6. 已知角$α,β$都是锐角,$\gamma$是钝角.
(1)在计算$\frac{1}{3}(α+β+\gamma)$的度数时,有三位同学分别算出了$119°,120°,121°$这三个不同的结果,其中只有一个是正确的答案,根据以上信息,求$α+β+\gamma$的值;
(2)在(1)的情况下,若锐角$β$比锐角$α$小$1°$,$\gamma$是$α$的两倍,求$\gamma$的补角的度数.

(1)因为$α,β,\gamma$中有两个锐角和一个钝角,所以$0°＜α＜90°$,$0°＜β＜90°$,$90°＜\gamma＜180°$,所以$α+β+\gamma＜360°$.因为$3×119°=357°$,$3×120°=360°$,$3×121°=363°$,所以$α+β+\gamma$的值是$357°$.
(2)设$α$为$x°$,则$β$为$(x-1)°$,$\gamma$为$2x°$,由题意,得$x+(x-1)+2x=357$,解得$x=89.5$.所以$\gamma=2×89.5°=179°$,$180°-179°=1°$.故$\gamma$的补角的度数为$1°$.

【分析】
解决第(1)问时，先根据锐角、钝角的定义确定三个角各自的度数范围，推导得出α+β+γ的取值范围，再将三个计算结果分别乘3，判断哪个乘积符合取值范围即可得到α+β+γ的值。解决第(2)问时，根据三个角的数量关系设未知数，结合第(1)问的结论列方程求解得到γ的度数，最后根据补角的定义计算γ的补角即可。
【解析】
(1) 已知α、β是锐角，γ是钝角，因此：
$0°＜α＜90°$，$0°＜β＜90°$，$90°＜\gamma＜180°$，
三个式子相加可得：$90°＜α+β+\gamma＜360°$。
分别计算三个结果的3倍：
$3×119°=357°$，$3×120°=360°$，$3×121°=363°$，
只有357°落在$90°∼360°$的范围内，因此$α+β+\gamma=357°$。
(2) 设$α$为$x°$，由题意得$β=(x-1)°$，$\gamma=2x°$，结合(1)的结论列方程：
$x+(x-1)+2x=357$
解得$x=89.5$，
因此$\gamma=2×89.5°=179°$，
$\gamma$的补角为$180°-179°=1°$。
【答案】
(1) $\boxed{357°}$；(2) $\boxed{1°}$
【知识点】
角的分类；角度运算；补角的定义
【点评】
本题结合角的概念和一元一次方程考查角度计算，解题核心是先利用角的取值范围确定三个角的和，再根据数量关系逐步求解，侧重对基础概念的理解和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示，$AB=16\ \mathrm{cm}.$
(1)若$C_1$是$AB$的中点，求$AC_1$的长度；
(2)若$C_2$是$AC_1$的中点，求$AC_2$的长度；
(3)若$C_3$是$AC_2$的中点，求$AC_3$的长度；
(4)若照上述规律发展下去，则$AC_n$的长度是多少？

(1)$C_1$是$AB$的中点,$AB=16\ \mathrm{cm}$,得$AC_1=\frac{1}{2}AB=8(\mathrm{cm})$.
(2)$C_2$是$AC_1$的中点,$AC_1=8\ \mathrm{cm}$,得$AC_2=\frac{1}{2}AC_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=(\frac{1}{2})^2AB=4(\mathrm{cm})$.
(3)$C_3$是$AC_2$的中点,$AC_2=4\ \mathrm{cm}$,得$AC_3=\frac{1}{2}AC_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^2AB=(\frac{1}{2})^3AB=2(\mathrm{cm})$.
(4)由以上规律,得$AC_n=16×(\frac{1}{2})^n\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题围绕线段中点性质展开计算与规律探究，解题思路如下：1. 前3小问依据线段中点的定义：线段中点可将原线段平均分为长度相等的两段，每段长度等于原线段的$\frac{1}{2}$，依次代入已知线段长度计算即可；2. 第(4)问观察前3问的计算规律，发现每取一次中点，对应线段长度是前一段的$\frac{1}{2}$，由此推导n次后的通用表达式即可。
【解析】
(1) 已知$AB=16\ \mathrm{cm}$，$C_1$是$AB$的中点，根据线段中点定义可得：
$AC_1=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8(\mathrm{cm})$
(2) 已知$C_2$是$AC_1$的中点，结合上一步结果可得：
$AC_2=\frac{1}{2}AC_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=(\frac{1}{2})^2×16=4(\mathrm{cm})$
(3) 已知$C_3$是$AC_2$的中点，结合上一步结果可得：
$AC_3=\frac{1}{2}AC_2=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^2AB=(\frac{1}{2})^3×16=2(\mathrm{cm})$
(4) 观察上述计算规律，每确定一个新的中点，对应$AC$的长度就变为原来的$\frac{1}{2}$，因此到第n个中点时：
$AC_n=(\frac{1}{2})^n· AB=16×(\frac{1}{2})^n\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$8\ \mathrm{cm}$；(2)$4\ \mathrm{cm}$；(3)$2\ \mathrm{cm}$；(4)$16×(\frac{1}{2})^n\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点定义、线段长度计算、规律探究
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是多次应用线段中点的性质逐步运算，同时考查从特殊示例到一般规律的归纳能力，熟练掌握线段中点的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

