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5.有梨和苹果若干个，梨的个数是两种水果总个数的$\frac{3}{5}$少17个，苹果的个数是两种水果总个数的$\frac{4}{7}$少31个，那么梨和苹果各有多少个？
答案
解:设梨和苹果共有x个.根据题意,得$x-(\frac{3}{5}x-17)=\frac{4}{7}x-31$,解得x=280.$280×\frac{3}{5}-17=168-17=151$(个),280-151=129(个).答:梨有151个,苹果有129个.
解析
【分析】
观察题目可知，梨和苹果的数量都和两种水果的总个数直接相关，若直接设梨或苹果的数量为未知数，很难顺利列出方程，因此优先设总个数为未知数$x$。先用含$x$的式子分别表示出梨的个数$\frac{3}{5}x-17$、苹果的个数$\frac{4}{7}x-31$，再根据“总个数减去梨的个数等于苹果的个数”这一等量关系列方程，解出总个数后，代入对应表达式就能求出梨和苹果各自的数量。
【解析】
解：设梨和苹果共有$x$个。
根据等量关系“总个数$-$梨的个数$=$苹果的个数”列方程：
$x-(\frac{3}{5}x-17)=\frac{4}{7}x-31$
去括号得：$x-\frac{3}{5}x+17=\frac{4}{7}x-31$
合并同类项得：$\frac{2}{5}x+17=\frac{4}{7}x-31$
移项得：$\frac{4}{7}x-\frac{2}{5}x=17+31$
通分计算得：$\frac{6}{35}x=48$
系数化为1得：$x=280$
梨的个数：$280×\frac{3}{5}-17=168-17=151$（个）
苹果的个数：$280-151=129$（个）
【答案】
梨有151个，苹果有129个。
【知识点】
列一元一次方程解应用题、分数四则运算、等量关系确定
【点评】
本题是分数实际应用的典型题型，解题核心是找到和两个已知条件都关联的总数量作为中间未知量设元，再结合数量间的内在联系列方程求解，掌握设中间未知量的技巧能大幅降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.6
观察题目可知，梨和苹果的数量都和两种水果的总个数直接相关，若直接设梨或苹果的数量为未知数，很难顺利列出方程，因此优先设总个数为未知数$x$。先用含$x$的式子分别表示出梨的个数$\frac{3}{5}x-17$、苹果的个数$\frac{4}{7}x-31$，再根据“总个数减去梨的个数等于苹果的个数”这一等量关系列方程，解出总个数后，代入对应表达式就能求出梨和苹果各自的数量。
【解析】
解：设梨和苹果共有$x$个。
根据等量关系“总个数$-$梨的个数$=$苹果的个数”列方程：
$x-(\frac{3}{5}x-17)=\frac{4}{7}x-31$
去括号得：$x-\frac{3}{5}x+17=\frac{4}{7}x-31$
合并同类项得：$\frac{2}{5}x+17=\frac{4}{7}x-31$
移项得：$\frac{4}{7}x-\frac{2}{5}x=17+31$
通分计算得：$\frac{6}{35}x=48$
系数化为1得：$x=280$
梨的个数：$280×\frac{3}{5}-17=168-17=151$（个）
苹果的个数：$280-151=129$（个）
【答案】
梨有151个，苹果有129个。
【知识点】
列一元一次方程解应用题、分数四则运算、等量关系确定
【点评】
本题是分数实际应用的典型题型，解题核心是找到和两个已知条件都关联的总数量作为中间未知量设元，再结合数量间的内在联系列方程求解，掌握设中间未知量的技巧能大幅降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.6
6.在一次“青少年心理健康讲座”中每排坐30人,则有8人无座位;每排坐31人,则空26个座位.设座位有$x$排,则下列方程正确的是 (
A.$30x - 8 = 31x + 26$
B.$30x + 8 = 31x + 26$
