登录
12.(2026昆明期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.
(1)方程$x-2=0$与方程$2x+1=0$“美好方程”;(填“是”或“不是”)
(2)若关于$x$的方程$2(x-1)+3m=x$与方程$3x-(2n-1)=2x+5$是“美好方程”,且$m$比$n$大2,求$m$和$n$的值.
(1)方程$x-2=0$与方程$2x+1=0$“美好方程”;(填“是”或“不是”)
(2)若关于$x$的方程$2(x-1)+3m=x$与方程$3x-(2n-1)=2x+5$是“美好方程”,且$m$比$n$大2,求$m$和$n$的值.
答案
解：
(1) 解方程$x-2=0$，得$x=2$；
解方程$2x+1=0$，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
因为$2+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}≠1$，所以两个方程不是“美好方程”。
(2) 解方程$2(x-1)+3m=x$：
去括号，得$2x-2+3m=x$，
移项，得$x=2-3m$。
解方程$3x-(2n-1)=2x+5$：
去括号，得$3x-2n+1=2x+5$，
移项，得$x=2n+4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两方程的解之和为1，即：
$(2-3m)+(2n+4)=1$
整理得：$-3m+2n=-5$ ①
由题意$m$比$n$大2，得：
$m-n=2$
变形得$m=n+2$，将其代入①：
$-3(n+2)+2n=-5$
去括号，得$-3n-6+2n=-5$，
合并同类项，得$-n-6=-5$，
移项得$-n=1$，
解得$n=-1$。
把$n=-1$代入$m=n+2$，得$m=-1+2=1$。
综上，$m$的值为$1$，$n$的值为$-1$。
(1) 解方程$x-2=0$，得$x=2$；
解方程$2x+1=0$，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
因为$2+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}≠1$，所以两个方程不是“美好方程”。
(2) 解方程$2(x-1)+3m=x$：
去括号，得$2x-2+3m=x$，
移项，得$x=2-3m$。
解方程$3x-(2n-1)=2x+5$：
去括号，得$3x-2n+1=2x+5$，
移项，得$x=2n+4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两方程的解之和为1，即：
$(2-3m)+(2n+4)=1$
整理得：$-3m+2n=-5$ ①
由题意$m$比$n$大2，得：
$m-n=2$
变形得$m=n+2$，将其代入①：
$-3(n+2)+2n=-5$
去括号，得$-3n-6+2n=-5$，
合并同类项，得$-n-6=-5$，
移项得$-n=1$，
解得$n=-1$。
把$n=-1$代入$m=n+2$，得$m=-1+2=1$。
综上，$m$的值为$1$，$n$的值为$-1$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：先明确“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解之和为1，因此先分别求出两个方程的解，再计算两个解的和是否等于1，即可判断是否为“美好方程”。
(2) 解题思路：首先分别求解两个含参数m、n的一元一次方程，用含m、n的代数式表示出两个方程的解；再根据“美好方程”的定义，列出两个解相加等于1的等式；结合“m比n大2”的等量关系，联立两个式子，用代入消元法即可求出m、n的值。
【解析】
(1) 解方程$x-2=0$，得$x=2$；
解方程$2x+1=0$，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
因为$2+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}≠1$，所以两个方程不是“美好方程”。
(2) 解方程$2(x-1)+3m=x$：
去括号，得$2x-2+3m=x$，
移项，得$x=2-3m$。
解方程$3x-(2n-1)=2x+5$：
去括号，得$3x-2n+1=2x+5$，
移项，得$x=2n+4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两方程的解之和为1，即：
$(2-3m)+(2n+4)=1$
整理得：$-3m+2n=-5$ ①
由题意$m$比$n$大2，得：
$m-n=2$
变形得$m=n+2$，将其代入①：
$-3(n+2)+2n=-5$
去括号，得$-3n-6+2n=-5$，
合并同类项，得$-n-6=-5$，
移项得$-n=1$，
解得$n=-1$。
把$n=-1$代入$m=n+2$，得$m=-1+2=1$。
综上，$m$的值为$1$，$n$的值为$-1$。
【答案】
(1) 不是；(2) $m=1$，$n=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 新定义理解
