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7.已知一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$的两根是$x_1,x_2$，那么$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 +1=$（）
A.－7
B.3
C.7
D.－3
A.－7
B.3
C.7
D.－3
答案
B
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需直接求解方程的两个根，先计算出两根之和与两根之积；再观察所求代数式的结构，对前两项提取公因式$x_1x_2$，将代数式转化为含有两根之和、两根之积的形式；最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
对所求代数式变形：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 +1 = x_1 x_2(x_1 + x_2) +1$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1 x_2=-1$代入上式：
原式$= (-1) × (-2) + 1 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，用整体代入的方法规避了求解方程根的复杂计算，解题时需注意两根之和、两根之积的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需直接求解方程的两个根，先计算出两根之和与两根之积；再观察所求代数式的结构，对前两项提取公因式$x_1x_2$，将代数式转化为含有两根之和、两根之积的形式；最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
对所求代数式变形：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 +1 = x_1 x_2(x_1 + x_2) +1$
将$x_1 + x_2=-2$，$x_1 x_2=-1$代入上式：
原式$= (-1) × (-2) + 1 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，用整体代入的方法规避了求解方程根的复杂计算，解题时需注意两根之和、两根之积的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8.已知一元二次方程$x^2 - 2x -1=0$的两根为$x_1,x_2$，那么代数式$(x_1+1)(x_2+1)$的值是。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题若直接求解一元二次方程的根再代入计算会较为繁琐，因此优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：第一步先将所求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步将所得的两根和、两根积整体代入展开后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
将所求代数式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
把$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-1$代入上式计算：
原式$=-1 + 2 + 1 = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式乘法化简，整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，无需计算方程的具体根，通过代数式变形后整体代入即可快速求解，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
本题若直接求解一元二次方程的根再代入计算会较为繁琐，因此优先采用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）简化计算：第一步先将所求代数式$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，转化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第二步根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步将所得的两根和、两根积整体代入展开后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-1}{1}=-1$。
将所求代数式展开：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
把$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-1$代入上式计算：
原式$=-1 + 2 + 1 = 2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，整式乘法化简，整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，无需计算方程的具体根，通过代数式变形后整体代入即可快速求解，能有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
9.若一元二次方程$x^2 -4x +k=0$的一个根是$2+\sqrt{3}$，则另一根是，k等于。
答案
解：设方程的另一根为$x_1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + (2+\sqrt{3}) = 4$，
解得$x_1 = 2-\sqrt{3}$。
又由两根之积满足$x_1 · (2+\sqrt{3}) = k$，
代入得$k=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
故另一根是$\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$，$k$等于$\boldsymbol{1}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + (2+\sqrt{3}) = 4$，
解得$x_1 = 2-\sqrt{3}$。
又由两根之积满足$x_1 · (2+\sqrt{3}) = k$，
代入得$k=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
故另一根是$\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$，$k$等于$\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根与参数k，优先选择一元二次方程根与系数的关系求解，可避免代入根式计算的繁琐。首先明确对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。第一步先利用两根之和的关系求出另一根，第二步再利用两根之积的关系计算k的值即可。
【解析】
解：设方程的另一根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 -4x +k=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=k$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + (2+\sqrt{3}) = -\frac{b}{a}=4$，
解得$x_1 = 4 - (2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
再根据两根之积的关系：$x_1 · (2+\sqrt{3}) = \frac{c}{a}=k$，
代入$x_1=2-\sqrt{3}$得：
$k=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$；$1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，平方差公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，利用根与系数的关系可大幅简化运算，无需代入根求解方程，只要准确记忆两根和、两根积与方程系数的对应关系，结合整式运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求另一根与参数k，优先选择一元二次方程根与系数的关系求解，可避免代入根式计算的繁琐。首先明确对于标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。第一步先利用两根之和的关系求出另一根，第二步再利用两根之积的关系计算k的值即可。
【解析】
解：设方程的另一根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 -4x +k=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=k$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + (2+\sqrt{3}) = -\frac{b}{a}=4$，
解得$x_1 = 4 - (2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
