10. ★★★（百色中考）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是$S_1$，$S_2$，$S$，则$S_1$，$S_2$，$S$的关系是（用“＞”“＜”或“=”连起来）。

10. $S_1=S＜S_2$ 解析:
∵ 立体图形是长方体,
∴ 底面 $ABCD //$ 底面 EFGH.
∵ 矩形 EFGH 的投影是矩形 ABCD,
∴ $S_1 = S$.
∵ $EM＞EF,EH=EH,∴ S_1＜S_2,∴ S_1 = S＜S_2$.

【分析】
解题时先结合正投影性质推导$S_1$和$S$的关系，再通过边长比较$S_1$和$S_2$的大小。第一步：根据长方体特征，上下底面互相平行，平行于投影面的平面图形的正投影面积与原图形面积相等，已知矩形EFGH的投影是ABCD，即可推出$S_1=S$；第二步：分析两个矩形的边长，矩形EMNH和EFGH有公共边EH，只需比较另一边的长度，EM是斜线段，长度大于棱长EF，根据矩形面积公式即可推出$S_2＞S_1$。
【解析】
∵ 该立体图形是长方体，
∴ 底面$ABCD //$底面$EFGH$，
∵ 矩形EFGH的投影是矩形ABCD，平行于投影面的平面图形的正投影与原图形面积相等，
∴ $S_1 = S$。
∵ 矩形EMNH与矩形EFGH的公共边$EH=EH$，斜线段$EM＞EF$，
根据矩形面积公式$S_{\mathrm{矩形}}=长×宽$，边长EH相同，EM更长，因此$S_2 = EH· EM ＞ EH· EF = S_1$，
综上可得$S_1=S＜S_2$。
【答案】
$S_1=S＜S_2$
【知识点】
正投影的性质，长方体的特征，矩形面积计算
【点评】
本题结合长方体考查正投影的性质和矩形面积的比较，解题关键是掌握平行于投影面的平面图形的正投影与原图形面积相等，再通过边长大小关系判断面积大小。
【难度系数】
0.7

11. ★★★ 如图,用一个半径为1的半圆做成一个圆锥的侧面,再用光线照射这个圆锥,则在投影面上形成的阴影的面积为.

11. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 解析:圆锥在该投影面上的投影为一个等腰三角形,底为圆锥的底面直径,高为圆锥的高. 圆锥的底面直径为 $π×1×\frac{180}{180}÷π=1$,圆锥的高为 $\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2} =\frac{\sqrt{3}}{2}$. 所以在投影面上形成的阴影的面积为 $1×\frac{\sqrt{3}}{2} ×\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{3}}{4}$.

【分析】
要解决这道题，首先明确圆锥在平行光线正面照射下的正投影是等腰三角形，阴影面积就是这个等腰三角形的面积，需先求出三角形的底（圆锥底面直径）和高（圆锥的高）。第一步利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长的关系，求出底面半径，进而得到底面直径；第二步圆锥的母线长等于原半圆的半径，结合勾股定理求出圆锥的高；最后用三角形面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
解：①计算圆锥底面半径
已知用来做侧面的半圆半径为1，半圆的弧长等于圆锥底面的周长：
半圆弧长 $l=\frac{1}{2}×2π×1=π$
设圆锥底面半径为$r$，底面周长 $C=2π r=π$，解得 $r=\frac{1}{2}$，因此圆锥底面直径为 $2r=1$。
②计算圆锥的高
圆锥的母线长等于半圆的半径，即母线长为1，根据圆锥母线、高、底面半径满足勾股定理：
圆锥的高 $h=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
③计算投影阴影的面积
正投影为等腰三角形，底为底面直径1，高为圆锥的高$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则：
$S=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、正投影的特征、勾股定理
【点评】
本题结合了立体图形展开、正投影性质两个考点，需要理清侧面展开图弧长和底面周长的对应关系，同时要能正确判断正投影的形状，对空间想象能力和基础公式运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,投影线方向如图所示,点C在斜边AB上的正投影为点D.
(1)试写出边AC,BC在AB上的投影.
(2)试探究线段AC,AB和AD之间的关系.
(3)线段BC,AB和BD之间也有类似的关系吗?请直接写出结论.

12. (1)边 AC,BC 在 AB 上的投影分别为 AD,BD.
(2)
∵ 点 C 在斜边 AB 上的正投影为点 D,
∴ CD ⊥ AB,
∴ ∠ADC = 90°.
∵ ∠DAC = ∠CAB,
∴ △ADC ∽ △ACB,
∴ AC: AB=AD: AC,
∴ $AC^2 = AD · AB$.
(3)$BC^2 = BD · AB$. 解析:与(2)一样可证△BCD∽△BAC,则 BC: AB=BD: BC,
∴ $BC^2 = BD · AB$.

