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8. 如图，两条直线与双曲线分别交于点A，C，B，D，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD的形状一定是（
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形
A
）A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形
答案
8. A
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心为坐标原点，且过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。由此可得到四边形ABCD两条对角线的关系，再结合平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
∵ 反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心为原点O，
∴ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。
由图可知直线AC、BD均过原点，分别与双曲线交于A、C和B、D，
∴ OA=OC，OB=OD，即四边形ABCD的对角线互相平分。
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性；平行四边形的判定
【点评】
本题是反比例函数性质与平行四边形判定的基础综合题，解题核心是利用反比例函数的中心对称性得到对角线互相平分的结论，侧重考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数的性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心为坐标原点，且过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。由此可得到四边形ABCD两条对角线的关系，再结合平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
∵ 反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心为原点O，
∴ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。
由图可知直线AC、BD均过原点，分别与双曲线交于A、C和B、D，
∴ OA=OC，OB=OD，即四边形ABCD的对角线互相平分。
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的对称性；平行四边形的判定
【点评】
本题是反比例函数性质与平行四边形判定的基础综合题，解题核心是利用反比例函数的中心对称性得到对角线互相平分的结论，侧重考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与正比例函数$y=mx(m≠0)$的图象交于点$(2,1)$，则其另一个交点的坐标为
$(-2, -1)$
。答案
9. $(-2, -1)$
解析
【分析】
解题思路有两种：①常规解法：先将已知交点坐标分别代入两个函数解析式，求出k和m的值，得到两个函数的完整解析式，再联立两个解析式组成方程组，解方程组得到两组解，排除已知的交点坐标，即可得到另一个交点；②简便解法：回忆正比例函数和反比例函数的图象性质，二者的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点中心对称，已知一个交点坐标，直接写出其关于原点对称的点的坐标即可，这种方法更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵正比例函数$y=mx$的图象是过原点的直线，关于原点中心对称，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是双曲线，也关于原点中心对称，
∴两个函数图象的交点也关于原点中心对称。
∵其中一个交点为$(2,1)$，关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，
∴另一个交点的坐标为$(-2,-1)$。
方法二（待定系数法联立求解）：
将点$(2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$，即反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$；
将点$(2,1)$代入$y=mx$，得$1=2m$，解得$m=\frac{1}{2}$，即正比例函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$；
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{2}{x}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，
将第二个式子代入第一个式子，得$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$，两边同乘$2x$（$x≠0$）得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$，
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，
∴另一个交点坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
正比例函数的性质、反比例函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正反比例函数交点的求解，既可以通过常规的待定系数法联立方程组求解，也可以利用函数的中心对称性快速得出结果，掌握函数的对称性质可以有效简化计算、提升解题速度。
【难度系数】
0.85
解题思路有两种：①常规解法：先将已知交点坐标分别代入两个函数解析式，求出k和m的值，得到两个函数的完整解析式，再联立两个解析式组成方程组，解方程组得到两组解，排除已知的交点坐标，即可得到另一个交点；②简便解法：回忆正比例函数和反比例函数的图象性质，二者的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点中心对称，已知一个交点坐标，直接写出其关于原点对称的点的坐标即可，这种方法更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵正比例函数$y=mx$的图象是过原点的直线，关于原点中心对称，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是双曲线，也关于原点中心对称，
∴两个函数图象的交点也关于原点中心对称。
∵其中一个交点为$(2,1)$，关于原点对称的点的坐标特征为横、纵坐标均互为相反数，
∴另一个交点的坐标为$(-2,-1)$。
方法二（待定系数法联立求解）：
将点$(2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$，即反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$；
将点$(2,1)$代入$y=mx$，得$1=2m$，解得$m=\frac{1}{2}$，即正比例函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$；
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{2}{x}\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，
将第二个式子代入第一个式子，得$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$，两边同乘$2x$（$x≠0$）得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$，
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，
∴另一个交点坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
正比例函数的性质、反比例函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查正反比例函数交点的求解，既可以通过常规的待定系数法联立方程组求解，也可以利用函数的中心对称性快速得出结果，掌握函数的对称性质可以有效简化计算、提升解题速度。
【难度系数】
0.85
10. 已知反比例函数的图象经过点$A(-4,3)$.
