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1.如图，AB为$\odot O$的直径，圆周角$∠ ABC=40°$，当$∠ BCD=$时，CD为$\odot O$的切线。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】要使CD为⊙O的切线，根据切线判定定理，需满足CD垂直于过切点C的半径OC，即∠OCD=90°。已知∠ABC=40°，结合OC、OB都是圆的半径，可得△OCB为等腰三角形，进而求出∠OCB的度数，用∠OCD减去∠OCB即可得到∠BCD的度数。
【解析】解：连接OC。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠ABC=40°。
若CD为⊙O的切线，根据切线判定定理，需OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴ ∠BCD=∠OCD - ∠OCB = 90° - 40° = 50°。
【答案】$\boldsymbol{50°}$
【知识点】切线的判定定理；等腰三角形的性质
【点评】本题是圆切线相关的基础题型，解题关键是明确切线的判定条件，结合等腰三角形等边对等角的性质进行角度计算即可，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：连接OC。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠ABC=40°。
若CD为⊙O的切线，根据切线判定定理，需OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∴ ∠BCD=∠OCD - ∠OCB = 90° - 40° = 50°。
【答案】$\boldsymbol{50°}$
【知识点】切线的判定定理；等腰三角形的性质
【点评】本题是圆切线相关的基础题型，解题关键是明确切线的判定条件，结合等腰三角形等边对等角的性质进行角度计算即可，难度较低。
【难度系数】0.8
2.如图，A是$\odot O$上一点，且$PA=12$，$PB=8$，$OB=5$，则PA与$\odot O$的位置关系是.
答案
相切
解析
【分析】
要判断PA与⊙O的位置关系，已知点A在圆上，根据切线的判定定理，只需证明PA垂直于过A点的半径OA即可。首先连接OA，先计算出OP、OA的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△PAO是否为直角三角形，验证∠PAO是否为直角，就能得出结论。
【解析】
解：连接OA
∵OA、OB都是⊙O的半径
∴OA=OB=5
∵PO=PB+OB，PB=8
∴PO=8+5=13
在△PAO中，PA=12，OA=5，PO=13
∴$PA^2 + OA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$PO^2 = 13^2 = 169$
∴$PA^2 + OA^2 = PO^2$
∴△PAO是直角三角形，且$∠ PAO=90°$，即$OA⊥ PA$
又
∵OA是⊙O的半径
∴PA是⊙O的切线。
【答案】
相切
【知识点】
切线的判定，勾股定理的逆定理，圆的半径性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题核心是掌握“连半径，证垂直”的切线判定常用思路，通过勾股逆定理证明垂直即可快速得出结论，是切线判定类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要判断PA与⊙O的位置关系，已知点A在圆上，根据切线的判定定理，只需证明PA垂直于过A点的半径OA即可。首先连接OA，先计算出OP、OA的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△PAO是否为直角三角形，验证∠PAO是否为直角，就能得出结论。
【解析】
解：连接OA
∵OA、OB都是⊙O的半径
∴OA=OB=5
∵PO=PB+OB，PB=8
∴PO=8+5=13
在△PAO中，PA=12，OA=5，PO=13
∴$PA^2 + OA^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$PO^2 = 13^2 = 169$
∴$PA^2 + OA^2 = PO^2$
∴△PAO是直角三角形，且$∠ PAO=90°$，即$OA⊥ PA$
又
∵OA是⊙O的半径
∴PA是⊙O的切线。
【答案】
相切
【知识点】
切线的判定，勾股定理的逆定理，圆的半径性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题核心是掌握“连半径，证垂直”的切线判定常用思路，通过勾股逆定理证明垂直即可快速得出结论，是切线判定类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3.如图,点B在$\odot A$上,点C在$\odot A$外,$\odot A$与AC相交于点D,连接BD,以下条件不能判定BC是$\odot A$的切线的是 ()
A.$BD=AB=CD$
B.$∠ ABC - ∠ C = ∠ A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$AD=CD$
A.$BD=AB=CD$
B.$∠ ABC - ∠ C = ∠ A$
C.$AB^2 + BC^2 = AC^2$
D.$AD=CD$
答案
D
解析
【分析】
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理，只需证明AB垂直于BC（即$∠ ABC=90°$）即可。我们逐一分析每个选项的条件，判断能否推出$∠ ABC=90°$，无法推出的即为符合题意的答案。
【解析】
切线判定的核心结论：若$AB⊥ BC$，则BC是$\odot A$的切线，据此分析选项：
选项A：已知$BD=AB=CD$，又AB、AD都是$\odot A$的半径，即$AB=AD$，因此$AB=AD=BD$，$△ ABD$是等边三角形，可得$∠ A=∠ ADB=60°$。由$BD=CD$得$∠ DBC=∠ C$，$∠ ADB$是$△ BDC$的外角，故$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C=60°$，解得$∠ C=30°$。在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-60°-30°=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项B：已知$∠ ABC - ∠ C = ∠ A$，变形得$∠ ABC=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，代入得$2∠ ABC=180°$，即$∠ ABC=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项C：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，由勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项D：$AD=CD$仅说明D是AC中点，无法推出$∠ ABC=90°$，不能判定BC是切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件展开，解题关键是牢牢抓住“证明直线与对应半径垂直”这一切线判定的核心，结合三角形的基础性质逐一分析选项即可。
【难度系数】
0.7
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理，只需证明AB垂直于BC（即$∠ ABC=90°$）即可。我们逐一分析每个选项的条件，判断能否推出$∠ ABC=90°$，无法推出的即为符合题意的答案。
【解析】
切线判定的核心结论：若$AB⊥ BC$，则BC是$\odot A$的切线，据此分析选项：