【分析】
(1) 解决第一问需结合正投影的定义分析：线段的正投影是线段两个端点在投影面上的投影的连线，本题中A、B在AB上的投影是自身，C的正投影是D，据此可直接得到AC、BC的投影。
(2) 第二问探究线段关系时，先由正投影的性质得到CD⊥AB，即可得到两组相等的角（公共角∠A、两个直角），证明△ADC与△ACB相似，再根据相似三角形对应边成比例整理即可得到三条线段的关系。
(3) 第三问和第二问思路一致，利用公共角∠B和两个直角证明△BCD与△BAC相似，同理推导即可得到对应结论。
【解析】
(1) 根据正投影的性质，线段的正投影为两端点投影的连线：点A在AB上的投影为自身，点C在AB上的正投影为D，因此AC在AB上的投影为AD；点B在AB上的投影为自身，因此BC在AB上的投影为BD。
(2) 推导过程如下：
∵ 点C在斜边AB上的正投影为点D，
∴ CD⊥AB，即$∠ ADC=90°$，
又$\because ∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ADC=∠ ACB$，
又$\because ∠ DAC=∠ CAB$（公共角），
∴ $△ ADC ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD· AB$。
(3) 同理可证$∠ CDB=∠ ACB=90°$，$∠ B$为公共角，故$△ BCD ∽ △ BAC$，可得$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，整理得$BC^2=BD· AB$。
【答案】
(1) 边AC、BC在AB上的投影分别为AD、BD；
(2) $AC^2 = AD · AB$；
(3) $BC^2 = BD · AB$。
【知识点】
正投影的定义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合正投影的概念考查相似三角形的应用，解题的关键是通过正投影的性质得到垂直关系，再利用公共角证明三角形相似，进而推导得到线段的数量关系，可帮助学生串联几何概念与相似的相关知识。
【难度系数】
0.7

13. 一个正方体的对角面垂直于投影面，正方体的正投影是一个面积为$25\sqrt{2}$的矩形，则该正方体的体积是，表面积是。

13. 125 150 解析:
∵ 正方体的对角面垂直于投影面,正投影是一个面积为 $25\sqrt{2}$ 的矩形,
∴ 矩形的宽就是棱长,长是棱长的 $\sqrt{2}$ 倍. 设正方体的棱长为 a,则 $a×\sqrt{2} a=25\sqrt{2},∴ a=5,∴$ 该正方体的体积是 $5^3=125$,表面积是 $6×5^2=150$.

【分析】
解题首先结合正投影的性质分析投影矩形的边长与正方体棱长的关系：当正方体的对角面垂直于投影面时，正投影得到的矩形的一边长等于正方体的棱长，另一边长等于正方体的面对角线长，为棱长的$\sqrt{2}$倍。接下来设棱长为$a$，根据投影矩形的面积列方程求出棱长，再分别代入正方体体积、表面积公式计算即可。
【解析】
设正方体的棱长为$a$。
∵正方体的对角面垂直于投影面，
∴正投影得到的矩形的宽为正方体的棱长$a$，长为正方体的面对角线长$\sqrt{2}a$。
已知矩形面积为$25\sqrt{2}$，可列方程：
$a×\sqrt{2}a=25\sqrt{2}$
化简得$\sqrt{2}a^2=25\sqrt{2}$，两边同时除以$\sqrt{2}$得$a^2=25$，解得$a=5$（棱长为正数，舍去负根）。
则正方体的体积为$a^3=5^3=125$；
正方体的表面积为$6a^2=6×5^2=150$。
【答案】
$125$；$150$
【知识点】
正投影的性质，正方体体积计算，正方体表面积计算
【点评】
本题考查正投影性质与正方体相关计算的结合应用，解题的核心是准确判断投影矩形的边长与正方体棱长的对应关系，需要具备一定的空间想象能力，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7

14. 在平面直角坐标系中,图形 W 在坐标轴上的投影长度定义如下:设点 $P(x_{1},y_{1})$, $Q(x_{2},y_{2})$ 是图形 W 上的任意两点,若 $|x_{1}-x_{2}|$ 的最大值为 m,则图形 W 在 x 轴上的投影长度为 $l_{x}=m$;若 $|y_{1}-y_{2}|$ 的最大值为 n,则图形 W 在 y 轴上的投影长度为 $l_{y}=n$.如图①,图形 W 在 x 轴上的投影长度为 $l_{x}=|4-0|=4$;在 y 轴上的投影长度为 $l_{y}=|3-0|=3$.
(1)已知点 $A(1,2),B(2,3),C(3,1)$,如图②所示,若图形 W 为四边形 OABC,则 $l_{x}=$ ,$l_{y}=$ ;
(2)已知点 $C(-\dfrac{3}{2},0)$,点 D 在直线 $y=\dfrac{1}{2}x-1(x＜0)$上,若图形 W 为 $△ OCD$,当 $l_{x}=l_{y}$ 时,求点 D 的坐标.