再根据两根之积的关系：$x_1 · (2+\sqrt{3}) = \frac{c}{a}=k$，
代入$x_1=2-\sqrt{3}$得：
$k=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2 - (\sqrt{3})^2=4-3=1$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$；$1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，平方差公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，利用根与系数的关系可大幅简化运算，无需代入根求解方程，只要准确记忆两根和、两根积与方程系数的对应关系，结合整式运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.已知$a$，$b$是一元二次方程$x^2 - x -1=0$的两个根，则代数式$4a^2 +3b^2 -4a -3b$的值是。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可得$a^2 -a=1$，$b^2 -b=1$；再观察所求代数式的结构，将代数式拆分为分别含$a^2 -a$、$b^2 -b$的组合形式，最后整体代入计算即可，无需直接求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵$a$，$b$是一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 -a -1=0$，即$a^2 -a=1$
将$x=b$代入方程得：$b^2 -b -1=0$，即$b^2 -b=1$
对代数式$4a^2 +3b^2 -4a -3b$变形可得：
$4a^2 +3b^2 -4a -3b=(4a^2 -4a)+(3b^2 -3b)=4(a^2 -a)+3(b^2 -b)$
将$a^2 -a=1$，$b^2 -b=1$代入上式得：
原式$=4×1 +3×1=4+3=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
3. 整式的化简
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题关键是结合一元二次方程根的定义得到公共的代数式模块，直接整体代入计算，规避了求解无理根的复杂运算，是一元二次方程相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可得$a^2 -a=1$，$b^2 -b=1$；再观察所求代数式的结构，将代数式拆分为分别含$a^2 -a$、$b^2 -b$的组合形式，最后整体代入计算即可，无需直接求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：
∵$a$，$b$是一元二次方程$x^2 -x -1=0$的两个根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 -a -1=0$，即$a^2 -a=1$
将$x=b$代入方程得：$b^2 -b -1=0$，即$b^2 -b=1$
对代数式$4a^2 +3b^2 -4a -3b$变形可得：
$4a^2 +3b^2 -4a -3b=(4a^2 -4a)+(3b^2 -3b)=4(a^2 -a)+3(b^2 -b)$
将$a^2 -a=1$，$b^2 -b=1$代入上式得：
原式$=4×1 +3×1=4+3=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
3. 整式的化简
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，解题关键是结合一元二次方程根的定义得到公共的代数式模块，直接整体代入计算，规避了求解无理根的复杂运算，是一元二次方程相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -2m +5=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数$m$的值.
答案
解：
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -4x -2m +5=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2m+5) ＞ 0$，
即$16 +8m -20 ＞ 0$，
$8m ＞4$，
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2m +5$。
∵ 两个根符号相同，且$x_1+x_2=4＞0$，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，即$x_1x_2＞0$，
∴ $-2m +5 ＞0$，
解得$m ＜ \frac{5}{2}$。
结合(1)的结论得$\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$，
∵ m为整数，
∴ m可取的值为1、2。
当$m=1$时，原方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两个根均为正整数，符合题意；
当$m=2$时，原方程为$x^2 -4x +1=0$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合题意，舍去。
∴ 整数$m$的值为1。
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -4x -2m +5=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2m+5) ＞ 0$，
即$16 +8m -20 ＞ 0$，
$8m ＞4$，
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2m +5$。
∵ 两个根符号相同，且$x_1+x_2=4＞0$，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，即$x_1x_2＞0$，
∴ $-2m +5 ＞0$，
解得$m ＜ \frac{5}{2}$。
结合(1)的结论得$\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$，
∵ m为整数，
∴ m可取的值为1、2。
当$m=1$时，原方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两个根均为正整数，符合题意；
当$m=2$时，原方程为$x^2 -4x +1=0$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合题意，舍去。
∴ 整数$m$的值为1。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实根，因此只需代入方程各项系数计算判别式，列不等式求解即可得到m的取值范围。
(2) 要判断两根符号相同且为整数，首先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，由两根之和为正数可推出两根均为正，因此两根之积也为正数，据此得到m的新的取值范围，结合(1)的结论缩小m的取值范围，再根据m为整数筛选出可能的取值，最后逐一代入原方程验证根是否为整数，舍去不符合条件的取值即可。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 -4x -2m +5=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2m+5) ＞ 0$，
即$16 +8m -20 ＞ 0$，
$8m ＞4$，
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2m +5$。
∵ 两个根符号相同，且$x_1+x_2=4＞0$，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，即$x_1x_2＞0$，
∴ $-2m +5 ＞0$，
解得$m ＜ \frac{5}{2}$。
结合(1)的结论得$\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$，
∵ m为整数，
∴ m可取的值为1、2。
当$m=1$时，原方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两个根均为正整数，符合题意；
当$m=2$时，原方程为$x^2 -4x +1=0$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合题意，舍去。
∴ 整数$m$的值为1。
【答案】
(1) $m ＞ \frac{1}{2}$；(2) $1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题时需先根据题干条件逐步缩小参数的取值范围，再结合限定条件验证结果，易错点是容易忽略“根为整数”的要求，未进行验证导致多解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实根，因此只需代入方程各项系数计算判别式，列不等式求解即可得到m的取值范围。
(2) 要判断两根符号相同且为整数，首先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，由两根之和为正数可推出两根均为正，因此两根之积也为正数，据此得到m的新的取值范围，结合(1)的结论缩小m的取值范围，再根据m为整数筛选出可能的取值，最后逐一代入原方程验证根是否为整数，舍去不符合条件的取值即可。