选项A：已知$BD=AB=CD$，又AB、AD都是$\odot A$的半径，即$AB=AD$，因此$AB=AD=BD$，$△ ABD$是等边三角形，可得$∠ A=∠ ADB=60°$。由$BD=CD$得$∠ DBC=∠ C$，$∠ ADB$是$△ BDC$的外角，故$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C=60°$，解得$∠ C=30°$。在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ C=180°-60°-30°=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项B：已知$∠ ABC - ∠ C = ∠ A$，变形得$∠ ABC=∠ A+∠ C$。结合三角形内角和$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，代入得$2∠ ABC=180°$，即$∠ ABC=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项C：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，由勾股定理逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$，可判定BC是切线，不符合题意。
选项D：$AD=CD$仅说明D是AC中点，无法推出$∠ ABC=90°$，不能判定BC是切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件展开，解题关键是牢牢抓住“证明直线与对应半径垂直”这一切线判定的核心，结合三角形的基础性质逐一分析选项即可。
【难度系数】
0.7
4.如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ BAC=45°$,连接BO,过点C作$CD// OB$交AB的延长线于点D.求证:CD是$\odot O$的切线.
答案
证明：
连接OC。
∵ ∠BAC = 45°，
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 90°。
∵ CD // OB，
∴ ∠BOC + ∠OCD = 180°，
∴ ∠OCD = 180° - 90° = 90°，即 OC ⊥ CD。
又∵ OC 是⊙O的半径，
∴ CD 是⊙O的切线。
连接OC。
∵ ∠BAC = 45°，
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 90°。
∵ CD // OB，
∴ ∠BOC + ∠OCD = 180°，
∴ ∠OCD = 180° - 90° = 90°，即 OC ⊥ CD。
又∵ OC 是⊙O的半径，
∴ CD 是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知点C在$\odot O$上，因此只需证明OC与CD垂直即可。解题时首先连接辅助线OC，先利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=45°求出圆心角∠BOC的度数；再结合CD//OB的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，计算出∠OCD的度数，判断其为直角；最后结合OC是$\odot O$的半径，即可完成证明。
【解析】
证明：
连接OC。
∵ ∠BAC = 45°，
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 90°。
∵ CD // OB，
∴ ∠BOC + ∠OCD = 180°，
∴ ∠OCD = 180° - 90° = 90°，即 OC ⊥ CD。
又
∵ OC 是$\odot O$的半径，
∴ CD 是$\odot O$的切线。
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理
【点评】
本题是切线证明的基础常规题，解题核心是掌握切线证明中“连半径，证垂直”的常用思路，结合圆周角定理与平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知点C在$\odot O$上，因此只需证明OC与CD垂直即可。解题时首先连接辅助线OC，先利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=45°求出圆心角∠BOC的度数；再结合CD//OB的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，计算出∠OCD的度数，判断其为直角；最后结合OC是$\odot O$的半径，即可完成证明。
【解析】
证明：
连接OC。
∵ ∠BAC = 45°，
∴ ∠BOC = 2∠BAC = 90°。
∵ CD // OB，
∴ ∠BOC + ∠OCD = 180°，
∴ ∠OCD = 180° - 90° = 90°，即 OC ⊥ CD。
又
∵ OC 是$\odot O$的半径，
∴ CD 是$\odot O$的切线。
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理
【点评】
本题是切线证明的基础常规题，解题核心是掌握切线证明中“连半径，证垂直”的常用思路，结合圆周角定理与平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，$∠ P=70°$，则$∠ C=$。
答案
$\boldsymbol{55°}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，PA、PB是圆的切线，可优先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OA、OB，得到两个直角；接下来在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P=70°，即可求出圆心角∠AOB的度数；最后∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB = 360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ P = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°$。
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是连接圆心与切点构造直角，结合内角和求出圆心角，再利用圆周角定理求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知条件，PA、PB是圆的切线，可优先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OA、OB，得到两个直角；接下来在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P=70°，即可求出圆心角∠AOB的度数；最后∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB = 360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ P = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°$。
∵$∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ C = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是连接圆心与切点构造直角，结合内角和求出圆心角，再利用圆周角定理求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.85
