登录
6.如图，AB切$\odot O$于点B，连接OA交$\odot O$于点C，$BD// OA$交$\odot O$于点D，连接CD，若$∠ OCD=25°$，则$∠ A=$。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，优先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB。再结合平行线的内错角相等得到圆周角∠BDC的度数，根据圆周角定理可求出对应圆心角∠BOC的度数，最后在直角三角形OAB中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切$\odot O$于点B，
∴ $OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
∵ $BD// OA$，$∠ OCD=25°$，
∴ $∠ BDC=∠ OCD=25°$（两直线平行，内错角相等），
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BOC=2∠ BDC=2×25°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ BOC=90°$，
∴ $∠ A=90° - 50°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，解题关键是正确作出过切点的半径这条辅助线，结合平行线、圆周角定理、切线性质逐步推导角度关系即可求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
遇到圆的切线问题，优先利用切线性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OB。再结合平行线的内错角相等得到圆周角∠BDC的度数，根据圆周角定理可求出对应圆心角∠BOC的度数，最后在直角三角形OAB中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切$\odot O$于点B，
∴ $OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
∵ $BD// OA$，$∠ OCD=25°$，
∴ $∠ BDC=∠ OCD=25°$（两直线平行，内错角相等），
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BOC=2∠ BDC=2×25°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ BOC=90°$，
∴ $∠ A=90° - 50°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，解题关键是正确作出过切点的半径这条辅助线，结合平行线、圆周角定理、切线性质逐步推导角度关系即可求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.75
7.如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，$OA⊥ BC$于点D，AE是$\odot O$的切线，AE交OC的延长线于点E.若$∠ AOC=45°$，$BC=2$，则线段AE的长为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用垂径定理，由OA⊥BC的垂直关系求出CD的长度；第二步，在Rt△ODC中，结合∠AOC=45°的条件，判定△ODC为等腰直角三角形，通过勾股定理求出半径OC（即OA）的长度；第三步，根据切线的性质得到OA⊥AE，判定△OAE为等腰直角三角形，即可得AE与OA相等，求出AE的长。
【解析】
解：
∵OA⊥BC，BC是⊙O的弦，根据垂径定理，
∴D为BC中点，$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△ODC中，∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-45°=45°，即△ODC为等腰直角三角形，
∴OD=CD=1，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径$OA=OC=\sqrt{2}$。
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，即∠OAE=90°，
又
∵∠AOE=∠AOC=45°，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA=$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是结合已知的垂直关系、45°角条件，分别在两个直角三角形中推导边长关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，利用垂径定理，由OA⊥BC的垂直关系求出CD的长度；第二步，在Rt△ODC中，结合∠AOC=45°的条件，判定△ODC为等腰直角三角形，通过勾股定理求出半径OC（即OA）的长度；第三步，根据切线的性质得到OA⊥AE，判定△OAE为等腰直角三角形，即可得AE与OA相等，求出AE的长。
【解析】
解：
∵OA⊥BC，BC是⊙O的弦，根据垂径定理，
∴D为BC中点，$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△ODC中，∠AOC=45°，
∴∠OCD=90°-45°=45°，即△ODC为等腰直角三角形，
∴OD=CD=1，
由勾股定理得$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径$OA=OC=\sqrt{2}$。
∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE，即∠OAE=90°，
又
∵∠AOE=∠AOC=45°，
∴△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA=$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是结合已知的垂直关系、45°角条件，分别在两个直角三角形中推导边长关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若$AC=PC=3\sqrt{3}$，求PB的长。