【解析】
(1)
∵ 一元二次方程$x^2 -4x -2m +5=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2m+5) ＞ 0$，
即$16 +8m -20 ＞ 0$，
$8m ＞4$，
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2m +5$。
∵ 两个根符号相同，且$x_1+x_2=4＞0$，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，即$x_1x_2＞0$，
∴ $-2m +5 ＞0$，
解得$m ＜ \frac{5}{2}$。
结合(1)的结论得$\frac{1}{2} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$，
∵ m为整数，
∴ m可取的值为1、2。
当$m=1$时，原方程为$x^2 -4x +3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两个根均为正整数，符合题意；
当$m=2$时，原方程为$x^2 -4x +1=0$，解得$x=2\pm\sqrt{3}$，根不是整数，不符合题意，舍去。
∴ 整数$m$的值为1。
【答案】
(1) $m ＞ \frac{1}{2}$；(2) $1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题时需先根据题干条件逐步缩小参数的取值范围，再结合限定条件验证结果，易错点是容易忽略“根为整数”的要求，未进行验证导致多解。
【难度系数】
0.7
12.已知关于x的一元二次方程$x^2 -6x +k=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$为该方程的两个实数根且满足$x_1^2x_2^2 -x_1 -x_2=115$，求k的值.
(1)求k的取值范围；
(2)若$x_1,x_2$为该方程的两个实数根且满足$x_1^2x_2^2 -x_1 -x_2=115$，求k的值.
答案
解：
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -6x +k=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k ＞ 0$，
即$36 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k$，
将$x_1^2x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$变形，得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1 + x_2) = 115$，
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$代入上式：
$k^2 - 6 = 115$，
即$k^2 = 121$，
解得$k_1=11$，$k_2=-11$。
又∵ 由(1)知$k ＜ 9$，
∴ $k = -11$。
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -6x +k=0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k ＞ 0$，
即$36 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 9$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k$，
将$x_1^2x_2^2 - x_1 - x_2 = 115$变形，得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1 + x_2) = 115$，
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$代入上式：
$k^2 - 6 = 115$，
即$k^2 = 121$，
解得$k_1=11$，$k_2=-11$。
又∵ 由(1)知$k ＜ 9$，
∴ $k = -11$。
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的个数与判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不相等的实数根，因此代入系数列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出了含两根$x_1,x_2$的等式，可先根据一元二次方程根与系数的关系，得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待求等式变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，整体代入后求解$k$的值，最后结合第（1）问得到的$k$的取值范围，舍去不符合条件的$k$值，得到最终结果。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2 -6x +k=0$有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=-6$，$c=k$，
根据根的判别式的性质可得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k ＞ 0$
即$36 - 4k ＞ 0$
解得$k ＜ 9$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -6x +k=0$的两根$x_1,x_2$，有：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k$
将等式$x_1^2x_2^2 -x_1 -x_2=115$变形，可得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1 + x_2) = 115$
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$代入上式得：
$k^2 - 6 = 115$
即$k^2 = 121$，解得$k_1=11$，$k_2=-11$。
结合第(1)问得到的$k ＜ 9$的条件，$k=11$不符合要求，舍去，
因此$k = -11$。
【答案】
(1) $k＜9$；(2) $k=-11$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，核心考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意求出参数值后需结合前置条件进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的个数与判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不相等的实数根，因此代入系数列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出了含两根$x_1,x_2$的等式，可先根据一元二次方程根与系数的关系，得到$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待求等式变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，整体代入后求解$k$的值，最后结合第（1）问得到的$k$的取值范围，舍去不符合条件的$k$值，得到最终结果。
【解析】
(1) 已知一元二次方程$x^2 -6x +k=0$有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=-6$，$c=k$，
根据根的判别式的性质可得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1× k ＞ 0$
即$36 - 4k ＞ 0$
解得$k ＜ 9$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 -6x +k=0$的两根$x_1,x_2$，有：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k$
将等式$x_1^2x_2^2 -x_1 -x_2=115$变形，可得：
$(x_1x_2)^2 - (x_1 + x_2) = 115$
把$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=k$代入上式得：
$k^2 - 6 = 115$
即$k^2 = 121$，解得$k_1=11$，$k_2=-11$。
结合第(1)问得到的$k ＜ 9$的条件，$k=11$不符合要求，舍去，
因此$k = -11$。
【答案】
(1) $k＜9$；(2) $k=-11$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题属于一元二次方程的常规综合题，核心考查根的判别式和韦达定理的应用，解题时要注意求出参数值后需结合前置条件进行取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
13.若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + 2(m+1)x + m -1 =0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 =8$，求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 =8$，求$m$的值.