C.$30x - 8 = 31x - 26$
D.$30x + 8 = 31x - 26$
D
)A.$30x - 8 = 31x + 26$
B.$30x + 8 = 31x + 26$
C.$30x - 8 = 31x - 26$
D.$30x + 8 = 31x - 26$
答案
D
解析
【分析】
解决这类列方程的实际问题，首先要找到题目中的不变量，本题中听讲座的总人数、座位排数都是固定不变的，排数已经设为x，所以我们只需用两种不同的坐法分别表示出总人数，令两个表达式相等即可列出方程。第一步分析第一种坐法的总人数：每排坐30人，x排共坐下30x人，还有8人无座位，说明总人数比30x多8，即总人数=30x+8；第二步分析第二种坐法的总人数：每排坐31人，x排若坐满共有31x个座位，现在空26个座位，说明总人数比31x少26，即总人数=31x-26；第三步联立两个总人数的表达式，对应正确选项即可。
【解析】
本题的核心等量关系为：两种坐法对应的总人数相等。
① 当每排坐30人时：
已就坐人数为 $30x$，还有8人无座位，因此总人数为 $30x + 8$；
② 当每排坐31人时：
x排总座位数为 $31x$，空出26个座位，说明实际总人数比总座位数少26，因此总人数为 $31x - 26$；
因为总人数不变，所以可列方程：$30x + 8 = 31x - 26$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别；列一元一次方程
【点评】
本题是典型的盈亏类实际应用题，解题的关键是抓住总人数这个不变量建立等式，要准确理解“无座位”“空座位”对应的数量关系，避免混淆加减符号。
【难度系数】
0.7
解决这类列方程的实际问题，首先要找到题目中的不变量，本题中听讲座的总人数、座位排数都是固定不变的，排数已经设为x，所以我们只需用两种不同的坐法分别表示出总人数，令两个表达式相等即可列出方程。第一步分析第一种坐法的总人数：每排坐30人，x排共坐下30x人，还有8人无座位，说明总人数比30x多8，即总人数=30x+8；第二步分析第二种坐法的总人数：每排坐31人，x排若坐满共有31x个座位，现在空26个座位，说明总人数比31x少26，即总人数=31x-26；第三步联立两个总人数的表达式，对应正确选项即可。
【解析】
本题的核心等量关系为：两种坐法对应的总人数相等。
① 当每排坐30人时：
已就坐人数为 $30x$，还有8人无座位，因此总人数为 $30x + 8$；
② 当每排坐31人时：
x排总座位数为 $31x$，空出26个座位，说明实际总人数比总座位数少26，因此总人数为 $31x - 26$；
因为总人数不变，所以可列方程：$30x + 8 = 31x - 26$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别；列一元一次方程
【点评】
本题是典型的盈亏类实际应用题，解题的关键是抓住总人数这个不变量建立等式，要准确理解“无座位”“空座位”对应的数量关系，避免混淆加减符号。
【难度系数】
0.7
7.学校为促进“阳光体育运动”开展，准备添置一批篮球，原计划订购60个，每个售价100元.商店表示:如果多购可以优惠，结果校方买了70个，每个只售97元，但商店所获利润不变，求每个篮球的成本价.
(1)找出题中能体现等量关系的关键句子，并列出等量关系；
(2)根据所列等量关系设未知数，并列方程解决问题.
(1)找出题中能体现等量关系的关键句子，并列出等量关系；
(2)根据所列等量关系设未知数，并列方程解决问题.
答案
(1)解:体现等量关系的关键句子:原计划订购60个,每个售价100元,结果校方买了70个,每个只售97元,但商店所获利润不变.(100-每个篮球的成本价)×60=(97-每个篮球的成本价)×70.
(2)设每个篮球的成本价为x元.由题意,得60(100-x)=70(97-x).解得x=79.答:每个篮球的成本价为79元.
(2)设每个篮球的成本价为x元.由题意,得60(100-x)=70(97-x).解得x=79.答:每个篮球的成本价为79元.