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题以新定义为载体考查方程求解能力，解题关键是准确理解“美好方程”的含义，严格按照一元一次方程的求解步骤计算，注意去括号、移项时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先明确“美好方程”的定义是两个一元一次方程的解之和为1，因此先分别求出两个方程的解，再计算两个解的和是否等于1，即可判断是否为“美好方程”。
(2) 解题思路：首先分别求解两个含参数m、n的一元一次方程，用含m、n的代数式表示出两个方程的解；再根据“美好方程”的定义，列出两个解相加等于1的等式；结合“m比n大2”的等量关系，联立两个式子，用代入消元法即可求出m、n的值。
【解析】
(1) 解方程$x-2=0$，得$x=2$；
解方程$2x+1=0$，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
因为$2+(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}≠1$，所以两个方程不是“美好方程”。
(2) 解方程$2(x-1)+3m=x$：
去括号，得$2x-2+3m=x$，
移项，得$x=2-3m$。
解方程$3x-(2n-1)=2x+5$：
去括号，得$3x-2n+1=2x+5$，
移项，得$x=2n+4$。
因为两个方程是“美好方程”，所以两方程的解之和为1，即：
$(2-3m)+(2n+4)=1$
整理得：$-3m+2n=-5$ ①
由题意$m$比$n$大2，得：
$m-n=2$
变形得$m=n+2$，将其代入①：
$-3(n+2)+2n=-5$
去括号，得$-3n-6+2n=-5$，
合并同类项，得$-n-6=-5$，
移项得$-n=1$，
解得$n=-1$。
把$n=-1$代入$m=n+2$，得$m=-1+2=1$。
综上，$m$的值为$1$，$n$的值为$-1$。
【答案】
(1) 不是；(2) $m=1$，$n=-1$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 新定义理解
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题以新定义为载体考查方程求解能力，解题关键是准确理解“美好方程”的含义，严格按照一元一次方程的求解步骤计算，注意去括号、移项时的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13.本学期学习了一元一次方程的解法,下面是小蒙同学的解题过程:
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$.
解:方程两边同时乘4,得
$\frac{x+1}{2}×4-\frac{3x+2}{4}×4=3×4$. ………… ①
去分母,得$2(x+1)-3x+2=12$. …… ②
去括号,得$2x+2-3x+2=12$. ……… ③
移项,得$2x-3x=12-2-2$. ………… ④
合并同类项,得$-x=8$. ……………… ⑤
系数化为1,得$x=-8$. ……………… ⑥
(1)以上求解步骤中,第一步的依据是;
(2)上述小蒙的解题过程从第步开始出现错误,错误的原因是;
(3)请帮小蒙改正错误,写出完整的解题过程.
过程.
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$.
解:方程两边同时乘4,得
$\frac{x+1}{2}×4-\frac{3x+2}{4}×4=3×4$. ………… ①
去分母,得$2(x+1)-3x+2=12$. …… ②
去括号,得$2x+2-3x+2=12$. ……… ③
移项,得$2x-3x=12-2-2$. ………… ④
合并同类项,得$-x=8$. ……………… ⑤
系数化为1,得$x=-8$. ……………… ⑥
(1)以上求解步骤中,第一步的依据是;
(2)上述小蒙的解题过程从第步开始出现错误,错误的原因是;
(3)请帮小蒙改正错误,写出完整的解题过程.
过程.
答案
解：
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（等式的性质2）
(2) ②； 去分母时，未将减号后的分子$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$的符号错误，应为$-2$
(3) 正确解题过程如下：
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$.
方程两边同时乘4，得
$\frac{x+1}{2} × 4 - \frac{3x+2}{4} × 4 = 3 × 4$
去分母，得$2(x+1)-(3x+2)=12$
去括号，得$2x+2-3x-2=12$
移项，得$2x-3x=12-2+2$
合并同类项，得$-x=12$
系数化为1，得$x=-12$
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（等式的性质2）
(2) ②； 去分母时，未将减号后的分子$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$的符号错误，应为$-2$
(3) 正确解题过程如下：
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$.
