9. 已知关于$x$的函数$y=(m+1)x+(m^2 -1)$。
(1)当$m$取什么值时，$y$是$x$的一次函数？
(2)当$m$取什么值时，$y$是$x$的正比例函数？
(3)当$m$取什么值时，该函数与函数$y=-x+3$是同一个函数？

(1)因为 $m+1≠0$,所以 $m≠-1$。
(2)因为 $m+1≠0$ 且 $m^2-1=0$,所以 $m=1$。
(3)因为 $m+1=-1$ 且 $m^2-1=3$,所以 $m=-2$。

【分析】
解题时需结合对应函数的定义梳理求解思路：1. 一次函数的核心要求是一次项系数不为0，因此第一问只需保证x的系数不为0即可；2. 正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次项系数不为0外，还需常数项为0，因此第二问要同时满足两个限制条件；3. 两个函数为同一个函数时，对应项的系数、常数项均相等，因此第三问需联立一次项系数、常数项的等式求解。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，一次项系数不能为0：
$m+1≠0$
解得：$m≠-1$
(2) 根据正比例函数的定义，需同时满足一次项系数不为0、常数项为0：
$\begin{cases}m+1≠0 \\ m^2-1=0\end{cases}$
解$m^2-1=0$得$m=1$或$m=-1$，结合$m≠-1$的限制，得$m=1$
(3) 两个函数为同一个函数时，对应项系数、常数项分别相等：
$\begin{cases}m+1=-1 \\ m^2-1=3\end{cases}$
解第一个等式得$m=-2$，代入第二个等式验证：$(-2)^2-1=3$，满足条件，故$m=-2$
【答案】
(1) $m≠-1$
(2) $m=1$
(3) $m=-2$
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义，相同函数的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记不同函数的定义限制，尤其不要遗漏一次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解、错解。
【难度系数】
0.75

10. 将汽油以均匀的速度注入容积为60L的桶里，注入的时间和注入的油量如下表：

(1)求$q$关于$t$的函数表达式，并判断$q$是否是$t$的正比例函数。
(2)求自变量$t$的取值范围。
(3)求$t=1.5,4.5$时，$q$的对应值。

(1)$q=1.5t$,是正比例函数。
(2)$0≤t≤40$。
(3)$t=1.5$时,$q=2.25$;$t=4.5$时,$q=6.75$。

【分析】
(1) 观察表格数据可得，注入油量q和时间t的比值固定不变，符合正比例函数的特征，可先设正比例函数的一般形式$q=kt$，代入表格中任意一组t、q的对应值求出k值，再对照正比例函数的定义判断即可。
(2) 注入时间t不能为负数，同时注入的油量不能超过桶的容积60L，结合求出的函数表达式列不等式求解，就能得到符合实际意义的t的取值范围。
(3) 分别将$t=1.5$和$t=4.5$代入第一问得到的函数表达式，计算即可得到对应的q值。
【解析】
(1) 设q关于t的函数表达式为$q=kt$（k为常数，$k\ne0$），将$t=1$，$q=1.5$代入表达式，得$1.5=k×1$，解得$k=1.5$，因此q关于t的函数表达式为$q=1.5t$。
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（k为常数，$k\ne0$）的函数是正比例函数，$q=1.5t$符合该形式，因此q是t的正比例函数。
(2) 由注入时间非负、注入油量不超过桶的容积，可得不等式组：
$\begin{cases}t≥0 \\1.5t≤60 \end{cases}$
解$1.5t≤60$得$t≤40$，因此自变量t的取值范围为$0≤ t≤40$。
(3) 当$t=1.5$时，代入$q=1.5t$，得$q=1.5×1.5=2.25$（L）；
当$t=4.5$时，代入$q=1.5t$，得$q=1.5×4.5=6.75$（L）。
【答案】
(1)$q=1.5t$，是正比例函数。
(2)$0≤ t≤40$。
(3)$t=1.5$时，$q=2.25$；$t=4.5$时，$q=6.75$。
【知识点】
正比例函数的判定，自变量取值范围，求函数值
【点评】
本题结合实际注油场景考查正比例函数的基础应用，解题时需要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现取值不符合实际的错误。
【难度系数】
0.85

