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11. 在如图所示的计算程序中，在“输入”中填入的数是
5或-7
。答案
11. 5或-7
解析
【分析】
我们先设输入的数为$x$，根据给出的计算程序规则：输入的数先加1，再对结果平方，最终输出36，据此可以列出关于$x$的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意开平方时正数的平方根有两个，要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
设输入的数为$x$，根据计算程序列方程：
$(x+1)^2 = 36$
两边直接开平方得：
$x+1 = \pm 6$
分两种情况计算：
1. 当$x+1=6$时，解得$x=6-1=5$；
2. 当$x+1=-6$时，解得$x=-6-1=-7$。
因此输入的数为5或-7。
【答案】
5或-7
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、程序流程图运算
【点评】
本题结合计算程序考查一元二次方程的解法，解题核心是根据程序规则正确列方程，求解时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
我们先设输入的数为$x$，根据给出的计算程序规则：输入的数先加1，再对结果平方，最终输出36，据此可以列出关于$x$的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意开平方时正数的平方根有两个，要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
设输入的数为$x$，根据计算程序列方程：
$(x+1)^2 = 36$
两边直接开平方得：
$x+1 = \pm 6$
分两种情况计算：
1. 当$x+1=6$时，解得$x=6-1=5$；
2. 当$x+1=-6$时，解得$x=-6-1=-7$。
因此输入的数为5或-7。
【答案】
5或-7
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、程序流程图运算
【点评】
本题结合计算程序考查一元二次方程的解法，解题核心是根据程序规则正确列方程，求解时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
12.小红解方程$(x-2)^2=2-x$，只得到一个根为$x=1$，其错误原因是未考虑
$x-2=0$
，漏掉的根是$x=2$
。答案
12. $x-2=0$ $x=2$
解析
【分析】
求解本题首先要明确解含相同未知因式的一元二次方程的注意事项：不能直接在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会忽略该整式为0的情况，造成丢根。正确的解题思路是先移项，将方程右边的项移到左边，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到全部根，对比小红的求解结果就能确定漏根原因和漏掉的根。
【解析】
正确求解方程的步骤如下：
1. 移项，将方程右侧的$2-x$移到左侧，得：
$(x-2)^2 + (x-2) = 0$
2. 提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 1) = 0$，整理为$(x-2)(x-1)=0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
4. 分别求解得：$x_1=2$，$x_2=1$
小红求解时直接在方程两边除以$(x-2)$，未考虑$x-2=0$的情况，因此仅得到$x=1$一个根，漏掉了$x=2$。
【答案】
$x-2=0$；$x=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的典型易错题型，解题时需注意：不要随意在方程两边除以含未知数的整式，若方程两边有相同的未知因式，优先选择移项后提取公因式的方法求解，可避免丢根。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要明确解含相同未知因式的一元二次方程的注意事项：不能直接在方程两边同时除以含有未知数的整式，否则会忽略该整式为0的情况，造成丢根。正确的解题思路是先移项，将方程右边的项移到左边，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别求解两个一次方程即可得到全部根，对比小红的求解结果就能确定漏根原因和漏掉的根。
【解析】
正确求解方程的步骤如下：
1. 移项，将方程右侧的$2-x$移到左侧，得：
$(x-2)^2 + (x-2) = 0$
2. 提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 + 1) = 0$，整理为$(x-2)(x-1)=0$
3. 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
4. 分别求解得：$x_1=2$，$x_2=1$
小红求解时直接在方程两边除以$(x-2)$，未考虑$x-2=0$的情况，因此仅得到$x=1$一个根，漏掉了$x=2$。
【答案】
$x-2=0$；$x=2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的典型易错题型，解题时需注意：不要随意在方程两边除以含未知数的整式，若方程两边有相同的未知因式，优先选择移项后提取公因式的方法求解，可避免丢根。
【难度系数】
0.7
13.(驻马店确山县期末)下面是小明同学解一元二次方程的过程,请仔细阅读,并完成相应的任务解方程:$(3x-1)^2=2(3x-1)$.
解:方程两边同除以$(3x-1)$,得$3x-1=2$.
……第一步
移项,合并同类项,得$3x=3$.
……第二步
系数化为1,得$x=1$.
