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7. 求$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2016}$的值，可令$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2016}$，则$2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{2017}$，因此$2S-S=2^{2017}-1$，$S=2^{2017}-1$. 参照以上过程，计算$S=3+3^2+3^3+\dots+3^{2022}+3^{2023}$的值为________.
答案
$\dfrac{3^{2024}-3}{2}$
解析
【分析】
本题属于材料阅读类的规律计算题，解题思路参照题干给出的错位相减法即可：第一步先设所求的算式为S；第二步观察算式的公比为3，给等式两边同时乘3得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，此时中间重复的项会相互抵消，只剩下首尾两项的差；最后整理等式即可求出S的值。
【解析】
解：令$ S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2022} + 3^{2023} $ ①
将①式左右两边同时乘3，可得：
$ 3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2023} + 3^{2024} $ ②
用②式减去①式：
$ 3S - S = (3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}) - (3 + 3^2 + \dots + 3^{2023}) $
左边合并得$2S$，右边中间相同的项相互抵消，剩余$3^{2024} - 3$，即：
$ 2S = 3^{2024} - 3 $
两边同时除以2，得：
$ S = \frac{3^{2024} - 3}{2} $
【答案】
$\dfrac{3^{2024}-3}{2}$
【知识点】
有理数混合运算，错位相减法，规律探究
【点评】
本题是典型的类比应用类题目，核心是读懂题干给出的解题方法，灵活迁移到同类型的等比数列求和问题中，计算时需注意相减后剩余的首项和末项，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类的规律计算题，解题思路参照题干给出的错位相减法即可：第一步先设所求的算式为S；第二步观察算式的公比为3，给等式两边同时乘3得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，此时中间重复的项会相互抵消，只剩下首尾两项的差；最后整理等式即可求出S的值。
【解析】
解：令$ S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2022} + 3^{2023} $ ①
将①式左右两边同时乘3，可得：
$ 3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2023} + 3^{2024} $ ②
用②式减去①式：
$ 3S - S = (3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024}) - (3 + 3^2 + \dots + 3^{2023}) $
左边合并得$2S$，右边中间相同的项相互抵消，剩余$3^{2024} - 3$，即：
$ 2S = 3^{2024} - 3 $
两边同时除以2，得：
$ S = \frac{3^{2024} - 3}{2} $
【答案】
$\dfrac{3^{2024}-3}{2}$
【知识点】
有理数混合运算，错位相减法，规律探究
【点评】
本题是典型的类比应用类题目，核心是读懂题干给出的解题方法，灵活迁移到同类型的等比数列求和问题中，计算时需注意相减后剩余的首项和末项，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
8. 计算：
(1) $\frac{4}{9} - \frac{1}{4} × (-\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{6} ÷ (-1.5)^2$；
(2) $(-\frac{1}{3} + 2)^2 - 4 × (-\frac{1}{3})^2 ÷ \frac{(-2)^2}{3}$；
(3) $(-1)^3 - (1 - 0.5) ÷ \{ \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2] \}$；
(4) $-1^{2024} + (-2)^3 × (-\frac{1}{4}) + (-3)^2 - | -1 - 3 |$。
(1) $\frac{4}{9} - \frac{1}{4} × (-\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{6} ÷ (-1.5)^2$；
(2) $(-\frac{1}{3} + 2)^2 - 4 × (-\frac{1}{3})^2 ÷ \frac{(-2)^2}{3}$；
(3) $(-1)^3 - (1 - 0.5) ÷ \{ \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2] \}$；
(4) $-1^{2024} + (-2)^3 × (-\frac{1}{4}) + (-3)^2 - | -1 - 3 |$。
答案
(1) $\dfrac{11}{27}$ (2) $\dfrac{22}{9}$ (3) $-\dfrac{11}{14}$ (4) 6