答案
解：连接OC，
∵ PC是⊙O的切线，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA，
又∵ AC=PC，
∴ ∠A=∠P，
∴ ∠OCA=∠A=∠P。
∵ ∠COP是△AOC的外角，
∴ ∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠COP+∠P=90°，
∴ 2∠P + ∠P = 90°，解得∠P=30°。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OP=2OC=2r。
由勾股定理得：$OC^2 + PC^2 = OP^2$，
代入$PC=3\sqrt{3}$，得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
$r^2 + 27 = 4r^2$
$3r^2=27$
∵ r＞0，∴ r=3。
∴ OP=2r=6，
又∵ OB=r=3，
∴ PB=OP - OB = 6 - 3 = 3。
答：PB的长为3。
∵ PC是⊙O的切线，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA，
又∵ AC=PC，
∴ ∠A=∠P，
∴ ∠OCA=∠A=∠P。
∵ ∠COP是△AOC的外角，
∴ ∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠COP+∠P=90°，
∴ 2∠P + ∠P = 90°，解得∠P=30°。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OP=2OC=2r。
由勾股定理得：$OC^2 + PC^2 = OP^2$，
代入$PC=3\sqrt{3}$，得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
$r^2 + 27 = 4r^2$
$3r^2=27$
∵ r＞0，∴ r=3。
∴ OP=2r=6，
又∵ OB=r=3，
∴ PB=OP - OB = 6 - 3 = 3。
答：PB的长为3。
解析
【分析】
遇到圆的切线问题时，“连接圆心和切点”是最常用的辅助线构造方法，可直接得到垂直关系。本题首先连接OC，利用切线性质得到直角；再结合等腰三角形等边对等角的性质，推导得到三个角∠A、∠OCA、∠P相等；随后通过三角形外角性质和直角三角形两锐角互余的关系求出∠P=30°，得到OP和OC的数量关系；再借助勾股定理求出圆的半径，最后用OP的长度减去OB的长度即可得到PB的长。
【解析】
连接OC，
∵ PC是⊙O的切线，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA，
又
∵ AC=PC，
∴ ∠A=∠P，
∴ ∠OCA=∠A=∠P。
∵ ∠COP是△AOC的外角，
∴ ∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠COP+∠P=90°，
∴ 2∠P + ∠P = 90°，解得∠P=30°。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OP=2OC=2r。
由勾股定理得：$OC^2 + PC^2 = OP^2$，
代入$PC=3\sqrt{3}$，得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
$r^2 + 27 = 4r^2$
$3r^2=27$
∵ r＞0，
∴ r=3。
∴ OP=2r=6，
又
∵ OB=r=3，
∴ PB=OP - OB = 6 - 3 = 3。
【答案】
PB的长为3
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆切线相关的常规基础题，解题核心是掌握“遇切线，连半径，得垂直”的辅助线构造思路，结合三角形的角度、边长性质即可求解，这类辅助线的构造方法是圆切线类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题时，“连接圆心和切点”是最常用的辅助线构造方法，可直接得到垂直关系。本题首先连接OC，利用切线性质得到直角；再结合等腰三角形等边对等角的性质，推导得到三个角∠A、∠OCA、∠P相等；随后通过三角形外角性质和直角三角形两锐角互余的关系求出∠P=30°，得到OP和OC的数量关系；再借助勾股定理求出圆的半径，最后用OP的长度减去OB的长度即可得到PB的长。
【解析】
连接OC，
∵ PC是⊙O的切线，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA，
又
∵ AC=PC，
∴ ∠A=∠P，
∴ ∠OCA=∠A=∠P。
∵ ∠COP是△AOC的外角，
∴ ∠COP=∠A+∠OCA=2∠A=2∠P。
在Rt△OCP中，∠COP+∠P=90°，
∴ 2∠P + ∠P = 90°，解得∠P=30°。
设⊙O的半径为r，则OC=r，OP=2OC=2r。
由勾股定理得：$OC^2 + PC^2 = OP^2$，
代入$PC=3\sqrt{3}$，得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2r)^2$
$r^2 + 27 = 4r^2$
$3r^2=27$
∵ r＞0，
∴ r=3。
∴ OP=2r=6，
又
∵ OB=r=3，
∴ PB=OP - OB = 6 - 3 = 3。
【答案】
PB的长为3
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆切线相关的常规基础题，解题核心是掌握“遇切线，连半径，得垂直”的辅助线构造思路，结合三角形的角度、边长性质即可求解，这类辅助线的构造方法是圆切线类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平面直角坐标系中,半径为5的$\odot M$经过x轴上一点C,与y轴交于A,B两点,连接AM,AC,AC平分$∠ OAM$,$AO+CO=6$.
(1)判断$\odot M$与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)求AB的长.
(1)判断$\odot M$与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)求AB的长.