……第三步
任务:
(1)小明的解法从第
(2)请写出此题的正确解题过程.
解:方程两边同除以$(3x-1)$,得$3x-1=2$.
……第一步
移项,合并同类项,得$3x=3$.
……第二步
系数化为1,得$x=1$.
……第三步
任务:
(1)小明的解法从第
一
步开始出现错误；(2)请写出此题的正确解题过程.
答案
13. (1)一
(2)解:$(3x-1)^2=2(3x-1)$,$\therefore (3x-1)^2-2(3x-1)=0$,$\therefore (3x-1-2)(3x-1)=0$,$\therefore 3x-1-2=0$或$3x-1=0$,$\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$.
(2)解:$(3x-1)^2=2(3x-1)$,$\therefore (3x-1)^2-2(3x-1)=0$,$\therefore (3x-1-2)(3x-1)=0$,$\therefore 3x-1-2=0$或$3x-1=0$,$\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 判断错误步骤需结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。小明第一步直接在方程两边除以$(3x-1)$，没有考虑$3x-1=0$的情况，此时除以0无意义，还会漏掉对应根，因此第一步就出错了。
(2) 正确解题思路：观察到方程两边有公因式$(3x-1)$，适合用因式分解法求解。先移项使方程右边为0，再提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令每个因式为0，解一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 若$3x-1=0$，等式两边不能同时除以$3x-1$，否则会丢失$x=\frac{1}{3}$这个根，因此小明的解法从第一步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
移项得：$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1-2) = 0$
整理得：$(3x-1)(3x-3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别解两个一次方程：
当$3x-1=0$时，解得$x=\frac{1}{3}$；
当$3x-3=0$时，解得$x=1$。
【答案】
(1) 一
(2) 解:$(3x-1)^2=2(3x-1)$,
$\therefore (3x-1)^2-2(3x-1)=0$,
$\therefore (3x-1-2)(3x-1)=0$,
$\therefore 3x-1-2=0$或$3x-1=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$.
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的常见易错题，解题时要注意不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则易出现漏根的问题；当方程左右两边含有相同公因式时，优先选择因式分解法求解更稳妥。
【难度系数】
0.7
(1) 判断错误步骤需结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立。小明第一步直接在方程两边除以$(3x-1)$，没有考虑$3x-1=0$的情况，此时除以0无意义，还会漏掉对应根，因此第一步就出错了。
(2) 正确解题思路：观察到方程两边有公因式$(3x-1)$，适合用因式分解法求解。先移项使方程右边为0，再提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令每个因式为0，解一元一次方程即可得到全部根。
【解析】
(1) 若$3x-1=0$，等式两边不能同时除以$3x-1$，否则会丢失$x=\frac{1}{3}$这个根，因此小明的解法从第一步开始出现错误。
(2) 正确解题过程：
移项得：$(3x-1)^2 - 2(3x-1) = 0$
提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1-2) = 0$
整理得：$(3x-1)(3x-3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：
$3x-1=0$或$3x-3=0$
分别解两个一次方程：
当$3x-1=0$时，解得$x=\frac{1}{3}$；
当$3x-3=0$时，解得$x=1$。
【答案】
(1) 一
(2) 解:$(3x-1)^2=2(3x-1)$,
$\therefore (3x-1)^2-2(3x-1)=0$,
$\therefore (3x-1-2)(3x-1)=0$,
$\therefore 3x-1-2=0$或$3x-1=0$,
$\therefore x_1=1,x_2=\frac{1}{3}$.
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的常见易错题，解题时要注意不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则易出现漏根的问题；当方程左右两边含有相同公因式时，优先选择因式分解法求解更稳妥。
【难度系数】
0.7
14. 用适当的方法解下列方程：
(1) $4(x+3)^2 - (x-2)^2 = 0$；
(2) $x^2 + 12 = 8(x - \frac{1}{2})$；
(3) $(2x+1)^2 + 4(2x+1) + 4 = 0$。
(1) $4(x+3)^2 - (x-2)^2 = 0$；
(2) $x^2 + 12 = 8(x - \frac{1}{2})$；
(3) $(2x+1)^2 + 4(2x+1) + 4 = 0$。
答案
14. (1)解:$4(x+3)^2-(x-2)^2=0$,移项,得$4(x+3)^2=(x-2)^2$,$\therefore 2(x+3)=x-2$或$2(x+3)=-(x-2)$,$\therefore x_1=-8,x_2=-\frac{4}{3}$.