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目，需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号、大括号的顺序计算；同级运算从左到右依次进行。运算时注意：①负数乘方的符号判断，区分$-a^n$与$(-a)^n$的差异；②小数可转化为分数简化计算；③每一步先确定运算结果的符号，再计算绝对值，降低符号错误率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4}{9}-\frac{1}{4}×\frac{4}{9}+\frac{1}{6}÷(-\frac{3}{2})^2\\&=\frac{4}{9}-\frac{1}{4}×\frac{4}{9}+\frac{1}{6}÷\frac{9}{4}\\&=\frac{4}{9}-\frac{1}{9}+\frac{1}{6}×\frac{4}{9}\\&=\frac{3}{9}+\frac{2}{27}\\&=\frac{9}{27}+\frac{2}{27}\\&=\frac{11}{27}\end{aligned}$
(2) 先算括号内的加法和乘方，再算乘除，最后算减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{5}{3})^2-4×\frac{1}{9}÷\frac{4}{3}\\&=\frac{25}{9}-\frac{4}{9}×\frac{3}{4}\\&=\frac{25}{9}-\frac{1}{3}\\&=\frac{25}{9}-\frac{3}{9}\\&=\frac{22}{9}\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再依次计算括号内的运算，最后算除法和减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - 0.5÷\{\frac{1}{3}×[2-9]\}\\&=-1-\frac{1}{2}÷\{\frac{1}{3}×(-7)\}\\&=-1-\frac{1}{2}÷(-\frac{7}{3})\\&=-1-\frac{1}{2}×(-\frac{3}{7})\\&=-1+\frac{3}{14}\\&=-\frac{11}{14}\end{aligned}$
(4) 先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 + (-8)×(-\frac{1}{4})+9 - |-4|\\&=-1+2+9-4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{11}{27}$ (2) $\dfrac{22}{9}$ (3) $-\dfrac{11}{14}$ (4) $6$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，侧重考察有理数混合运算规则的掌握，运算的易错点为乘方的符号判断、运算顺序的遵守，计算时将小数转化为分数可有效降低出错率，熟练掌握运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解决有理数混合运算类题目，需严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号、大括号的顺序计算；同级运算从左到右依次进行。运算时注意：①负数乘方的符号判断，区分$-a^n$与$(-a)^n$的差异；②小数可转化为分数简化计算；③每一步先确定运算结果的符号，再计算绝对值，降低符号错误率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4}{9}-\frac{1}{4}×\frac{4}{9}+\frac{1}{6}÷(-\frac{3}{2})^2\\&=\frac{4}{9}-\frac{1}{4}×\frac{4}{9}+\frac{1}{6}÷\frac{9}{4}\\&=\frac{4}{9}-\frac{1}{9}+\frac{1}{6}×\frac{4}{9}\\&=\frac{3}{9}+\frac{2}{27}\\&=\frac{9}{27}+\frac{2}{27}\\&=\frac{11}{27}\end{aligned}$
(2) 先算括号内的加法和乘方，再算乘除，最后算减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{5}{3})^2-4×\frac{1}{9}÷\frac{4}{3}\\&=\frac{25}{9}-\frac{4}{9}×\frac{3}{4}\\&=\frac{25}{9}-\frac{1}{3}\\&=\frac{25}{9}-\frac{3}{9}\\&=\frac{22}{9}\end{aligned}$
(3) 先算乘方，再依次计算括号内的运算，最后算除法和减法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - 0.5÷\{\frac{1}{3}×[2-9]\}\\&=-1-\frac{1}{2}÷\{\frac{1}{3}×(-7)\}\\&=-1-\frac{1}{2}÷(-\frac{7}{3})\\&=-1-\frac{1}{2}×(-\frac{3}{7})\\&=-1+\frac{3}{14}\\&=-\frac{11}{14}\end{aligned}$
(4) 先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 + (-8)×(-\frac{1}{4})+9 - |-4|\\&=-1+2+9-4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{11}{27}$ (2) $\dfrac{22}{9}$ (3) $-\dfrac{11}{14}$ (4) $6$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，侧重考察有理数混合运算规则的掌握，运算的易错点为乘方的符号判断、运算顺序的遵守，计算时将小数转化为分数可有效降低出错率，熟练掌握运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9. 观察下面三行数：
① $2, -4, 8, -16, 32, -64, \dots$；
② $4, -2, 10, -14, 34, -62, \dots$；