解析
【分析】
本题属于销售利润类实际问题，解题思路清晰：
(1) 首先定位题目中的不变量，题干明确给出“商店所获利润不变”，这是建立等量关系的核心依据。结合总利润的计算公式：总利润=（单个售价-单个成本）×销售数量，可得出原计划销售的总利润等于实际销售的总利润，据此就能写出对应的等量关系。
(2) 第二问列方程求解时，将未知的成本价设为未知数，代入第一问得到的等量关系即可得到一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一元一次方程求解步骤计算，就能得到成本价。
【解析】
(1) 体现等量关系的关键句子：原计划订购60个，每个售价100元，结果校方买了70个，每个只售97元，但商店所获利润不变。
等量关系：(100-每个篮球的成本价)×60=(97-每个篮球的成本价)×70
(2) 设每个篮球的成本价为x元，由题意得：
$\begin{aligned}60(100-x)&=70(97-x)\\6000-60x&=6790-70x\\-60x+70x&=6790-6000\\10x&=790\\x&=79\end{aligned}$
答：每个篮球的成本价为79元。
【答案】
(1) 关键句子：原计划订购60个,每个售价100元,结果校方买了70个,每个只售97元,但商店所获利润不变；等量关系：$(100-每个篮球的成本价)×60=(97-每个篮球的成本价)×70$
(2) 每个篮球的成本价为79元
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算；等量关系确定
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，解题核心是抓住“总利润不变”这一关键条件建立等式，只要熟练掌握销售利润的计算方法和一元一次方程的解法，就能顺利解答，侧重考查对实际问题的分析转化能力。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类实际问题，解题思路清晰：
(1) 首先定位题目中的不变量，题干明确给出“商店所获利润不变”，这是建立等量关系的核心依据。结合总利润的计算公式：总利润=（单个售价-单个成本）×销售数量，可得出原计划销售的总利润等于实际销售的总利润，据此就能写出对应的等量关系。
(2) 第二问列方程求解时，将未知的成本价设为未知数，代入第一问得到的等量关系即可得到一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的一元一次方程求解步骤计算，就能得到成本价。
【解析】
(1) 体现等量关系的关键句子：原计划订购60个，每个售价100元，结果校方买了70个，每个只售97元，但商店所获利润不变。
等量关系：(100-每个篮球的成本价)×60=(97-每个篮球的成本价)×70
(2) 设每个篮球的成本价为x元，由题意得：
$\begin{aligned}60(100-x)&=70(97-x)\\6000-60x&=6790-70x\\-60x+70x&=6790-6000\\10x&=790\\x&=79\end{aligned}$
答：每个篮球的成本价为79元。
【答案】
(1) 关键句子：原计划订购60个,每个售价100元,结果校方买了70个,每个只售97元,但商店所获利润不变；等量关系：$(100-每个篮球的成本价)×60=(97-每个篮球的成本价)×70$
(2) 每个篮球的成本价为79元
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算；等量关系确定
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，解题核心是抓住“总利润不变”这一关键条件建立等式，只要熟练掌握销售利润的计算方法和一元一次方程的解法，就能顺利解答，侧重考查对实际问题的分析转化能力。
【难度系数】
0.7
8.(数学文化)《九章算术》中有这样一个问题，原文如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”大意为：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）
答案
解:设有x人.由题意,得8x-3=7x+4.解得x=7.故8x-3=8×7-3=53.答:有7人,物品的价格是53钱.
解析
【分析】
本题属于一元一次方程的实际应用类题型，解题核心是抓住题目中的不变量构建等量关系。本题中物品的总价格是固定不变的，我们可以先设参与购买物品的人数为未知数，分别根据两种出钱规则表示出物品的总价，依据总价相等列方程，先求解出人数，再代入计算出物价即可。
【解析】
解：设有x人。
根据物品价格不变的等量关系，每人出8钱多3钱，物价可表示为$8x - 3$；每人出7钱少4钱，物价可表示为$7x + 4$，因此列方程：
$8x - 3 = 7x + 4$
移项计算得：$x = 7$
将$x=7$代入$8x - 3$计算物价：$8×7 - 3 = 53$（钱）
答：有7人，物品的价格是53钱。
【答案】
有7人，物品的价格是53钱。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系构建；盈亏问题求解
【点评】
本题结合传统数学文化《九章算术》的内容出题，考查实际问题的方程求解能力，解题关键是找准题目中的不变量建立等式，属于方程应用的基础题型，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程的实际应用类题型，解题核心是抓住题目中的不变量构建等量关系。本题中物品的总价格是固定不变的，我们可以先设参与购买物品的人数为未知数，分别根据两种出钱规则表示出物品的总价，依据总价相等列方程，先求解出人数，再代入计算出物价即可。
【解析】
解：设有x人。
根据物品价格不变的等量关系，每人出8钱多3钱，物价可表示为$8x - 3$；每人出7钱少4钱，物价可表示为$7x + 4$，因此列方程：
$8x - 3 = 7x + 4$
移项计算得：$x = 7$
将$x=7$代入$8x - 3$计算物价：$8×7 - 3 = 53$（钱）
答：有7人，物品的价格是53钱。
【答案】
有7人，物品的价格是53钱。
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系构建；盈亏问题求解
【点评】
本题结合传统数学文化《九章算术》的内容出题，考查实际问题的方程求解能力，解题关键是找准题目中的不变量建立等式，属于方程应用的基础题型，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
