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8.小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高,小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有。数数就知道了！”小明说：“有本事,你不用数也能知道！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选$A$,$B$两点,测量数据如图,其中矩形$CDEF$表示楼体,$AB = 150m$,$CD = 10m$,$\angle A = 30^\circ$,$\angle B = 45^\circ$.($A$,$C$,$D$,$B$四点在同一直线上)
(1)楼高多少米？(保留根号)
(2)若每层楼按$3m$计算,你支持小明还是小华的观点？请说明理由.(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{5} \approx 2.24$)
(1)楼高多少米？(保留根号)
(2)若每层楼按$3m$计算,你支持小明还是小华的观点？请说明理由.(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{5} \approx 2.24$)
答案
解：
(1)设楼高为$x$米，即$CF = DE = x$米。
因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle BDE = 90^{\circ}$，所以$\triangle BDE$是等腰直角三角形，则$BD = DE = x$米。
又因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACF = 90^{\circ}$，根据$\tan A=\frac{CF}{AC}$，可得$AC=\frac{CF}{\tan A}=\frac{x}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$米。
已知$AB = 150$米，$CD = 10$米，且$AB=AC + CD+BD$，所以$\sqrt{3}x+10 + x=150$。
移项可得$(\sqrt{3}+1)x=150 - 10=140$，则$x=\frac{140}{\sqrt{3}+1}$。
对$\frac{140}{\sqrt{3}+1}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-1$，得到$x=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{3 - 1}=70(\sqrt{3}-1)=(70\sqrt{3}-70)$米。
(2)把$\sqrt{3}\approx1.73$代入$x = 70\sqrt{3}-70$，可得$x\approx70\times1.73-70=121.1 - 70 = 51.1$米。
每层楼按$3$米计算，楼层数$n=\frac{51.1}{3}\approx17.03$层。
因为$17.03\lt20$，所以支持小华的观点。
综上，(1)楼高为$(70\sqrt{3}-70)$米；(2)支持小华的观点。
(1)设楼高为$x$米，即$CF = DE = x$米。
因为$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle BDE = 90^{\circ}$，所以$\triangle BDE$是等腰直角三角形，则$BD = DE = x$米。
又因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACF = 90^{\circ}$，根据$\tan A=\frac{CF}{AC}$，可得$AC=\frac{CF}{\tan A}=\frac{x}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}x$米。
已知$AB = 150$米，$CD = 10$米，且$AB=AC + CD+BD$，所以$\sqrt{3}x+10 + x=150$。
移项可得$(\sqrt{3}+1)x=150 - 10=140$，则$x=\frac{140}{\sqrt{3}+1}$。
对$\frac{140}{\sqrt{3}+1}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-1$，得到$x=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{140(\sqrt{3}-1)}{3 - 1}=70(\sqrt{3}-1)=(70\sqrt{3}-70)$米。
(2)把$\sqrt{3}\approx1.73$代入$x = 70\sqrt{3}-70$，可得$x\approx70\times1.73-70=121.1 - 70 = 51.1$米。
每层楼按$3$米计算，楼层数$n=\frac{51.1}{3}\approx17.03$层。
因为$17.03\lt20$，所以支持小华的观点。
综上，(1)楼高为$(70\sqrt{3}-70)$米；(2)支持小华的观点。
9.若$x$,$y$是实数,且$y = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} + 4$,求$\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$的值.