答案
(1) 判断$\odot M$与$x$轴的位置关系并说明理由
$\odot M$与$x$轴相切，理由如下：
∵ $AC$平分$∠ OAM$，
∴ $∠ OAC = ∠ MAC$，
∵ $MA$、$MC$都是$\odot M$的半径，
∴ $MA = MC$，
∴ $∠ MAC = ∠ MCA$，
∴ $∠ OAC = ∠ MCA$，
∴ $OA // MC$，
又∵ $OA ⊥ x$轴，
∴ $MC ⊥ x$轴，
∵ $MC$是$\odot M$的半径，
∴ $\odot M$与$x$轴相切。
---
(2) 求$AB$的长
过点$M$作$MH ⊥ AB$于点$H$，
由垂径定理得：$AH = BH = \frac{1}{2}AB$。
设$AO = a$，$CO = b$，由题意得$a + b = 6$。
由(1)知$MC ⊥ x$轴，$∠ OHC = ∠ COH = ∠ OHM = 90°$，
∴ 四边形$OHMC$是矩形，
∴ $MH = CO = b$，$OH = MC = 5$，
∴ $AH = OH - AO = 5 - a$。
在$\mathrm{Rt}△ AMH$中，$∠ AHM = 90°$，$AM = 5$，由勾股定理得：
$AH^2 + MH^2 = AM^2$
代入得：
$(5 - a)^2 + b^2 = 25$
将$b = 6 - a$代入上式：
$(5 - a)^2 + (6 - a)^2 = 25$
整理得：
$a^2 - 11a + 18 = 0$
解得$a_1 = 2$，$a_2 = 9$。
∵ $a + b = 6$，$a$、$b$均为正数，
∴ $a=9$时$b=-3$不符合题意，舍去，
∴ $a=2$，$b=4$，
∴ $AH = 5 - 2 = 3$，
∴ $AB = 2AH = 6$。
答：$AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
$\odot M$与$x$轴相切，理由如下：
∵ $AC$平分$∠ OAM$，
∴ $∠ OAC = ∠ MAC$，
∵ $MA$、$MC$都是$\odot M$的半径，
∴ $MA = MC$，
∴ $∠ MAC = ∠ MCA$，
∴ $∠ OAC = ∠ MCA$，
∴ $OA // MC$，
又∵ $OA ⊥ x$轴，
∴ $MC ⊥ x$轴，
∵ $MC$是$\odot M$的半径，
∴ $\odot M$与$x$轴相切。
---
(2) 求$AB$的长
过点$M$作$MH ⊥ AB$于点$H$，
由垂径定理得：$AH = BH = \frac{1}{2}AB$。
设$AO = a$，$CO = b$，由题意得$a + b = 6$。
由(1)知$MC ⊥ x$轴，$∠ OHC = ∠ COH = ∠ OHM = 90°$，
∴ 四边形$OHMC$是矩形，
∴ $MH = CO = b$，$OH = MC = 5$，
∴ $AH = OH - AO = 5 - a$。
在$\mathrm{Rt}△ AMH$中，$∠ AHM = 90°$，$AM = 5$，由勾股定理得：
$AH^2 + MH^2 = AM^2$
代入得：
$(5 - a)^2 + b^2 = 25$
将$b = 6 - a$代入上式：
$(5 - a)^2 + (6 - a)^2 = 25$
整理得：
$a^2 - 11a + 18 = 0$
解得$a_1 = 2$，$a_2 = 9$。
∵ $a + b = 6$，$a$、$b$均为正数，
∴ $a=9$时$b=-3$不符合题意，舍去，
∴ $a=2$，$b=4$，
∴ $AH = 5 - 2 = 3$，
∴ $AB = 2AH = 6$。
答：$AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
(1) 判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离和半径的大小。本题已知⊙M半径为5，只需证明圆心M到x轴的距离等于半径即可：结合角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导角的等量关系得到OA//MC，再由OA垂直x轴推出MC垂直x轴，即可得出相切的结论。
(2) 求弦AB的长，优先考虑垂径定理：过M作AB的垂线，可将AB转化为2倍的AH，再结合已知AO+CO=6，设未知数，利用矩形的性质得到直角三角形各边的关系，通过勾股定理列方程求解，最终算出AB的长度。
