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1. 计算$(-2)^3+(-2)^3+(-2)^3+(-2)^3$的结果是 （
A.$-2^5$
B.$-2^6$
C.$-2^4$
D.$-24$
A
）A.$-2^5$
B.$-2^6$
C.$-2^4$
D.$-24$
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察算式特征，发现是4个相同的加数$(-2)^3$相加，可先利用“相同加数的加法可转化为乘法”简化计算，再按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后将结果和选项对比即可得到答案。计算时要注意负数奇数次幂的符号为负，避免符号出错。
【解析】
步骤1：将相同加数的加法转化为乘法
原式是4个$(-2)^3$相加，因此可改写为：
原式=$4×(-2)^3$
步骤2：计算乘方
根据乘方的定义，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
步骤3：计算乘法
$4×(-8)=-32$
步骤4：对比选项
A选项：$-2^5=-(2×2×2×2×2)=-32$，与计算结果一致；
B选项：$-2^6=-64$，不符合；
C选项：$-2^4=-16$，不符合；
D选项：$-24$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题时将加法转化为乘法可简化计算过程，需要重点注意负数乘方的符号规律：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数，同时要区分$(-a)^n$和$-a^n$的差异，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察算式特征，发现是4个相同的加数$(-2)^3$相加，可先利用“相同加数的加法可转化为乘法”简化计算，再按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后将结果和选项对比即可得到答案。计算时要注意负数奇数次幂的符号为负，避免符号出错。
【解析】
步骤1：将相同加数的加法转化为乘法
原式是4个$(-2)^3$相加，因此可改写为：
原式=$4×(-2)^3$
步骤2：计算乘方
根据乘方的定义，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
步骤3：计算乘法
$4×(-8)=-32$
步骤4：对比选项
A选项：$-2^5=-(2×2×2×2×2)=-32$，与计算结果一致；
B选项：$-2^6=-64$，不符合；
C选项：$-2^4=-16$，不符合；
D选项：$-24$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题时将加法转化为乘法可简化计算过程，需要重点注意负数乘方的符号规律：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数，同时要区分$(-a)^n$和$-a^n$的差异，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 计算$-3^2 + 3^2 ÷ \dfrac{1}{3} × 3 - 3$的结果是 （
A.$-3$
B.$15$
C.$69$
D.$87$
C
）A.$-3$
B.$15$
C.$69$
D.$87$
答案
C
解析
【分析】
解决本题需遵循有理数混合运算的顺序思考：①先明确运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序计算；②注意易错点：$-3^2$表示$3^2$的相反数，结果为$-9$，不要与$(-3)^2$混淆；③先计算乘方，再依次计算乘除、加减即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
第一步：计算乘方
$-3^2=-9$，$3^2=9$，原式可化为：
$-9 + 9 ÷ \dfrac{1}{3} × 3 - 3$
第二步：计算乘除（同级运算从左到右）
先算除法：$9 ÷ \dfrac{1}{3} = 9×3 = 27$
再算乘法：$27×3 = 81$，此时式子化为：
$-9 + 81 - 3$
第三步：计算加减（同级运算从左到右）
$-9 + 81 = 72$，$72 - 3 = 69$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的规则，易错点有两处：一是误将$-3^2$计算为9，二是计算乘除部分时违背从左到右的顺序，错误算成$9÷(\dfrac{1}{3}×3)=9$，只要熟练掌握运算顺序和符号判定规则，就能轻松答对。
【难度系数】
0.6
解决本题需遵循有理数混合运算的顺序思考：①先明确运算优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序计算；②注意易错点：$-3^2$表示$3^2$的相反数，结果为$-9$，不要与$(-3)^2$混淆；③先计算乘方，再依次计算乘除、加减即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
第一步：计算乘方
$-3^2=-9$，$3^2=9$，原式可化为：
$-9 + 9 ÷ \dfrac{1}{3} × 3 - 3$
第二步：计算乘除（同级运算从左到右）
先算除法：$9 ÷ \dfrac{1}{3} = 9×3 = 27$
再算乘法：$27×3 = 81$，此时式子化为：
$-9 + 81 - 3$