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？
$y$随$x$的增大如何变化？
（2）点$B(-3,4)$，$C(\dfrac{3}{2}, -8)$和$D(-1,7)$是否在这个函数的图象上？
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？
$y$随$x$的增大如何变化？
（2）点$B(-3,4)$，$C(\dfrac{3}{2}, -8)$和$D(-1,7)$是否在这个函数的图象上？
答案
解 (1) 这个函数的图象位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
(2) 点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。
(2) 点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。
解析
【分析】
解决本题需按以下思路逐步推导：
第一步，先用待定系数法求反比例函数解析式：设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将已知点A的坐标代入即可求出k值，确定函数表达式。
第二步，解决第(1)问：根据反比例函数的性质，由k的正负判断图象分布的象限，以及y随x的变化规律。
第三步，解决第(2)问：反比例函数图象上所有点的横、纵坐标乘积都等于k，因此只需计算每个点的横、纵坐标的乘积，判断是否等于k即可确定点是否在图象上。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵函数图象经过点$A(-4,3)$，将$x=-4、y=3$代入解析式得：
$3=\frac{k}{-4}$，解得$k=-12$，
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1)
∵$k=-12＜0$，
∴这个函数的图象分布在第二、第四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 若点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标乘积等于$k=-12$：
① 对点$B(-3,4)$：$x× y=(-3)×4=-12=k$，故点B在函数图象上；
② 对点$C(\frac{3}{2},-8)$：$x× y=\frac{3}{2}×(-8)=-12=k$，故点C在函数图象上；
③ 对点$D(-1,7)$：$x× y=(-1)×7=-7≠-12$，故点D不在函数图象上。
【答案】
(1) 这个函数的图象位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
(2) 点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是先求出比例系数k，再结合反比例函数的相关性质即可解题，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题需按以下思路逐步推导：
第一步，先用待定系数法求反比例函数解析式：设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将已知点A的坐标代入即可求出k值，确定函数表达式。
第二步，解决第(1)问：根据反比例函数的性质，由k的正负判断图象分布的象限，以及y随x的变化规律。
第三步，解决第(2)问：反比例函数图象上所有点的横、纵坐标乘积都等于k，因此只需计算每个点的横、纵坐标的乘积，判断是否等于k即可确定点是否在图象上。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵函数图象经过点$A(-4,3)$，将$x=-4、y=3$代入解析式得：
$3=\frac{k}{-4}$，解得$k=-12$，
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1)
∵$k=-12＜0$，
∴这个函数的图象分布在第二、第四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 若点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标乘积等于$k=-12$：
① 对点$B(-3,4)$：$x× y=(-3)×4=-12=k$，故点B在函数图象上；
② 对点$C(\frac{3}{2},-8)$：$x× y=\frac{3}{2}×(-8)=-12=k$，故点C在函数图象上；
③ 对点$D(-1,7)$：$x× y=(-1)×7=-7≠-12$，故点D不在函数图象上。
【答案】
(1) 这个函数的图象位于第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
(2) 点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，核心是先求出比例系数k，再结合反比例函数的相关性质即可解题，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 已知反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若点$A(-4,y_1)$，$B(-1,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值$y_1$，$y_2$的大小.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若点$A(-4,y_1)$，$B(-1,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值$y_1$，$y_2$的大小.
答案
11. 解 (1) 因为反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限，所以$k-2＜0$. 所以$k＜2$.
(2) 因为反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限，所以当$x＜0$时，y随x的增大而增大. 因为$-4＜-1＜0$，所以$y_1＜y_2$.
(2) 因为反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限，所以当$x＜0$时，y随x的增大而增大. 因为$-4＜-1＜0$，所以$y_1＜y_2$.
解析
【分析】
（1）解决第一问需结合反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a\ne0$），若图象位于第二、第四象限，则比例系数$a＜0$，据此列出关于$k$的不等式求解即可。
（2）解决第二问时，先根据第一问得到的比例系数符号，判断函数的增减性：当$a＜0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；再判断点A、B的横坐标均为负，同属第二象限，最后比较横坐标的大小，结合增减性即可得出$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴$k-2＜0$，
解得$k＜2$。
（2）由（1）可知$k-2＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-4,y_1)$、$B(-1,y_2)$都在第二象限，且$-4＜-1＜0$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$k＜2$；（2）$y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系；反比例函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数基本性质的掌握，解题时要注意：利用增减性比较函数值大小前，必须先判断两点是否在同一象限，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问需结合反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a\ne0$），若图象位于第二、第四象限，则比例系数$a＜0$，据此列出关于$k$的不等式求解即可。
（2）解决第二问时，先根据第一问得到的比例系数符号，判断函数的增减性：当$a＜0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大；再判断点A、B的横坐标均为负，同属第二象限，最后比较横坐标的大小，结合增减性即可得出$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
（1）
∵反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、第四象限，
∴$k-2＜0$，
解得$k＜2$。
（2）由（1）可知$k-2＜0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-4,y_1)$、$B(-1,y_2)$都在第二象限，且$-4＜-1＜0$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）$k＜2$；（2）$y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数图象与系数的关系；反比例函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数基本性质的掌握，解题时要注意：利用增减性比较函数值大小前，必须先判断两点是否在同一象限，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