答案
【解析】：
本题可先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，进而求出$y$的值，再将$x$、$y$的值代入所求式子进行计算。
- **步骤一：根据二次根式有意义的条件求出$x$的值**
要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，则被开方数$a\geqslant0$。
在$y = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} + 4$中，$\sqrt{1 - 4x}$与$\sqrt{4x - 1}$都要有意义，则$\begin{cases}1 - 4x\geqslant0\\4x - 1\geqslant0\end{cases}$。
解不等式$1 - 4x\geqslant0$，移项可得$-4x\geqslant -1$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得$x\leqslant\frac{1}{4}$。
解不等式$4x - 1\geqslant0$，移项可得$4x\geqslant 1$，两边同时除以$4$，解得$x\geqslant\frac{1}{4}$。
所以$x$的取值既要满足$x\leqslant\frac{1}{4}$又要满足$x\geqslant\frac{1}{4}$，则$x = \frac{1}{4}$。
- **步骤二：求出$y$的值**
将$x = \frac{1}{4}$代入$y = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} + 4$中，可得$y = \sqrt{1 - 4\times\frac{1}{4}} + \sqrt{4\times\frac{1}{4} - 1} + 4 = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 4 = 4$。
- **步骤三：计算$\frac{x}{y}$与$\frac{y}{x}$的值**
将$x = \frac{1}{4}$，$y = 4$代入$\frac{x}{y}$与$\frac{y}{x}$中，可得$\frac{x}{y} = \frac{\frac{1}{4}}{4} = \frac{1}{16}$，$\frac{y}{x} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$。
- **步骤四：化简并计算$\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$的值**
对$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}$进行变形可得$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x} = (\sqrt{\frac{x}{y}})^2 + 2\times\sqrt{\frac{x}{y}}\times\sqrt{\frac{y}{x}} + (\sqrt{\frac{y}{x}})^2 = (\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2$。
对$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}$进行变形可得$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x} = (\sqrt{\frac{x}{y}})^2 - 2\times\sqrt{\frac{x}{y}}\times\sqrt{\frac{y}{x}} + (\sqrt{\frac{y}{x}})^2 = (\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2$。
则$\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} - \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2}$。
因为$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \gt 0$，$\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} \lt 0$，所以$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$，$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = -(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}) = \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}$。
则$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} - \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = (\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}) - (\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}) = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} = 2\sqrt{\frac{x}{y}}$。
将$\frac{x}{y} = \frac{1}{16}$代入$2\sqrt{\frac{x}{y}}$中，可得$2\sqrt{\frac{1}{16}} = 2\times\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】：$\frac{1}{2}$
本题可先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，进而求出$y$的值，再将$x$、$y$的值代入所求式子进行计算。
- **步骤一：根据二次根式有意义的条件求出$x$的值**
要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，则被开方数$a\geqslant0$。
在$y = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} + 4$中，$\sqrt{1 - 4x}$与$\sqrt{4x - 1}$都要有意义，则$\begin{cases}1 - 4x\geqslant0\\4x - 1\geqslant0\end{cases}$。
解不等式$1 - 4x\geqslant0$，移项可得$-4x\geqslant -1$，两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得$x\leqslant\frac{1}{4}$。
解不等式$4x - 1\geqslant0$，移项可得$4x\geqslant 1$，两边同时除以$4$，解得$x\geqslant\frac{1}{4}$。
所以$x$的取值既要满足$x\leqslant\frac{1}{4}$又要满足$x\geqslant\frac{1}{4}$，则$x = \frac{1}{4}$。
- **步骤二：求出$y$的值**
将$x = \frac{1}{4}$代入$y = \sqrt{1 - 4x} + \sqrt{4x - 1} + 4$中，可得$y = \sqrt{1 - 4\times\frac{1}{4}} + \sqrt{4\times\frac{1}{4} - 1} + 4 = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 4 = 4$。
- **步骤三：计算$\frac{x}{y}$与$\frac{y}{x}$的值**
将$x = \frac{1}{4}$，$y = 4$代入$\frac{x}{y}$与$\frac{y}{x}$中，可得$\frac{x}{y} = \frac{\frac{1}{4}}{4} = \frac{1}{16}$，$\frac{y}{x} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 16$。
- **步骤四：化简并计算$\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$的值**
对$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}$进行变形可得$\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x} = (\sqrt{\frac{x}{y}})^2 + 2\times\sqrt{\frac{x}{y}}\times\sqrt{\frac{y}{x}} + (\sqrt{\frac{y}{x}})^2 = (\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2$。
对$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}$进行变形可得$\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x} = (\sqrt{\frac{x}{y}})^2 - 2\times\sqrt{\frac{x}{y}}\times\sqrt{\frac{y}{x}} + (\sqrt{\frac{y}{x}})^2 = (\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2$。
则$\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} - \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2}$。
因为$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \gt 0$，$\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} \lt 0$，所以$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$，$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = -(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}}) = \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}$。
则$\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}})^2} - \sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}})^2} = (\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}) - (\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}) = \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} = 2\sqrt{\frac{x}{y}}$。
将$\frac{x}{y} = \frac{1}{16}$代入$2\sqrt{\frac{x}{y}}$中，可得$2\sqrt{\frac{1}{16}} = 2\times\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】：$\frac{1}{2}$