答案
解：
(1) ∵ 方程 $ mx^2 + 2(m+1)x + m -1 =0 $ 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 二次项系数 $ m ≠ 0 $，且判别式 $ \Delta ＞ 0 $
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m+1)]^2 - 4m(m-1) \\&= 4(m^2 + 2m +1) -4m^2 +4m \\&= 12m +4\end{aligned}$
由 $ \Delta ＞ 0 $ 得 $ 12m +4 ＞0 $，解得 $ m ＞ -\frac{1}{3} $
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m ≠ 0 $
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2(m+1)}{m}, \quad x_1x_2 = \frac{m-1}{m}$
∵ $ x_1^2 + x_2^2 = 8 $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
代入得：
$(-\frac{2(m+1)}{m})^2 - 2·\frac{m-1}{m} = 8$
整理方程：
$\frac{4(m^2+2m+1)}{m^2} - \frac{2(m-1)}{m} = 8$
两边同乘 $ m^2 $（$ m≠0 $）得：
$4(m^2+2m+1) - 2m(m-1) = 8m^2$
展开化简：
$4m^2 +8m +4 -2m^2 +2m =8m^2 \\6m^2 -10m -4 =0 \\3m^2 -5m -2 =0$
因式分解得 $ (3m+1)(m-2)=0 $，解得 $ m_1=2 $，$ m_2=-\frac{1}{3} $
由(1)知 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m≠0 $，故 $ m=-\frac{1}{3} $ 不符合题意，舍去
∴ $ m $ 的值为2
(1) ∵ 方程 $ mx^2 + 2(m+1)x + m -1 =0 $ 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 二次项系数 $ m ≠ 0 $，且判别式 $ \Delta ＞ 0 $
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m+1)]^2 - 4m(m-1) \\&= 4(m^2 + 2m +1) -4m^2 +4m \\&= 12m +4\end{aligned}$
由 $ \Delta ＞ 0 $ 得 $ 12m +4 ＞0 $，解得 $ m ＞ -\frac{1}{3} $
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m ≠ 0 $
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2(m+1)}{m}, \quad x_1x_2 = \frac{m-1}{m}$
∵ $ x_1^2 + x_2^2 = 8 $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
代入得：
$(-\frac{2(m+1)}{m})^2 - 2·\frac{m-1}{m} = 8$
整理方程：
$\frac{4(m^2+2m+1)}{m^2} - \frac{2(m-1)}{m} = 8$
两边同乘 $ m^2 $（$ m≠0 $）得：
$4(m^2+2m+1) - 2m(m-1) = 8m^2$
展开化简：
$4m^2 +8m +4 -2m^2 +2m =8m^2 \\6m^2 -10m -4 =0 \\3m^2 -5m -2 =0$
因式分解得 $ (3m+1)(m-2)=0 $，解得 $ m_1=2 $，$ m_2=-\frac{1}{3} $
由(1)知 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m≠0 $，故 $ m=-\frac{1}{3} $ 不符合题意，舍去
∴ $ m $ 的值为2
解析
【分析】
(1) 要确定一元二次方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，首先需明确两个必要条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是根的判别式Δ＞0。我们先计算判别式的表达式，解Δ＞0对应的不等式，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
(2) 已知两根的平方和，我们可以通过完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$的形式，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入等式得到关于m的方程，解方程后结合第一问得到的m取值范围舍去不符合条件的解，就能得到m的正确值。
【解析】
(1)
∵ 方程 $ mx^2 + 2(m+1)x + m -1 =0 $ 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 二次项系数 $ m ≠ 0 $，且判别式 $ \Delta ＞ 0 $