【解析】
(1) ⊙M与x轴相切，理由如下：
∵ AC平分∠OAM，
∴ ∠OAC = ∠MAC，
∵ MA、MC都是⊙M的半径，
∴ MA = MC，
∴ ∠MAC = ∠MCA，
∴ ∠OAC = ∠MCA，
∴ OA//MC，
又
∵ OA⊥x轴，
∴ MC⊥x轴，
∵ MC是⊙M的半径，
∴ ⊙M与x轴相切。
(2) 过点M作MH⊥AB于点H，
由垂径定理得：$AH = BH = \frac{1}{2}AB$。
设$AO = a$，$CO = b$，由题意得$a + b = 6$。
由(1)知$MC ⊥ x$轴，$∠OHC = ∠COH = ∠OCM = 90°$，
∴ 四边形OHMC是矩形，
∴ $MH = CO = b$，$OH = MC = 5$，
∴ $AH = OH - AO = 5 - a$。
在$\mathrm{Rt}△AMH$中，$∠AHM = 90°$，$AM = 5$，由勾股定理得：
$AH^2 + MH^2 = AM^2$
代入得：
$(5 - a)^2 + b^2 = 25$
将$b = 6 - a$代入上式：
$(5 - a)^2 + (6 - a)^2 = 25$
整理得：
$a^2 - 11a + 18 = 0$
解得$a_1 = 2$，$a_2 = 9$。
∵ $a$、$b$均为正数，$a=9$时$b=-3$不符合题意，舍去，
∴ $a=2$，$b=4$，
∴ $AH = 5 - 2 = 3$，
∴ $AB = 2AH = 6$。
【答案】
(1) $\odot M$与$x$轴相切；
(2) $AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是灵活运用角平分线、等腰三角形的性质推导平行关系，结合垂径定理把弦长问题转化为直角三角形的边长问题，通过方程思想求解即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离和半径的大小。本题已知⊙M半径为5，只需证明圆心M到x轴的距离等于半径即可：结合角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，推导角的等量关系得到OA//MC，再由OA垂直x轴推出MC垂直x轴，即可得出相切的结论。
(2) 求弦AB的长，优先考虑垂径定理：过M作AB的垂线，可将AB转化为2倍的AH，再结合已知AO+CO=6，设未知数，利用矩形的性质得到直角三角形各边的关系，通过勾股定理列方程求解，最终算出AB的长度。
【解析】
(1) ⊙M与x轴相切，理由如下：
∵ AC平分∠OAM，
∴ ∠OAC = ∠MAC，
∵ MA、MC都是⊙M的半径，
∴ MA = MC，
∴ ∠MAC = ∠MCA，
∴ ∠OAC = ∠MCA，
∴ OA//MC，
又
∵ OA⊥x轴，
∴ MC⊥x轴，
∵ MC是⊙M的半径，
∴ ⊙M与x轴相切。
(2) 过点M作MH⊥AB于点H，
由垂径定理得：$AH = BH = \frac{1}{2}AB$。
设$AO = a$，$CO = b$，由题意得$a + b = 6$。
由(1)知$MC ⊥ x$轴，$∠OHC = ∠COH = ∠OCM = 90°$，
∴ 四边形OHMC是矩形，
∴ $MH = CO = b$，$OH = MC = 5$，
∴ $AH = OH - AO = 5 - a$。
在$\mathrm{Rt}△AMH$中，$∠AHM = 90°$，$AM = 5$，由勾股定理得：
$AH^2 + MH^2 = AM^2$
代入得：
$(5 - a)^2 + b^2 = 25$
将$b = 6 - a$代入上式：
$(5 - a)^2 + (6 - a)^2 = 25$
整理得：
$a^2 - 11a + 18 = 0$
解得$a_1 = 2$，$a_2 = 9$。
∵ $a$、$b$均为正数，$a=9$时$b=-3$不符合题意，舍去，
∴ $a=2$，$b=4$，
∴ $AH = 5 - 2 = 3$，
∴ $AB = 2AH = 6$。
【答案】
(1) $\odot M$与$x$轴相切；
(2) $AB$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是灵活运用角平分线、等腰三角形的性质推导平行关系，结合垂径定理把弦长问题转化为直角三角形的边长问题，通过方程思想求解即可，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