11. $n$个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数$m$与球队数$n$（$n≥2$）之间的函数关系是。

$m=\frac{n(n-1)}{2}$
【解析】由于每个队都要与除本身以外的其他队进行一场比赛,所以 n 个球队参加篮球比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数 m 与球队数 n($n≥2$)之间的函数关系为 $m=\frac{n(n-1)}{2}$。故答案为 $m=\frac{n(n-1)}{2}$。

【分析】
解题时可从单支球队的比赛场次出发推导：首先每支球队不需要和自身比赛，因此每支球队需要和其余(n-1)支球队各赛1场；若直接用球队数乘单支球队的比赛场次，会出现每一场比赛被计算2次的情况（比如甲队对乙队、乙队对甲队为同一场比赛），因此最后要将初步计算的结果除以2，即可得到实际比赛总场次，进而得到m与n的函数关系式。
【解析】
1. 计算单支球队的比赛场次：每队需与除自身外的其他球队比赛，因此单支球队比赛场次为$(n-1)$场；
2. 初步计算总场次：$n$支球队初步计算的总场次为$n(n-1)$场；
3. 去重得到实际场次：由于每两队之间的比赛被重复统计了2次，因此实际比赛场次数$m=\frac{n(n-1)}{2}$（$n≥2$）。
【答案】
$m=\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
函数关系式的确定、单循环场次计算、实际问题计数
【点评】
本题是函数在实际生活中应用的基础题型，核心考点是单循环赛制的场次计算，解题的易错点是忽略重复计数的情况而忘记除以2，掌握该方法还可解决握手等同类型计数问题。
【难度系数】
0.8

12.嘉嘉将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示方法粘合起来，粘合部分(图上阴影部分)的宽为3cm。
(1)求5张白纸粘合后的长度。
(2)设x张白纸粘合后总长为ycm。写出y与x之间的函数关系式。
(3)求当x=20时的y值，并说明它在题目中的实际意义。

(1)由题意得 $20×5-3×(5-1)=88$,则 5 张白纸粘合后的长度是 88cm。
(2)$y=20x-3(x-1)$,即 $y=17x+3$。
(3)当 $x=20$ 时,$y=17×20+3=343$。实际意义是 20 张白纸粘合后的长度是 343cm。

【分析】
解决本题的核心是理清纸张粘合的重叠规律：每2张纸粘合会产生1处3cm的重叠，即粘合n张纸时，总共有(n-1)处重叠，总长度=所有纸张不重叠的总长度 - 重叠部分的总长度。
(1)计算5张纸粘合长度：先算5张纸不重叠的总长度，再减去4处重叠的总长度即可；
(2)推导y与x的函数关系式：将(1)中的纸张数替换为x，重叠处数量为(x-1)，列式后化简得到函数式；
(3)将x=20代入函数式计算y值，所得结果对应20张纸粘合后的实际总长度。
【解析】
(1) 5张白纸不粘合的总长度为$20×5=100\ \mathrm{cm}$，5张纸粘合共有$5-1=4$处重叠，重叠总长度为$3×4=12\ \mathrm{cm}$，
因此粘合后长度为$100-12=88\ \mathrm{cm}$。
(2) x张白纸不粘合的总长度为$20x\ \mathrm{cm}$，x张纸粘合共有$(x-1)$处重叠，重叠总长度为$3(x-1)\ \mathrm{cm}$，
因此总长度$y=20x-3(x-1)$，化简得$y=17x+3$。
(3) 把$x=20$代入$y=17x+3$，得$y=17×20+3=343$，
实际意义为：20张白纸按该方法粘合后的总长度是343cm。
【答案】
(1) $\boxed{88\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boxed{y=17x+3}$；
(3) $\boxed{y=343}$，实际意义是20张白纸粘合后的长度是343cm。
【知识点】
一次函数的应用，列函数关系式，代数式求值
【点评】
本题结合纸张粘合的生活场景，考查实际问题转化为函数模型的能力，解题关键是明确重叠处数量比纸张数少1，避免多算或少算重叠长度，整体贴近生活，容易理解。
【难度系数】
0.7