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m+1)]^2 - 4m(m-1) \\&= 4(m^2 + 2m +1) -4m^2 +4m \\&= 12m +4\end{aligned}$
由 $ \Delta ＞ 0 $ 得 $ 12m +4 ＞0 $，解得 $ m ＞ -\frac{1}{3} $
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m ≠ 0 $
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2(m+1)}{m}, \quad x_1x_2 = \frac{m-1}{m}$
∵ $ x_1^2 + x_2^2 = 8 $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
代入得：
$(-\frac{2(m+1)}{m})^2 - 2·\frac{m-1}{m} = 8$
整理方程：
$\frac{4(m^2+2m+1)}{m^2} - \frac{2(m-1)}{m} = 8$
两边同乘 $ m^2 $（$ m≠0 $）得：
$4(m^2+2m+1) - 2m(m-1) = 8m^2$
展开化简：
$4m^2 +8m +4 -2m^2 +2m =8m^2 \\6m^2 -10m -4 =0 \\3m^2 -5m -2 =0$
因式分解得 $ (3m+1)(m-2)=0 $，解得 $ m_1=2 $，$ m_2=-\frac{1}{3} $
由(1)知 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m≠0 $，故 $ m=-\frac{1}{3} $ 不符合题意，舍去
∴ $ m $ 的值为2
【答案】
(1) $m ＞ -\dfrac{1}{3}$且$m≠ 0$；(2) $m=2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题时要注意二次项系数不为0是一元二次方程的隐含前提，求解参数后需结合取值范围检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定一元二次方程有两个不相等实数根时参数的取值范围，首先需明确两个必要条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，二是根的判别式Δ＞0。我们先计算判别式的表达式，解Δ＞0对应的不等式，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
(2) 已知两根的平方和，我们可以通过完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$的形式，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，代入等式得到关于m的方程，解方程后结合第一问得到的m取值范围舍去不符合条件的解，就能得到m的正确值。
【解析】
(1)
∵ 方程 $ mx^2 + 2(m+1)x + m -1 =0 $ 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 二次项系数 $ m ≠ 0 $，且判别式 $ \Delta ＞ 0 $
$\begin{aligned}\Delta &= [2(m+1)]^2 - 4m(m-1) \\&= 4(m^2 + 2m +1) -4m^2 +4m \\&= 12m +4\end{aligned}$
由 $ \Delta ＞ 0 $ 得 $ 12m +4 ＞0 $，解得 $ m ＞ -\frac{1}{3} $
∴ $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m ≠ 0 $
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2(m+1)}{m}, \quad x_1x_2 = \frac{m-1}{m}$
∵ $ x_1^2 + x_2^2 = 8 $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
代入得：
$(-\frac{2(m+1)}{m})^2 - 2·\frac{m-1}{m} = 8$
整理方程：
$\frac{4(m^2+2m+1)}{m^2} - \frac{2(m-1)}{m} = 8$
两边同乘 $ m^2 $（$ m≠0 $）得：
$4(m^2+2m+1) - 2m(m-1) = 8m^2$
展开化简：
$4m^2 +8m +4 -2m^2 +2m =8m^2 \\6m^2 -10m -4 =0 \\3m^2 -5m -2 =0$
因式分解得 $ (3m+1)(m-2)=0 $，解得 $ m_1=2 $，$ m_2=-\frac{1}{3} $
由(1)知 $ m ＞ -\frac{1}{3} $ 且 $ m≠0 $，故 $ m=-\frac{1}{3} $ 不符合题意，舍去
∴ $ m $ 的值为2
【答案】
(1) $m ＞ -\dfrac{1}{3}$且$m≠ 0$；(2) $m=2$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题时要注意二次项系数不为0是一元二次方程的隐含前提，求解参数后需结合取值范围检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