14. (1)3 3 解析:
∵ B(2,3),
∴ 点 B 在 y 轴上的正投影的坐标为(0,3),
∴ 四边形 OABC 在 y 轴上的投影长度 $l_y=3$.
∵ C(3,1),
∴ 点 C 在 x 轴上的正投影的坐标为(3,0).
∴ 四边形 OABC 在 x 轴上的投影长度 $l_x=3$.
(2)
∵ 点 D 在直线 $y=\frac{1}{2}x-1(x＜0)$ 上,
∴ 设 $D(x,\frac{1}{2}x-1)$.
①当 $-\frac{3}{2} ≤x＜0$ 时,$0 - (-\frac{3}{2} )= 0 - (\frac{1}{2} x -1 ),∴ x=-1,∴$ 点 D 的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2} )$.
②当 $x＜-\frac{3}{2}$ 时,$0-x=0-(\frac{1}{2} x -1 ),∴ x=-2,∴$ 点 D 的坐标为(-2,-2).
综上所述,点 D 的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2} )$ 或(-2,-2).

【分析】
(1) 根据题目给出的投影长度定义，先找到四边形OABC所有顶点的横、纵坐标，分别计算横坐标的最大差值、纵坐标的最大差值，即可得到$l_x$和$l_y$。
(2) 先设出点D的坐标，点D在直线$y=\frac{1}{2}x-1(x＜0)$上，所以可设$D(x,\frac{1}{2}x-1)$，再根据点D横坐标的取值范围分两种情况讨论：①当$-\frac{3}{2} ≤x＜0$时，x轴投影长度由点C的横坐标和原点横坐标决定；②当$x＜-\frac{3}{2}$时，x轴投影长度由点D的横坐标和原点横坐标决定。分别根据$l_x=l_y$列方程求解，验证解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
(1) 四边形OABC的顶点坐标为$O(0,0)$，$A(1,2)$，$B(2,3)$，$C(3,1)$。
横坐标的最大值为3，最小值为0，因此$l_x=|3-0|=3$；
纵坐标的最大值为3，最小值为0，因此$l_y=|3-0|=3$。
(2) 设点D的坐标为$(x,\frac{1}{2}x-1)$，其中$x＜0$。
△OCD的三个顶点横坐标为$-\frac{3}{2}$、0、x，纵坐标为0、0、$\frac{1}{2}x-1$。
因为$x＜0$，所以$\frac{1}{2}x-1＜0$，纵坐标的最大值为0，最小值为$\frac{1}{2}x-1$，因此$l_y=0-(\frac{1}{2}x-1)=1-\frac{1}{2}x$。
分两种情况讨论：
① 当$-\frac{3}{2} ≤x＜0$时，横坐标的最大值为0，最小值为$-\frac{3}{2}$，因此$l_x=0-(-\frac{3}{2})=\frac{3}{2}$。
令$l_x=l_y$，即$\frac{3}{2}=1-\frac{1}{2}x$，解得$x=-1$，符合$-\frac{3}{2} ≤x＜0$的范围，此时$\frac{1}{2}x-1=-\frac{3}{2}$，即$D(-1,-\frac{3}{2})$。
② 当$x＜-\frac{3}{2}$时，横坐标的最大值为0，最小值为x，因此$l_x=0-x=-x$。
令$l_x=l_y$，即$-x=1-\frac{1}{2}x$，解得$x=-2$，符合$x＜-\frac{3}{2}$的范围，此时$\frac{1}{2}x-1=-2$，即$D(-2,-2)$。
综上，点D的坐标为$(-1,-\frac{3}{2})$或$(-2,-2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{3}$；(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(-1,-\dfrac{3}{2})}$或$\boldsymbol{(-2,-2)}$
【知识点】
正投影的定义，一次函数的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查投影相关知识与一次函数的综合应用，解题关键是准确理解新定义的投影长度，同时在求解含参数的问题时，要根据参数的取值范围分类讨论，避免漏解，最后注意验证解是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6