方程两边同时乘4，得
$\frac{x+1}{2} × 4 - \frac{3x+2}{4} × 4 = 3 × 4$
去分母，得$2(x+1)-(3x+2)=12$
去括号，得$2x+2-3x-2=12$
移项，得$2x-3x=12-2+2$
合并同类项，得$-x=12$
系数化为1，得$x=-12$
解析
【分析】
(1) 第一问需要回忆等式的基本性质，去分母时方程两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，对应等式的性质2。
(2) 逐步骤排查解题过程：去分母时，分数线除了表示除法，还兼具括号的作用，减号后面的分式分子是多项式，去掉分母后需要给分子整体加括号，否则会出现符号错误，对比小蒙的步骤可知第②步出错。
(3) 改正时严格遵循一元一次方程的求解步骤：先去分母（注意给多项式分子加括号），再去括号（括号前是负号时括号内各项都变号），接着移项、合并同类项，最后系数化为1即可得到正确解。
【解析】
(1) 方程两边同时乘同一个非零数，等式依然成立，这是等式的性质2，因此第一步的依据是等式的性质2。
(2) 第②步去分母时，原式中$-\frac{3x+2}{4}×4$去掉分母后应为$-(3x+2)$，小蒙未将$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$符号错误，所以解题过程从第②步开始出错。
(3) 按照一元一次方程的规范求解步骤计算即可，注意每一步的符号处理。
【答案】
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（或等式的性质2）
(2) ②；去分母时，未将减号后的分子$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$的符号错误，应为$-2$
(3) 正确解题过程如下：
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$
方程两边同时乘4，得$\frac{x+1}{2} × 4 - \frac{3x+2}{4} × 4 = 3 × 4$
去分母，得$2(x+1)-(3x+2)=12$
去括号，得$2x+2-3x-2=12$
移项，得$2x-3x=12-2+2$
合并同类项，得$-x=12$
系数化为1，得$x=-12$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；去括号法则
【点评】
本题侧重考查一元一次方程求解中的易错点，特别是去分母、去括号环节的符号处理问题，能够有效检验学生解方程的规范程度，提醒学生解题时要注意分数线的括号作用，避免因粗心出现符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需要回忆等式的基本性质，去分母时方程两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，对应等式的性质2。
(2) 逐步骤排查解题过程：去分母时，分数线除了表示除法，还兼具括号的作用，减号后面的分式分子是多项式，去掉分母后需要给分子整体加括号，否则会出现符号错误，对比小蒙的步骤可知第②步出错。
(3) 改正时严格遵循一元一次方程的求解步骤：先去分母（注意给多项式分子加括号），再去括号（括号前是负号时括号内各项都变号），接着移项、合并同类项，最后系数化为1即可得到正确解。
【解析】
(1) 方程两边同时乘同一个非零数，等式依然成立，这是等式的性质2，因此第一步的依据是等式的性质2。
(2) 第②步去分母时，原式中$-\frac{3x+2}{4}×4$去掉分母后应为$-(3x+2)$，小蒙未将$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$符号错误，所以解题过程从第②步开始出错。
(3) 按照一元一次方程的规范求解步骤计算即可，注意每一步的符号处理。
【答案】
(1) 等式两边乘同一个数，结果仍相等（或等式的性质2）
(2) ②；去分母时，未将减号后的分子$3x+2$作为整体添加括号，导致$+2$的符号错误，应为$-2$
(3) 正确解题过程如下：
解方程$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$
方程两边同时乘4，得$\frac{x+1}{2} × 4 - \frac{3x+2}{4} × 4 = 3 × 4$
去分母，得$2(x+1)-(3x+2)=12$
去括号，得$2x+2-3x-2=12$
移项，得$2x-3x=12-2+2$
合并同类项，得$-x=12$
系数化为1，得$x=-12$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；去括号法则
【点评】
本题侧重考查一元一次方程求解中的易错点，特别是去分母、去括号环节的符号处理问题，能够有效检验学生解方程的规范程度，提醒学生解题时要注意分数线的括号作用，避免因粗心出现符号错误。
【难度系数】
0.7
14.某校七年级学生开展社会实践活动，第一批安排了27名学生去维护绿化，18名学生去宣传交通安全；第二批共增加了30名学生去参加这两项活动.现在，维护绿化的学生人数是宣传交通安全学生人数的2倍，求第二批增加了多少名学生去维护绿化.
