1. 如图,有一个 400 m 的环形跑道,每条跑道的宽度是 1.22 m,现在要在这个跑道上进行200 m赛跑,求第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差多少米(结果保留一位小数,π取值 3.14)?

第一道运动员和第四道运动员的起跑线相差的距离为$[π×(r+3×1.22)-π r]=3×1.22×π\approx11.5(\mathrm{m}).$

【分析】
解这道题首先要明确：200米赛跑的路程包含1段直道和1个半圆形弯道，所有跑道的直道长度相等，因此起跑线的差距只来自于不同跑道半圆形弯道的长度差。接下来先确定第四道和第一道的弯道半径差：相邻跑道的半径差等于1条跑道的宽度1.22m，第四道和第一道间隔3个跑道，因此半径差为3×1.22m。最后根据半圆周长公式计算两个弯道的长度差即可。
【解析】
解：200米赛跑仅经过1个半圆形弯道，直道长度各跑道一致，因此起跑线相差距离等于第四道半圆弯道长度与第一道半圆弯道长度的差。
设第一道弯道的半径为r，则第四道弯道的半径为$ r + (4-1)×1.22 = r + 3×1.22 $。
半圆的长度计算公式为$ C_{半}=πr $，因此起跑线相差距离为：
$ π×(r + 3×1.22) - πr $
$ = πr + 3×1.22×π - πr $
$ = 3×1.22×π $
代入$ π≈3.14 $计算：
$ 3×1.22×3.14 ≈ 11.5(\mathrm{m}) $
【答案】
11.5 m
【知识点】
圆的周长计算；环形跑道起跑线问题
【点评】
本题是生活中的数学应用问题，解题核心是区分直道和弯道对赛程的影响，明确起跑线差距仅来源于弯道部分的长度差，同时要注意跑道道次间隔数=外道道次-内道道次，避免多算或者少算道次差。
【难度系数】
0.6

2. 如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为$a$ m，两端为两个半圆，半径为$r$ m，每条跑道的宽为1.25 m，共四个跑道。若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题(π取3)。
（1）第二道比第一道长 m；
（2）已知$a＝55$，且第一道的总长度为200 m，
① 求$r$的值；
② 如果所有跑道及两端的半圆铺设混合型塑胶，混合型塑胶跑道造价为200元/$m^2$，则学校需付多少铺设费用？

(1) 由题知,第一道的长度为$2a+2π r=(2a+6r)\mathrm{m}$;第二道的长度为$2a+2π(r+1.25)=(2a+6r+\frac{15}{2})\mathrm{m}$;则$2a+6r+\frac{15}{2}-(2a+6r)=\frac{15}{2}(\mathrm{m})$,即第二道比第一道长$\frac{15}{2}$ m.
(2) ① 由题知,$2a+6r=200$,将$a=55$代入$2a+6r=200$,得$2×55+6r=200$,解得$r=15$.
② 由题知,需要铺设混合型塑胶部分的面积为$55×8×1.25+π×(15+4×1.25)^2=550+1\ 200=1\ 750(\mathrm{m}^2)$,所以$1\ 750×200=350\ 000$(元),故学校需付350 000元铺设费用.

【分析】
（1）跑道总长度由两段直道（总长度2a）和两端半圆拼成的整圆周长组成，相邻跑道直道长度相同，长度差仅来自弯道的周长差，计算第二道与第一道的弯道周长差即可求解。
（2）① 已知第一道总长度的计算公式，将a=55代入可得到关于r的一元一次方程，解方程即可求出r的值。
② 铺设塑胶的面积分为两部分：一是直道区域，为上下共8条长a、宽1.25的长方形面积之和；二是两端弯道区域，合起来是半径为(r+4×1.25)的整圆的面积。两部分面积相加得到总铺设面积，再乘每平方米造价即可得到总费用。
【解析】
（1）第一道总长度：直段长2a，弯道为半径r的圆，周长为2πr，π取3时总长度为$2a + 2π r = 2a + 6r$（m）
第二道弯道半径为$r+1.25$，总长度为$2a + 2π (r+1.25) = 2a + 6(r+1.25) = 2a + 6r + 7.5$（m）
第二道比第一道长：$(2a + 6r + 7.5) - (2a + 6r) = 7.5 = \frac{15}{2}$（m）
（2）① 已知第一道总长度为200m，将a=55代入第一道长度公式得：
$2×55 + 6r = 200$
化简得：$110 + 6r = 200$
移项计算得：$6r = 90$，解得$r=15$
② 先算总铺设面积：
直道部分面积：$55×8×1.25 = 550$（$\mathrm{m}^2$）
弯道最外侧半径：$15 + 4×1.25 = 20$（m），弯道总面积：$π×20^2 = 3×400 = 1200$（$\mathrm{m}^2$）
总铺设面积：$550 + 1200 = 1750$（$\mathrm{m}^2$）
总费用：$1750×200 = 350000$（元）
【答案】
（1）$\frac{15}{2}$
（2）① $r=15$；② 350000元
【知识点】
圆的周长计算，一元一次方程应用，组合图形面积计算
【点评】
本题结合运动场跑道的生活场景，考查了图形周长、面积计算和一元一次方程的实际应用，解题核心是明确跑道长度的组成和铺设面积的构成，注意相邻跑道的长度差仅与弯道半径差相关，能够有效提升学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65

