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1. 如图,已知$∠ CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC$,点F是AB边的中点,则$DF=$（
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.2
D.1
A
）A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.2
D.1
答案
∵∠CAD=90°,AD=3,AC=4,
∴DC=√(AD²+AC²)=√(3²+4²)=5. 又
∵DE=EC,
∴AE=1/2 DC=5/2.
∵BD=DE,点F是AB边的中点,
∴DF=1/2 AE=5/4.
2. 新考法建立坐标系法 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°,AC=2$.点$P$在边$AC$上,过点$P$作$PD⊥ AB$,垂足为$D$,过点$D$作$DF⊥ BC$,垂足为$F$.连结$PF$,取$PF$的中点$E$.在点$P$从点$A$到点$C$的运动过程中,点$E$所经过的路径长为
$\frac{\sqrt{19}}{4}$
.答案
以C为原点,建立如图所示的坐标系,设AP=a,则CP=2−a,
∴P(0,2−a).
∵∠ABO=30°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=60°.
∵PD⊥AB,
∴∠PDA=90°,
∴∠APD=30°,
∴AD=1/2 AP=a/2. 过点D作DG⊥AC于点G,则∠AGD=90°,
∴DG=AD·sin60°=√3/4 a.
∵DF⊥BC,DG⊥AC,∠ACB=90°,
∴四边形DGCF为矩形,
∴DG=CF,
∴F(√3/4 a,0).
∵E为PF的中点,
∴E(√3/8 a,1−1/2 a). 令x=√3/8 a,y=1−1/2 a,则y=1−4√3/3 x,
∴点E在直线y=1−4√3/3 x上运动. 当点P与A重合时,a=0,此时E(0,1),当点P与C重合时,a=2,此时E(√3/4,0),
∴点E所经过的路径长为√(1²+(√3/4)²)=√19/4.
3. [全国初中数学竞赛]如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠ C=90°$,$D$为$BC$的中点,将$△ ABC$折叠,使点$A$与点$D$重合,$EF$为折痕,则$\sin∠ BED$的值是（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{7}$
A
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{7}$
答案
∵△DEF是由△AEF翻折而成,
∴△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠EDF=45°,由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°,
∴∠BED=∠CDF,设CD=1,CF=x,则CA=CB=2,
∴DF=FA=2−x,
∴在Rt△CDF中,由勾股定理得,CF²+CD²=DF²,即x²+1=(2−x)²,解得x=3/4,
∴CF=3/4,DF=5/4,
∴sin∠BED=sin∠CDF=CF/DF=3/5.
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，$BC=8$，$CD=5$. 求$\sin∠ ACD$，$\cos∠ ACD$和$\tan∠ ACD$的值.
答案
如图.
∵在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB边上的中线,CD=5,
∴AD=BD=CD=5,AB=10.
∴∠A=∠ACD，
AC=√(AB²−BC²)=√(10²−8²)=6.
∴sin∠ACD=sin A=BC/AB=8/10=4/5，
cos∠ACD=cos A=AC/AB=6/10=3/5，
tan∠ACD=tan A=BC/AC=8/6=4/3.
5. 在$△ ABC$中，$\tan A=1$，$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$的形状是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
答案
B
6. 计算：$\frac{2\sin^2 45° · \tan 60°}{\cos 30°} + 4\tan 45° =$
6
。答案
6
7. 已知α为锐角，当$\frac{\tanα +1}{2}=1$时，求$\sin(α -15°)+\sqrt{3}\sin(α +15°)$的值。
答案
∵$\frac{\tan α +1}{2}=1$,
∴$\tan α=1$. 又
∵α为锐角,
∴$α=45°$.
∴$\sin(α-15°)+\sqrt{3}\sin(α+15°)=\sin 30°+\sqrt{3}\sin 60°=\frac{1}{2}+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2$.
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，根据下列条件解直角三角形.
(1)$a=2\sqrt{2}, c=4$; (2)$b+c=30, ∠ A - ∠ B=30°$.
(1)$a=2\sqrt{2}, c=4$; (2)$b+c=30, ∠ A - ∠ B=30°$.
答案
(1)
∵$a=2\sqrt{2},c=4$,
∴$b=\sqrt{c^2-a^2}=2\sqrt{2}$.
∴Rt△ABC是等腰直角三角形,
∴$∠A=∠B=45°$.
(2)
∵$∠C=90°$,
∴$∠A+∠B=90°$.
∵$∠A-∠B=30°$,
∴$∠A=60°,∠B=30°$.
∵$\sin 30°=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$,
∴$b=\frac{1}{2}c$.
又
∵$b+c=30$,
∴$\frac{1}{2}c+c=30$,解得$c=20$.
∴$b=10$,
∴$a=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$.
∵$a=2\sqrt{2},c=4$,
∴$b=\sqrt{c^2-a^2}=2\sqrt{2}$.
∴Rt△ABC是等腰直角三角形,
∴$∠A=∠B=45°$.
(2)
∵$∠C=90°$,
∴$∠A+∠B=90°$.
∵$∠A-∠B=30°$,
∴$∠A=60°,∠B=30°$.
∵$\sin 30°=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$,
∴$b=\frac{1}{2}c$.
又
∵$b+c=30$,
∴$\frac{1}{2}c+c=30$,解得$c=20$.
∴$b=10$,
∴$a=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$.
9. 新考法构造特殊三角形法 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=150°$,$AC=4$,$\tan B=\dfrac{1}{8}$.
(1)求$BC$的长;
(2)利用此图形求$\tan 15°$的值.(精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{5}\approx2.2$)
(1)求$BC$的长;
(2)利用此图形求$\tan 15°$的值.(精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{5}\approx2.2$)
答案
(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图.
∵$∠ACB=150°$,
∴$∠ACD=30°$.
又
∵在Rt△ADC中,$AC=4$,
∴$AD=\frac{1}{2}AC=2$,$CD=AC·\cos 30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
∵在Rt△ABD中,$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{2}{BD}=\frac{1}{8}$,
∴$BD=16$.
∴$BC=BD-CD=16-2\sqrt{3}$.
(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连结AM,如图所示.
∵$∠ACB=150°$,
∴易得$∠AMC=15°$.
由(1)得$AD=2$,$CD=2\sqrt{3}$,
∴$MD=4+2\sqrt{3}$.
∴$\tan 15°=\tan∠AMD=\frac{AD}{MD}=\frac{2}{4+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}≈0.3$.