(2)解:整理,得$x^2+12=8x-4$,移项、合并同类项,得$x^2-8x+16=0$,所以$(x-4)^2=0$,得$x_1=x_2=4$.
(3)解:方程左边分解因式,得$[(2x+1)+2]^2=0$,即$(2x+3)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)解:整理,得$x^2+12=8x-4$,移项、合并同类项,得$x^2-8x+16=0$,所以$(x-4)^2=0$,得$x_1=x_2=4$.
(3)解:方程左边分解因式,得$[(2x+1)+2]^2=0$,即$(2x+3)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
这三道一元二次方程可根据方程结构选择简便解法：
(1) 观察到方程左边是两个平方项作差的形式，符合平方差公式结构，可移项后直接开平方求解，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免丢解；
(2) 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，整理后发现方程左边是完全平方式，用因式分解法求解最简便；
(3) 可将$(2x+1)$看作一个整体，方程左边符合完全平方和的公式结构，直接用完全平方公式因式分解求解，运用整体思想可简化计算。
【解析】
(1) 解：$4(x+3)^2 - (x-2)^2 = 0$
移项，得$4(x+3)^2 = (x-2)^2$
$\therefore 2(x+3) = x-2$ 或 $2(x+3) = -(x-2)$
解$2(x+3) = x-2$，得$x_1=-8$
解$2(x+3) = -(x-2)$，得$x_2=-\frac{4}{3}$
(2) 解：整理原方程，得$x^2 +12 = 8x -4$
移项、合并同类项，得$x^2 -8x +16 = 0$
因式分解得$(x-4)^2 = 0$
$\therefore x_1=x_2=4$
(3) 解：对方程左边分解因式，得$[(2x+1)+2]^2 = 0$
即$(2x+3)^2 = 0$
$\therefore x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-8,x_2=-\frac{4}{3}$；(2) $x_1=x_2=4$；(3) $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 平方差公式 3. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择简便的求解方法，解题中注意整体思想的运用，开平方时不要漏解。
【难度系数】
0.8
这三道一元二次方程可根据方程结构选择简便解法：
(1) 观察到方程左边是两个平方项作差的形式，符合平方差公式结构，可移项后直接开平方求解，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免丢解；
(2) 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，整理后发现方程左边是完全平方式，用因式分解法求解最简便；
(3) 可将$(2x+1)$看作一个整体，方程左边符合完全平方和的公式结构，直接用完全平方公式因式分解求解，运用整体思想可简化计算。
【解析】
(1) 解：$4(x+3)^2 - (x-2)^2 = 0$
移项，得$4(x+3)^2 = (x-2)^2$
$\therefore 2(x+3) = x-2$ 或 $2(x+3) = -(x-2)$
解$2(x+3) = x-2$，得$x_1=-8$
解$2(x+3) = -(x-2)$，得$x_2=-\frac{4}{3}$
(2) 解：整理原方程，得$x^2 +12 = 8x -4$
移项、合并同类项，得$x^2 -8x +16 = 0$
因式分解得$(x-4)^2 = 0$
$\therefore x_1=x_2=4$
(3) 解：对方程左边分解因式，得$[(2x+1)+2]^2 = 0$
即$(2x+3)^2 = 0$
$\therefore x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-8,x_2=-\frac{4}{3}$；(2) $x_1=x_2=4$；(3) $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程 2. 平方差公式 3. 完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择简便的求解方法，解题中注意整体思想的运用，开平方时不要漏解。
【难度系数】
0.8
15.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程$x(x-7)-10(x-7)=0$的一个根，求这个三角形的周长.
答案
15. 解:解方程$x(x-7)-10(x-7)=0$,得$x_1=7,x_2=10$.当$x=10$时,三边长分别为3,7,10. $\because 3+7=10$,不满足三角形的三边关系,$\therefore x=7$.$\therefore$三边长分别为3,7,7.$\therefore$这个三角形的周长为$3+7+7=17$.