3. 如图是某学校的运动场平面图，中心区域(阴影部分)由一个长方形和两个半圆组成，其中长方形的长为$a$ m，半圆的半径为$r$ m，每条跑道的宽为1.2 m，若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程。求解下面问题(结果保留$π$)。
(1) 用含$a$，$r$的代数式表示运动场中心区域的周长；
(2) 如果以第一跑道长度为赛程，求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？
(3) 小华在400 m的跑道上跑了一圈，如果他前$\frac{1}{3}$时间内的平均速度为6 m/s，后$\frac{2}{3}$时间内的平均速度为4.5 m/s，那么他这次400 m跑了多长时间(要求列方程求解)？

(1) $\because$中心区域的中间是一个长方形,长为$a$ m,$\therefore$长方形两边长为$2a$ m,$\because$中心区域的两端是一个半圆,半径为$r$ m,$\therefore$两个半圆的周长为$2π r$ m,$\therefore$运动场中心区域的周长为$(2a+2π r)\mathrm{m}.$
(2) 由题意,得第二跑道长度为$2a+2π(r+1.2)=2a+2π r+2.4π(\mathrm{m}).$ $\therefore(2a+2π r+2.4π)-(2a+2π r)=2a+2π r+2.4π-2a-2π r=2.4π\ \mathrm{m}.$
(3) 设小华这次400 m跑了$t$ s. $\frac{1}{3}t×6+\frac{2}{3}t×4.5=400,\therefore t=80\ \mathrm{s}.$

【分析】
(1) 求中心区域周长时先拆分图形：中心区域由两段直道和两个半圆形弯道组成，两个半圆恰好能拼成一个完整的圆，因此周长就是两段直道的总长度加上整圆的周长，直道总长度为2个a，圆周长为2πr，相加即可得到结果。
(2) 起跑位置前移的距离就是第二跑道和第一跑道的周长差。两条跑道的直道长度完全相同，差异仅在弯道部分：第二跑道的弯道半径比第一跑道大1.2m，分别计算两条跑道的周长后作差，就能得到需要前移的距离。
(3) 这是分段行程问题，总路程等于两段路程之和。设总时间为t秒，分别表示出前$\frac{1}{3}$时间跑的路程和后$\frac{2}{3}$时间跑的路程，两者相加等于总路程400m，列方程求解即可。
【解析】
(1) 中心区域的直道部分总长度为$2a$ m，两端的两个半圆可拼成一个半径为$r$的圆，圆的周长为$2π r$ m，因此中心区域的周长为直道长度加弯道长度，即$(2a+2π r)\ \mathrm{m}$。
(2) 第二跑道的弯道半径为$(r+1.2)\ \mathrm{m}$，直道长度与第一跑道相同，因此第二跑道总长度为$2a+2π(r+1.2)=2a+2π r+2.4π\ (\mathrm{m})$。
两条跑道的长度差为：$(2a+2π r+2.4π)-(2a+2π r)=2.4π\ \mathrm{m}$，即第二跑道起跑位置应前移$2.4π$ m。
(3) 设小华这次400 m跑了$t$ s。
根据总路程等于两段路程之和，列方程：
$\frac{1}{3}t×6+\frac{2}{3}t×4.5=400$
化简得$2t+3t=400$，
合并同类项得$5t=400$，
解得$t=80$。
【答案】
(1) $(2a+2π r)\ \mathrm{m}$
(2) $2.4π\ \mathrm{m}$
(3) $80\ \mathrm{s}$
【知识点】
列代数式，周长计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合运动场的实际场景，将几何周长计算和行程类方程问题结合，贴近生活实际，考查了图形拆分分析能力和将实际问题转化为数学模型求解的能力。
【难度系数】
0.7