答案
解：设第二批增加了$x$名学生去维护绿化，则第二批增加了$(30-x)$名学生去宣传交通安全。
根据题意列方程：
$27 + x = 2[18 + (30 - x)]$
去括号，得：
$27 + x = 96 - 2x$
移项，得：
$x + 2x = 96 - 27$
合并同类项，得：
$3x = 69$
系数化为1，得：
$x = 23$
答：第二批增加了23名学生去维护绿化。
根据题意列方程：
$27 + x = 2[18 + (30 - x)]$
去括号，得：
$27 + x = 96 - 2x$
移项，得：
$x + 2x = 96 - 27$
合并同类项，得：
$3x = 69$
系数化为1，得：
$x = 23$
答：第二批增加了23名学生去维护绿化。
解析
【分析】
本题为一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：第一步先明确未知量，直接设第二批增加的维护绿化的学生人数为x，那么第二批增加的宣传交通安全的学生人数就是总增加人数30减去x；第二步找准核心等量关系：现在维护绿化的总人数是宣传交通安全总人数的2倍；第三步用含x的代数式分别表示出现在两类活动的总人数，代入等量关系列出一元一次方程，最后按照解方程的规范步骤求解即可。
【解析】
解：设第二批增加了$x$名学生去维护绿化，则第二批增加了$(30-x)$名学生去宣传交通安全。
根据题意列方程：
$27 + x = 2[18 + (30 - x)]$
去括号，得：
$27 + x = 96 - 2x$
移项，得：
$x + 2x = 96 - 27$
合并同类项，得：
$3x = 69$
系数化为1，得：
$x = 23$
答：第二批增加了23名学生去维护绿化。
【答案】
第二批增加了23名学生去维护绿化。
【知识点】
一元一次方程应用、一元一次方程解法、和差倍分问题
【点评】
本题是典型的和差倍分类方程应用题，解题关键是准确提取题目中的倍数等量关系，合理设未知数并正确表示相关量，按照解方程的规范步骤计算即可，主要考察学生的审题能力和方程建模的基础能力。
【难度系数】
0.75
本题为一元一次方程的实际应用题，解题思路如下：第一步先明确未知量，直接设第二批增加的维护绿化的学生人数为x，那么第二批增加的宣传交通安全的学生人数就是总增加人数30减去x；第二步找准核心等量关系：现在维护绿化的总人数是宣传交通安全总人数的2倍；第三步用含x的代数式分别表示出现在两类活动的总人数，代入等量关系列出一元一次方程，最后按照解方程的规范步骤求解即可。
【解析】
解：设第二批增加了$x$名学生去维护绿化，则第二批增加了$(30-x)$名学生去宣传交通安全。
根据题意列方程：
$27 + x = 2[18 + (30 - x)]$
去括号，得：
$27 + x = 96 - 2x$
移项，得：
$x + 2x = 96 - 27$
合并同类项，得：
$3x = 69$
系数化为1，得：
$x = 23$
答：第二批增加了23名学生去维护绿化。
【答案】
第二批增加了23名学生去维护绿化。
【知识点】
一元一次方程应用、一元一次方程解法、和差倍分问题
【点评】
本题是典型的和差倍分类方程应用题，解题关键是准确提取题目中的倍数等量关系，合理设未知数并正确表示相关量，按照解方程的规范步骤计算即可，主要考察学生的审题能力和方程建模的基础能力。
【难度系数】
0.75