③ $-1, 2, -4, 8, -16, 32, \dots$；
取每一行的第$n$个数，依次记为$a, b, c$。当$n=2$时，$a=-4, b=-2, c=2$。
（1）当$n=8$时，$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$，这三个数中最大的数与最小的数的差为________；
（2）已知$n$为奇数，且$a, b, c$这三个数中，最大的数与最小的数的差为194，求$n$的值。
① $2, -4, 8, -16, 32, -64, \dots$；
② $4, -2, 10, -14, 34, -62, \dots$；
③ $-1, 2, -4, 8, -16, 32, \dots$；
取每一行的第$n$个数，依次记为$a, b, c$。当$n=2$时，$a=-4, b=-2, c=2$。
（1）当$n=8$时，$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$，这三个数中最大的数与最小的数的差为________；
（2）已知$n$为奇数，且$a, b, c$这三个数中，最大的数与最小的数的差为194，求$n$的值。
答案
(1) $-256$ $-254$ $128$ $384$ (2) 7
解析
【分析】
首先分析三行数字的变化规律，推导第n个数a、b、c的表达式：①第一行数字的绝对值是2的n次幂，符号正负交替，n为奇数时为正、偶数时为负，据此写出a的表达式；②对比第二行和第一行同位置的数，发现第二行每个数比第一行对应数大2，可得b=a+2；③对比第三行和第一行同位置的数，发现第三行每个数是第一行对应数除以-2，可得$c=-\frac{a}{2}$。（1）代入n=8分别计算a、b、c，再找出最大、最小数求差；（2）n为奇数时先判断三个数的正负性，确定最大、最小数，根据差为194列方程求解n。
【解析】
先推导三行第n个数的规律：
观察行①：$2=(-1)^{1+1}×2^1$，$-4=(-1)^{2+1}×2^2$，$8=(-1)^{3+1}×2^3$……，故第n个数$a=(-1)^{n+1}·2^n$；
观察行②：$4=2+2$，$-2=-4+2$，$10=8+2$……，故第n个数$b=a+2$；
观察行③：$-1=2÷(-2)$，$2=-4÷(-2)$，$-4=8÷(-2)$……，故第n个数$c=-\frac{a}{2}$。
（1）当$n=8$时：
$a=(-1)^{8+1}×2^8=-1×256=-256$
$b=a+2=-256+2=-254$
$c=-\frac{a}{2}=-\frac{(-256)}{2}=128$
三个数中最大的是128，最小的是-256，差为$128-(-256)=384$。
（2）当n为奇数时，$(-1)^{n+1}=1$，因此$a=2^n＞0$，此时$b=a+2＞a＞0$，$c=-\frac{a}{2}＜0$，即最大数为$b=a+2$，最小数为$c=-\frac{a}{2}$。
根据题意列方程：$(a+2)-(-\frac{a}{2})=194$
化简得：$\frac{3a}{2}+2=194$，解得$a=128$
即$2^n=128$，因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
(1) $-256$，$-254$，$128$，$384$
(2) $7$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，一元一次方程应用
【点评】
本题重点考查数字规律的归纳能力，解题的核心是通过对比同行、不同行数字的联系，得到第n个数的通用表达式，解题时要注意n的奇偶性对数字符号的影响，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.6
首先分析三行数字的变化规律，推导第n个数a、b、c的表达式：①第一行数字的绝对值是2的n次幂，符号正负交替，n为奇数时为正、偶数时为负，据此写出a的表达式；②对比第二行和第一行同位置的数，发现第二行每个数比第一行对应数大2，可得b=a+2；③对比第三行和第一行同位置的数，发现第三行每个数是第一行对应数除以-2，可得$c=-\frac{a}{2}$。（1）代入n=8分别计算a、b、c，再找出最大、最小数求差；（2）n为奇数时先判断三个数的正负性，确定最大、最小数，根据差为194列方程求解n。
【解析】
先推导三行第n个数的规律：
观察行①：$2=(-1)^{1+1}×2^1$，$-4=(-1)^{2+1}×2^2$，$8=(-1)^{3+1}×2^3$……，故第n个数$a=(-1)^{n+1}·2^n$；
观察行②：$4=2+2$，$-2=-4+2$，$10=8+2$……，故第n个数$b=a+2$；
观察行③：$-1=2÷(-2)$，$2=-4÷(-2)$，$-4=8÷(-2)$……，故第n个数$c=-\frac{a}{2}$。
（1）当$n=8$时：
$a=(-1)^{8+1}×2^8=-1×256=-256$
$b=a+2=-256+2=-254$
$c=-\frac{a}{2}=-\frac{(-256)}{2}=128$
三个数中最大的是128，最小的是-256，差为$128-(-256)=384$。
（2）当n为奇数时，$(-1)^{n+1}=1$，因此$a=2^n＞0$，此时$b=a+2＞a＞0$，$c=-\frac{a}{2}＜0$，即最大数为$b=a+2$，最小数为$c=-\frac{a}{2}$。
根据题意列方程：$(a+2)-(-\frac{a}{2})=194$
化简得：$\frac{3a}{2}+2=194$，解得$a=128$
即$2^n=128$，因为$2^7=128$，所以$n=7$。
【答案】
(1) $-256$，$-254$，$128$，$384$
(2) $7$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，一元一次方程应用
【点评】
本题重点考查数字规律的归纳能力，解题的核心是通过对比同行、不同行数字的联系，得到第n个数的通用表达式，解题时要注意n的奇偶性对数字符号的影响，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.6