第三步：计算加减（同级运算从左到右）
$-9 + 81 = 72$，$72 - 3 = 69$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的规则，易错点有两处：一是误将$-3^2$计算为9，二是计算乘除部分时违背从左到右的顺序，错误算成$9÷(\dfrac{1}{3}×3)=9$，只要熟练掌握运算顺序和符号判定规则，就能轻松答对。
【难度系数】
0.6
3. 若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则$a^{2024}+2023b - c^{2023}$的值为（
A.0
B.2022
C.2023
D.2024
A
）A.0
B.2022
C.2023
D.2024
答案
A
解析
【分析】
解题时首先需要根据有理数的相关定义，分别确定a、b、c三个字母的取值：第一步先找最大的负整数得到a的值，第二步找绝对值最小的有理数得到b的值，第三步找倒数等于自身的自然数得到c的值；再将三个值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ 最大的负整数是-1，
∴ $a = -1$；
∵ 绝对值最小的有理数是0，
∴ $b = 0$；
∵ 倒数等于它本身的数是±1，其中属于自然数的只有1，
∴ $c = 1$；
将$a=-1$，$b=0$，$c=1$代入代数式：
$\begin{aligned}a^{2024}+2023b - c^{2023}&=(-1)^{2024} + 2023×0 - 1^{2023}\\&=1 + 0 - 1\\&=0\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的概念，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对有理数相关基础概念的识别能力，解题的关键是准确确定a、b、c的取值，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要根据有理数的相关定义，分别确定a、b、c三个字母的取值：第一步先找最大的负整数得到a的值，第二步找绝对值最小的有理数得到b的值，第三步找倒数等于自身的自然数得到c的值；再将三个值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可得：
∵ 最大的负整数是-1，
∴ $a = -1$；
∵ 绝对值最小的有理数是0，
∴ $b = 0$；
∵ 倒数等于它本身的数是±1，其中属于自然数的只有1，
∴ $c = 1$；
将$a=-1$，$b=0$，$c=1$代入代数式：
$\begin{aligned}a^{2024}+2023b - c^{2023}&=(-1)^{2024} + 2023×0 - 1^{2023}\\&=1 + 0 - 1\\&=0\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的概念，乘方运算，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对有理数相关基础概念的识别能力，解题的关键是准确确定a、b、c的取值，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 定义一种新运算：$a☆b=a^3 - b^2$，如$2☆3=2^3 - 3^2=-1$，则$4☆(-5)$的计算结果是（
A.$-9$
B.$39$
C.$41$
D.$89$
B
）A.$-9$
B.$39$
C.$41$
D.$89$
答案
B
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题首先要明确新运算的规则：$a☆b$表示第一个数的立方减去第二个数的平方。解题时先确定待求式子中对应$a$、$b$的数值，本题中$a=4$，$b=-5$，再将数值代入规则转化为常规的有理数混合运算即可，计算时要注意负数的平方是正数，避免出现符号错误。
【解析】
根据新运算$a☆b=a^3 - b^2$的定义，$4☆(-5)$中$a=4$，$b=-5$，代入运算得：
$\begin{aligned}4☆(-5)&=4^3 - (-5)^2\\&=64 - 25\\&=39\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、有理数乘方、有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用和有理数运算能力，解题核心是准确匹配新运算中的对应参数，计算乘方时尤其要注意负数偶次幂的符号处理，属于对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题首先要明确新运算的规则：$a☆b$表示第一个数的立方减去第二个数的平方。解题时先确定待求式子中对应$a$、$b$的数值，本题中$a=4$，$b=-5$，再将数值代入规则转化为常规的有理数混合运算即可，计算时要注意负数的平方是正数，避免出现符号错误。
【解析】
根据新运算$a☆b=a^3 - b^2$的定义，$4☆(-5)$中$a=4$，$b=-5$，代入运算得：
$\begin{aligned}4☆(-5)&=4^3 - (-5)^2\\&=64 - 25\\&=39\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、有理数乘方、有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用和有理数运算能力，解题核心是准确匹配新运算中的对应参数，计算乘方时尤其要注意负数偶次幂的符号处理，属于对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.8
5. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，捏合，拉伸，反复多次，就拉成了许多细的面条，捏合到第
7
次后可拉出128根细面条。答案
7
解析
【分析】
我们可以先从捏合次数少的情况入手，总结面条数量的变化规律：捏合1次拉伸后，面条数量是2根；捏合2次拉伸后是4根；捏合3次拉伸后是8根，不难发现每次捏合后面条数量都是前一次的2倍，即第n次捏合后的面条数为2的n次方。接下来只需计算2的多少次方等于128，就能得到对应的捏合次数。
【解析】
根据题意，捏合拉伸的规律如下：
第1次捏合后，面条数：$2 = 2^1$
第2次捏合后，面条数：$4 = 2^2$
第3次捏合后，面条数：$8 = 2^3$
……
由此可得，第$n$次捏合后，面条数为$2^n$根。
令$2^n = 128$，因为$2^7 = 128$，所以$n=7$。
【答案】
7
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过枚举前几次的结果归纳出面条数量随捏合次数变化的规律，再结合乘方运算求解，能够很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先从捏合次数少的情况入手，总结面条数量的变化规律：捏合1次拉伸后，面条数量是2根；捏合2次拉伸后是4根；捏合3次拉伸后是8根，不难发现每次捏合后面条数量都是前一次的2倍，即第n次捏合后的面条数为2的n次方。接下来只需计算2的多少次方等于128，就能得到对应的捏合次数。
【解析】
根据题意，捏合拉伸的规律如下：
第1次捏合后，面条数：$2 = 2^1$
第2次捏合后，面条数：$4 = 2^2$
第3次捏合后，面条数：$8 = 2^3$
……
由此可得，第$n$次捏合后，面条数为$2^n$根。
令$2^n = 128$，因为$2^7 = 128$，所以$n=7$。
【答案】
7
【知识点】
乘方的意义，有理数乘方运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中的拉面场景考查乘方的实际应用，解题核心是通过枚举前几次的结果归纳出面条数量随捏合次数变化的规律，再结合乘方运算求解，能够很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 有一面积为$1\ \mathrm{m}^2$的正方形纸，第一次剪掉一半，第二次剪掉剩下的一半，如此下去，第六次剪完后，剪下去的纸面积共是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}^2$.
答案
$\dfrac{63}{64}$
解析
【分析】
解题时我们可以先找每次剪完后剩余面积的变化规律：每次剪掉一半，说明剩余面积是前一次剩余面积的$\frac{1}{2}$，由此可推导出第n次剪完后的剩余面积公式。要求剪下去的总面积，不需要逐次累加每次剪掉的面积，用初始总面积减去第6次剪完的剩余面积即可，这种逆向计算的方法更简便，也不容易出错。
【解析】
解：已知正方形初始面积为$1\ \mathrm{m}^2$，每次剪完后剩余面积为前一次剩余面积的$\frac{1}{2}$。
由此可得规律：第n次剪完后，剩余面积为$\frac{1}{2^n}\ \mathrm{m}^2$。
当n=6时，第6次剪完的剩余面积为：
$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}\ \mathrm{m}^2$
则剪下去的总面积 = 初始面积 - 剩余面积，即：
$1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\dfrac{63}{64}$
【知识点】
有理数乘方，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题结合实际操作场景考查乘方的应用，解题核心是准确找到剩余面积的变化规律，注意不要误将剩余面积当成剪掉的面积，逆向求解可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先找每次剪完后剩余面积的变化规律：每次剪掉一半，说明剩余面积是前一次剩余面积的$\frac{1}{2}$，由此可推导出第n次剪完后的剩余面积公式。要求剪下去的总面积，不需要逐次累加每次剪掉的面积，用初始总面积减去第6次剪完的剩余面积即可，这种逆向计算的方法更简便，也不容易出错。
【解析】
解：已知正方形初始面积为$1\ \mathrm{m}^2$，每次剪完后剩余面积为前一次剩余面积的$\frac{1}{2}$。
由此可得规律：第n次剪完后，剩余面积为$\frac{1}{2^n}\ \mathrm{m}^2$。
当n=6时，第6次剪完的剩余面积为：
$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}\ \mathrm{m}^2$
则剪下去的总面积 = 初始面积 - 剩余面积，即：
$1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\dfrac{63}{64}$
【知识点】
有理数乘方，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题结合实际操作场景考查乘方的应用，解题核心是准确找到剩余面积的变化规律，注意不要误将剩余面积当成剪掉的面积，逆向求解可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
