-4ac$，可得$\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times(-3)=9 + 12=21$。
4. 最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2\times1}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。
### （2）用配方法解方程$x^{2}-2x - 24 = 0$
【解析】：
1. 移项：
把常数项移到等号右边，得$x^{2}-2x=24$。
2. 配方：
在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$-2$，一半的平方为$(\frac{-2}{2})^{2}=1$，则$x^{2}-2x + 1=24 + 1$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x - 1)^{2}=25$。
3. 开方求解：
对$(x - 1)^{2}=25$两边开平方，得$x - 1=\pm5$。
当$x - 1 = 5$时，$x=5 + 1=6$；当$x - 1=-5$时，$x=-5 + 1=-4$。
【答案】：
用公式法解方程$x^{2}=3(x + 1)$的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$；用配方法解方程$x^{2}-2x - 24 = 0$的解为$x_{1}=6$，$x_{2}=-4$。