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边长的两个候选值；第二步结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对两个候选值进行验证，排除不能构成三角形的根；第三步将符合条件的三边长度相加，计算得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$x(x-7)-10(x-7)=0$：
对左侧因式分解可得$(x-7)(x-10)=0$，
则$x-7=0$或$x-10=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
2. 结合三角形三边关系验证根的合理性：
① 若第三边长为10，三边长为3、7、10，此时$3+7=10$，不满足三角形三边关系，该根舍去；
② 若第三边长为7，三边长为3、7、7，满足三角形三边关系。
3. 计算周长：$3+7+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，易错点是解出方程的根后忽略验证三边是否能构成三角形，解题时要注意检验题目中的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边长的两个候选值；第二步结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对两个候选值进行验证，排除不能构成三角形的根；第三步将符合条件的三边长度相加，计算得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$x(x-7)-10(x-7)=0$：
对左侧因式分解可得$(x-7)(x-10)=0$，
则$x-7=0$或$x-10=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
2. 结合三角形三边关系验证根的合理性：
① 若第三边长为10，三边长为3、7、10，此时$3+7=10$，不满足三角形三边关系，该根舍去；
② 若第三边长为7，三边长为3、7、7，满足三角形三边关系。
3. 计算周长：$3+7+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是方程与几何性质的综合题，易错点是解出方程的根后忽略验证三边是否能构成三角形，解题时要注意检验题目中的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
16. 阅读后解答问题.
解方程: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解: 拆项、分组得 $2x^2 - 4x + x - 2 = 0$,
即 $2x(x-2)+(x-2)=0$,
提公因式, 得 $(x-2)(2x+1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $2x+1=0$.
即 $x_1=2, x_2=-\dfrac{1}{2}$.
运用以上方法解方程 $6x^2 +7x -3=0$.
解方程: $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
解: 拆项、分组得 $2x^2 - 4x + x - 2 = 0$,
即 $2x(x-2)+(x-2)=0$,
提公因式, 得 $(x-2)(2x+1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $2x+1=0$.
即 $x_1=2, x_2=-\dfrac{1}{2}$.
运用以上方法解方程 $6x^2 +7x -3=0$.
答案
16. 解:$6x^2+7x-3=0$,拆项、分组得$6x^2+9x-2x-3=0$,即$3x(2x+3)-(2x+3)=0$,提公因式,得$(2x+3)(3x-1)=0$,$\therefore 2x+3=0$或$3x-1=0$,即$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是材料阅读类解方程题，需参照题中给出的拆项分组因式分解法求解：第一步先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，找到两个数，满足两数乘积等于二次项系数与常数项的乘积，两数之和等于一次项系数；第二步将一次项拆分为这两个数对应的一次项，分组提取公因式，把方程左边转化为两个一次因式乘积的形式；第三步根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：$6x^2 +7x -3=0$，
拆项、分组得 $6x^2 +9x -2x -3=0$，
即 $3x(2x+3)-(2x+3)=0$，
提公因式，得 $(2x+3)(3x-1)=0$，
$\therefore 2x+3=0$ 或 $3x-1=0$，
即 $x_1=-\dfrac{3}{2}, x_2=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-\dfrac{3}{2}, x_2=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.分组分解法因式分解
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是读懂题中给出的拆项分组思路，准确拆分一次项，通过两次提公因式完成因式分解后即可快速求解，侧重对因式分解方法灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是材料阅读类解方程题，需参照题中给出的拆项分组因式分解法求解：第一步先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，找到两个数，满足两数乘积等于二次项系数与常数项的乘积，两数之和等于一次项系数；第二步将一次项拆分为这两个数对应的一次项，分组提取公因式，把方程左边转化为两个一次因式乘积的形式；第三步根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：$6x^2 +7x -3=0$，
拆项、分组得 $6x^2 +9x -2x -3=0$，
即 $3x(2x+3)-(2x+3)=0$，
提公因式，得 $(2x+3)(3x-1)=0$，
$\therefore 2x+3=0$ 或 $3x-1=0$，
即 $x_1=-\dfrac{3}{2}, x_2=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-\dfrac{3}{2}, x_2=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.分组分解法因式分解
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题核心是读懂题中给出的拆项分组思路，准确拆分一次项，通过两次提公因式完成因式分解后即可快速求解，侧重对因式分解方法灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
