9. 探索并应用直角三角形斜边上的中线的性质。

一、性质探索与证明
已知：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线。
求证：$CD=\frac{1}{2}AB$。
证明：
延长$CD$至点$E$，使$DE=CD$，连接$BE$。
$\because CD$是$AB$边上的中线，
$\therefore AD=BD$。
在$△ ACD$和$△ BED$中，
$\begin{cases}AD=BD \\∠ ADC=∠ BDE \\CD=ED\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ BED(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A=∠ DBE$，$AC=BE$，
$\therefore AC// BE$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ EBC=180°$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ EBC=90°$，即$∠ ACB=∠ EBC$。
在$△ ACB$和$△ EBC$中，
$\begin{cases}AC=BE \\∠ ACB=∠ EBC \\BC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACB ≌ △ EBC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=CE$。
$\because CE=CD+DE=2CD$，
$\therefore AB=2CD$，即$CD=\frac{1}{2}AB$。
性质结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
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二、性质应用举例
应用1：直接计算边长
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边$AB=8$，求斜边中线$CD$的长度。
解：
$\because ∠ C=90°$，$CD$是斜边$AB$的中线，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
应用2：证明垂直关系
已知：四边形$ABCD$中，$∠ BAD=∠ BCD=90°$，$G$、$H$分别是$BD$、$AC$的中点。求证：$GH⊥ AC$。
证明：
连接$AG$、$CG$。
$\because ∠ BAD=90°$，$G$是$BD$中点，
$\therefore AG=\frac{1}{2}BD$。
$\because ∠ BCD=90°$，$G$是$BD$中点，
$\therefore CG=\frac{1}{2}BD$。
$\therefore AG=CG$。
$\because H$是$AC$中点，
在$△ AGH$和$△ CGH$中，
$\begin{cases}AG=CG \\GH=GH \\AH=CH\end{cases}$
$\therefore △ AGH ≌ △ CGH(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ AHG=∠ CHG=90°$，即$GH⊥ AC$。

2. 进一步了解三角形边与角的关系，探索在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。

证明：
在△ABC中，设AB ＞ AC，求证AB所对的∠ACB大于AC所对的∠ABC。
在AB上截取线段AD，使AD = AC，连接CD。
∵ AD = AC，
∴ ∠ADC = ∠ACD（等边对等角）。
∵ ∠ADC是△BCD的外角，
∴ ∠ADC ＞ ∠B（三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角）。
又∵ ∠ACB = ∠ACD + ∠BCD，
∴ ∠ACB ＞ ∠ACD。
通过等量代换可得∠ACB ＞ ∠ADC ＞ ∠B，即∠ACB ＞ ∠ABC。
因此在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。

例1 以下列各组线段为边，能组成三角形的是 （）

A.3,3,6
B.5,6,2
C.2,7,4
D.12,4,7

B

例2 在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ B=70°$，按角分类，这是一个________三角形；按边分类，这是一个________三角形。

锐角；等腰