8. 如图，已知$∠ AOB=150°$，$∠ COE$与$∠ EOD$互余，$OE$平分$∠ AOD$。
(1)若$∠ COE=32°$，则$∠ DOE=$，$∠ BOD=$；
(2)在图中，设$∠ COE=α$，$∠ BOD=β$，请探索$α$与$β$的数量关系。

(1)$58°$ $34°$
(2)解:因为$∠COE$与$∠EOD$互余,所以$∠DOE=90°-∠COE=90°-α$,因为$OE$平分$∠AOD$,所以$∠AOD=2∠DOE=2(90°-α)$,因为$∠AOB=150°$,$∠BOD=β$,所以$2(90°-α)+β=150°$,整理得$2α-β=30°$.

【分析】
（1）先利用互余的定义：两个互余的角和为$90°$，已知$∠ COE$的度数可直接求出$∠ DOE$的度数；再根据角平分线的定义得到$∠ AOD=2∠ DOE$，最后结合$∠ AOB=150°$，利用$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD$即可求出$∠ BOD$的度数。
（2）将（1）中的具体度数替换为$α$、$β$，沿用相同的推导逻辑：先用$α$表示出$∠ DOE$，再通过角平分线性质表示$∠ AOD$，最后根据$∠ AOD$与$∠ BOD$的和等于$∠ AOB$列等式，整理即可得到$α$和$β$的数量关系。
【解析】
(1) 已知$∠ COE$与$∠ EOD$互余，根据互余的定义可得：
$∠ COE + ∠ EOD = 90°$
$\because ∠ COE=32°$
$\therefore ∠ DOE = 90° - 32° = 58°$
$\because OE$平分$∠ AOD$
$\therefore ∠ AOD = 2∠ DOE = 2×58° = 116°$
又$\because ∠ AOB = 150°$，且$∠ AOB = ∠ AOD + ∠ BOD$
$\therefore ∠ BOD = 150° - 116° = 34°$
(2) $\because ∠ COE$与$∠ EOD$互余
$\therefore ∠ DOE = 90° - ∠ COE = 90° - α$
$\because OE$平分$∠ AOD$
$\therefore ∠ AOD = 2∠ DOE = 2(90° - α)$
$\because ∠ AOB = 150°$，$∠ BOD=β$，且$∠ AOB = ∠ AOD + ∠ BOD$
$\therefore 2(90° - α) + β = 150°$
展开整理得：$180° - 2α + β = 150°$，即$2α - β = 30°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{58°}$，$\boldsymbol{34°}$
(2) $\boldsymbol{2α - β = 30°}$
【知识点】
余角的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算基础题，解题核心是理清图中各角的数量关系，结合互余、角平分线的性质逐步推导，掌握角的相关基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

9. 如图所示，点 C 在线段 AB 上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点。
(1)求线段 MN 的长；
(2)若点 C 为线段 AB 上任意一点，满足 AC + CB = a cm，其他条件不变，你能猜想出 MN 的长度吗？并说明理由；
(3)若点 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC - CB = b cm，点 M，N 分别为 AC，BC 的中点，你能猜想出 MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

(1)因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$,$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$,所以$MN=MC+NC=4+3=7(\mathrm{cm})$.
(2)$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$.理由如下:因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$.
(3)如图,因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b(\mathrm{cm})$.

【分析】
本题是线段计算的典型题型，解题思路如下：
(1) 已知AC、CB的具体长度，结合M、N是中点的条件，先利用线段中点的性质分别求出MC、NC的长度，再根据线段和的关系$MN=MC+NC$计算即可；
(2) 把具体长度替换为和为$a$的代数式，同样用中点性质表示MC、NC，再提取公因式，结合$AC+CB=a$推导MN和$a$的关系，是从特殊到一般的推导；
(3) 点C位置变化到AB延长线上时，先明确此时线段的差的关系$MN=MC-NC$，再结合中点性质，利用$AC-CB=b$推导MN和$b$的关系，注意结合图形判断线段和差。
【解析】
(1) 因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点，根据线段中点定义可得：
$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$，
又因为点C在线段AB上，所以$MN=MC+NC=4+3=7(\mathrm{cm})$。
(2) 猜想$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$，理由如下：
因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
则$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$。
(3) 猜想$MN=\frac{1}{2}b\ \mathrm{cm}$，对应的图形如下：

理由如下：因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
又因为点C在线段AB的延长线上，所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$,$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$,所以$MN=MC+NC=4+3=7(\mathrm{cm})$.
(2)$MN=\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$.理由如下:因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC+NC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$.
(3)如图,因为点$M,N$分别是$AC,BC$的中点,所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以$MN=MC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b(\mathrm{cm})$.

【知识点】
线段中点性质；线段和差运算；数形结合思想
【点评】
本题是线段计算的经典题型，通过从特殊数值到一般字母的推导、点的位置变化两种考查形式，检验对线段中点性质的掌握和线段和差关系的应用能力，解题时结合图形分析线段间的数量关系是关键，熟练掌握中点性质就能高效解决这类问题。
【难度系数】
0.7